高考卷 06 普通高等学校招生全国统一考试（上海卷 9页

2006 年普通高等学校招生全国统一考试 上海卷 数学（文史类） 一、填空题（本大题满分 48 分）本大题共有 12 题，只要求直接填写结果，每个空 填对得 4 分，否则一律得零分。 1、已知 ，集合 ，若 ,则实数 。 2、已知两条直线 若 ，则 ____. 3、若函数 的反函数的图像过点 ，则 。 4、计算： 。 5、若复数 满足 （ 为虚数单位），其中 则 。 6、函数 的最小正周期是_________。 7、已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为 ,且焦距与虚轴长之比为 ， 则双曲线的标准方程是____________________. 8、方程 的解是_______. 9、已知实数 满足 ，则 的最大值是_________. 10、在一个小组中有 8 名女同学和 4 名男同学，从中任意地挑选 2 名同学担任交通 安全宣传志愿者，那么选到的两名都是女同学的概率是______（结果用分数表示）。 11、若曲线 与直线 没有公共点，则 的取值范围是_________. 12、如图，平面中两条直线 和 相交于点 ，对 于平面上任意一点 ,若 分别是 到直线 和 的距离，则称有序非负实数对 是点 的“ 距离坐标”，根据上述定义，“ 距离坐标” 是（1 ，2 ）的点的个数是____________. { 1,3, }A m= − {3,4}B = B A⊆ ___m = 1 2: 3 3 0, : 4 6 1 0.l ax y l x y+ − = + − = 1 2//l l a = ( ) ( 0, 1)xf x a a a= > ≠且 (2, 1)− ___a = 2 3 ( 1) ______6 1limn n n n→∞ + =+ z ( 2) ( 1)z m m i= − + + i m R∈ ____z = sin cosy x x= (3,0) 5: 4 2 3 3log ( 10) 1 logx x− = + ,x y 3 0 2 5 0 0 0 x y x y x y + − ≥  + − ≤ ≥  ≥ 2y x− 2 1xy = + y b= b 1l 2l O M ,p q M 1l 2l ( ),p q M 二、选择题（本大题满分 16 分）本大题共有 4 题，每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的 圆括号内，选对得 4 分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆 括号内），一律得零分。 13、如图，在平行四边形 中，下列结论中错误的是 （ ） （A） （B） （C） （D） 14、如果 ，那么，下列不等式中正确的是（ ） （A） （B） （C） （D） 15、若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共 点”的 （ ） （A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件 （C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件 16、如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面 对”。在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交 线面对”的个数是 （A）48 （B） 18 （C） 24 （D）36 三、解答题（本大题满分 86 分）本大题共有 6 题，解答下列各题必须写出必要的步 骤。 17、（本题满分 12 分） 已知 是第一象限的角，且 ，求 的值。 ABCD AB DC=  AD AB AC+ =   AB AD BD− =   0AD CB+ =   0, 0a b< > 1 1 a b < a b− < 2 2a b< | | | |a b> α 5cos 13 α = ( ) sin 4 cos 2 4 πα α π  +   + 18、（本题满分 12 分）如图，当甲船位于 A 处时获悉，在其正东方方向相距 20 海里 的 处有一艘渔船遇险等待营救。甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南 偏西 ，相距 10 海里 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往 处救援（角度精确到 ）？ 19、（本题满分 14）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分。 在直三棱柱 中， . （1）求异面直线 与 所成的角的大小； （2）若 与平面 S 所成角为 ，求三棱锥 的体积。 