河南省开封市2019-2020学年高二下学期期末调研考试数学（文）试题答案 4页

（文）1 开封市 2019—2020 学年度第二学期期末调研考试 高二数学（文科）试题参考答案 一、选择题（每小题 5 分，共 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D B A A B C C C B B C D 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13. 5 3  14.3 15. 2.3 16. 2 2 2x y  三、解答题（共 70 分） 17．（12 分） 解：（1）由 cos = cosa C c A可得sin cos sin cosA C C A ，……………2 分 所以  sin 0A C  ，所以 A C ， a c .………4 分 由余弦定理可得 2 2 2 2 2 2 2 4 4 7cos = = =2 8 8 a c b b b bB ac b     .……………6 分 （2）由已知，可得 =3sin b B ，所以 2 2sin = 3B ，锐角 ABC ，所以 1cos = 3B .………8 分 由余弦定理及 a c ，可得  2 2 2 2= 2 cos =2 1 cosb a c ac B a B   ,所以 2 =6a .…………10 分 所以 21 1sin = sin =2 22 2ABCS ac B a B  .……………12 分 18．（12 分） 解：（1） 锻炼达标 锻炼不达标 合计 身体素质合格 140 40 180 身体素质不合格 70 50 120 合计 210 90 300 ………………6 分 （2） 2300 (140 50 70 40) 12.963 10.828210 90 120 180k         ，………………10 分 所以，有 99.9％的把握认为学生“身体素质”与“锻炼时间”有关.……………12 分 （文）2 19.（12 分） （1）证明：由题意直四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D ，所以 1AA ABCD 平面 ， AD ABCD 平面 ， 1AD AA所以 .……………2 分 1 1BE AB C D又 平面 ， 1 1AD AB C D 平面 AD BE，所以 .……………2 分 直四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 的侧面为矩形， 1E AB是 的中点，所以 1 1=BE AA A . 1 1AD ABB A所以 平面 .……………5 分 （2）解：因为 1 1AD ABB A 平面 ， 1 1 1AB ABB A 平面 ， 1AB AD所以 .……………6 分 根据棱柱定义， 1 1 1 1ABCD A B C D平面 ∥平面 ， 1 1B C AD所以 ∥ ， 1 1 1 1=4 =2AD B C AB C D又 ， ，所以 是直角梯形，……………8 分 又因为 1 1BE AB C D 平面 ， 1 1 1AB AB C D 平面 1BE AB，所以 ， 1 1ABB A所以 是正方形， 1= =3AB AA ，……………10 分  1 1 1 2 4 2 9 22AB C DS    所以 = 3 ， 1 1 1 1 1 1 3 2= = 9 2 9.3 3 2B AB C D AB C DV BE S     所以 ……………12 分 20．（12 分） 解：（1） 2( ) e + 1xf x a x x   ， ( ) +2 +1xf x ae x  ，…………2 分 (0) 1 (0) +1f a f a  ， ，………………4 分 ( )f x所以 在点  0 (0)f， 处的切线方程为    1 +1y a a x   ，由已知，可得 =1.a ………6 分 （2） 2 2 +1( ) e + 1=0 =x x x xf x a x x a e     ， ， 令   2 +1 x x xg x e   ，则 2 2( ) x x xg' x e   ．………………8 分 （文）3 当 1 2x x  ， 时， ( ) 0g x  ， ( )g x 单调递增；当 1 2x   时， ( ) 0g x  ， ( )g x 单调递减，  1g e  ，   2 52g e   ，………………10 分 又因为   2 2 52g e e      ，  2 0x g x 时， ， 所以 2 2 5| = .a a e a a ee         或 ………………12 分 21.（12 分） 解：（1）椭圆 C 的上顶点 A 与左、右焦点 1F ， 2F 构成一个面积为1的直角三角形. 1 b c bc   1b c   ，……………2 分 2 2 2 2a b c    ……………4 分 椭圆 C 的方程为 2 2 1.2 x y  ……………5 分 （2）由（1）知，点  0,1M ，当直线 AB 的斜率不存在时，设  0 0,A x y ，则  0 0,B x y ， 由 1 2 2k k  得 0 0 0 0 1 1 2y y x x     ，得 0 1x   ； ………………6 分 当直线 AB 的斜率存在时，设 AB 的方程为      1 1 2 21 , , , ,y kx m m A x y B x y   ， 2 2 2 2 21 (1 2 ) 4 2 2 02 x y k x kmx m y kx m             