B 30 C B 1 ABC ABC− 90 , 1ABC AB BC∠ = = = 1 1B C AC 1AC ABC 45 1A ABC− 20、（本题满分 14）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分。 设数列 的前 项和为 ，且对任意正整数 ， 。 （1）求数列 的通项公式 （2）设数列 的前 项和为 ,对数列 ，从第几项起 ？ 21、本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分。 已知在平面直角坐标系 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为 ,右顶点为 ,设点 . （1）求该椭圆的标准方程； （2）若 是椭圆上的动点，求线段 中点 的 轨迹方程； （3）过原点 的直线交椭圆于点 ，求 面积的最大值。 { }na n nS n 4096n na S+ = { }na 2{log }na n nT { }nT 509nT < − xOy ( 3,0)F − (2,0)D 11, 2A     P PA M O ,B C ABC∆ 22（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 8 分， 第 3 小题满分 6 分。 已知函数 有如下性质：如果常数 ，那么该函数在 上是减 函数，在 上是增函数。 （1）如果函数 在 上是减函数，在 上是增函数，求 的 值。 （2）设常数 ，求函数 的最大值和最小值； （3）当 是正整数时，研究函数 的单调性，并说明理由。 上海数学(文史类)参考答案 一、(第 1 题至笫 12 题) 1. 4 2. 2 3. 4. 5. 3 6.π 7. 8. 5 9. 0 10. 11.－1 (0, a ),a +∞ 2 ( 0) b y x xx = + > ( ]0,4 [ )4,+∞ b [ ]1,4c∈ ( ) (1 2)cf x x xx = + ≤ ≤ n ( ) ( 0)n n cg x x cx = + > 2 1 6 1 1169 22 =− yx 33 14 { 1,3, }A m= − {3,4}B = B A⊆ 4m = 1 2: 3 3 0, : 4 6 1 0.l ax y l x y+ − = + − = 1 2//l l 2 3 3 a− = − a = )(xf xa a a 12 a−= a 2 1 2 3 ( 1) 6 1limn n n n→∞ + =+ 2 3 11 1lim 1 66n n n →∞ + = + z ( 2) ( 1)z m m i= − + + i m R∈ 3z = 6、函数 = sin2x，它的最小正周期是 π。 7、已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为 ,则焦点在 x 轴上，且 a=3，焦距与虚轴长 之比为 ，即 ，解得 ，则双曲线的标准方程是 . 8、方程 的解满足 ，解得 x=5. 9、已知实数 满足 ，在坐标系中画出可行域，得 三个交点为 A(3，0)、B(5，0)、C(1，2)，则 的最大值是 0. 10、在一个小组中有 8 名女同学和 4 名男同学，从中任意地挑选 2 名同学担任交通安全宣传志 愿者，那么选到的两名都是女同学的概率是 . 11、曲线 得|y|>1，∴ y>1 或 y<－1，曲线与直线 没有公共点，则 的取值范 围是[－1，1]. 12、如图，平面中两条直线 和 相交于点 ，对于平面 上任意一点 ,若 分别是 到直线 和 的距离，则 称有序非负实数对 是点 的“距离坐标”，根据上述 定义，“距离坐标”是（1，2）的点可以在两条直线相交所成 的四个区域内各找到一个，所以满足条件的点的个数是 4 个. 二、选择题： 13. C 14. A 15. A 16. D 13 ． 如 图 ， 在 平 行 四 边 形 ABCD 中 ， 根 据 向 量 的 减 法 法 则 知 ，所以下列结论中错误的是 C． 14、如果 ，那么 ，∴ ，选 A. 15、若空间中有两条直线，若“这两条直线为异面直线”，则“这两条直线没有公共点”；若 “这 两条直线没有公共点”，则 “这两条直线可能平行，可能为异面直线”；∴ “这两条直线为异面 直线”是“这两条直线没有公共点”的充分非必要条件，选 A. sin cosy x x= 2 1 (3,0) 5: 4 : 5: 4c b = 5, 4c b= = 2 2 19 16 x y− = 2 3 3log ( 10) 1 logx x− = + 2 2 10 0 10 3 x x x  − >  − = ,x y 3 0 2 5 0 0 0 x y x y x y + − ≥  + − ≤ ≥  ≥ 2y x− 2 8 2 12 CP C = = 33 14 2 1xy = + y b= b 1l 2l O M ,p q M 1l 2l ( ),p q M AB AD DB− =   0, 0a b< > 1 10, 0a b < > 1 1 a b < A B CD 16、如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正 方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”，分情况讨论：① 对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有 2×12=24 个；② 对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有 12 个；所以正方体中“正交线面对”共有 36 个．选 D. 三、(第 17 题至笫 22 题) 17.解： = 由已知可得 sin , ∴原式= . 18.解：连接 BC,由余弦定理得 BC2=202+102－2×20×10COS120°=700. 于是,BC=10 . ∵ , ∴sin∠ACB= , ∵∠ACB<90° ∴∠ACB=41° ∴乙船应朝北偏东 71°方向沿直线前往 B 处救援. 19.解：(1) ∵BC∥B1C1, ∴∠ACB 为异面直线 B1C1 与 AC 所成角(或它的补角) ∵∠ABC=90°, AB=BC=1, ∴∠ACB=45°, ∴异面直线 B1C1 与 AC 所成角为 45°. (2) ∵AA1⊥平面 ABC, ∠ACA1 是 A1C 与平面 ABC 所成的角, ∠ACA =45°. ∵∠ABC=90°, AB=BC=1, AC= , ∴AA1= . ∴三棱锥 A1-ABC 的体积 V= S△ABC×AA1= . 20.解(1) ∵an+ Sn=4096, ∴a1+ S1=4096, a1 =2048. 当 n≥2 时, an= Sn－Sn－1=(4096－an)－(4096－an－1)= an－1－an ∴ = an=2048( )n－1. (2) ∵log2an=log2[2048( )n－1]=12－n, )42cos( )4sin( πα πα + + αααα αα α αα sincos 1 2 2 sincos )sin(cos2 2 2cos )sin(cos2 2 22 −⋅=− + = + 13 12=α 14 213 13 12 13 5 1 2 2 −= − × 7 710 120sin 20 sin °=ACB 7 3 2 2 3 1 2 6 1−n n a a 2 1 2 1 2 1 ∴Tn= (－n2+23n). 由 Tn<－509,解待 n> ,而 n 是正整数,于是,n≥46. ∴从第 46 项起 Tn<－509. 21.解(1)由已知得椭圆的半长轴 a=2,半焦距 c= ,则半短轴 b=1. 又椭圆的焦点在 x 轴上, ∴椭圆的标准方程为 (2)设线段 PA 的中点为 M(x,y) ,点 P 的坐标是(x0,y0), x= x0=2x－1 由 y= 得 y0=2y－ 由,点 P 在椭圆上,得 , ∴线段 PA 中点 M 的轨迹方程是 . (3)当直线 BC 垂直于 x 轴时,BC=2,因此△ABC 的面积 S△ABC=1. 当直线 BC 不垂直于 x 轴时,说该直线方程为 y=kx,代入 , 解得 B( , ),C(－ ,－ ), 则 ,又点 A 到直线 BC 的距离 d= , ∴△ABC 的面积 S△ABC= 于是 S△ABC= 由 ≥－1,得 S△ABC≤ ,其中,当 k=－ 时,等号成立. ∴S△ABC 的最大值是 . 2 1 2 460123 + 3 14 2 2 =+ yx 2 10 +x 2 2 1 0 +y 2 1 1)2 12(4 )12( 2 2 =−+− yx 1)4 1(4)2 1( 22 =−+− yx 14 2 2 =+ yx 14 2 2 +k 14 2 2 +k k 14 2 2 +k 14 2 2 +k k 2 2 41 14 k kBC + += 21 2 1 k k + − 241 12 2 1 k kdAB + −=⋅ 14 4114 144 22 2 +−=+ +− k k k kk 14 4 2 +k k 2 2 1 2 22.解(1) 由已知得 =4, ∴b=4. (2) ∵c∈[1,4], ∴ ∈[1,2], 于是,当 x= 时, 函数 f(x)=x+ 取得最小值 2 . f(1)－f(2)= , 当 1≤c≤2 时, 函数 f(x)的最大值是 f(2)=2+ ； 当 2≤c≤4 时, 函数 f(x)的最大值是 f(1)=1+c. (3)设 0g(x1), 函数 g(x)在[ ,+∞)上是增函数； 当 0g(x1), 函数 g(x)在(0, ]上是减函数. 当 n 是奇数时,g(x)是奇函数, 函数 g(x) 在(－∞,－ ]上是增函数, 在[－ ,0)上是减函数. 当 n 是偶数时, g(x)是偶函数, 函数 g(x)在(－∞,－ )上是减函数, 在[－ ,0]上是增函数. b2 c c x c c 2 2−c 2 c )1)(( 21 12 1 1 2 2 nn nn n n n n xx cxxx cxx cx −−=−−+ n c2 n c2 n c2 n c2 n a2 n a2 n a2 n a2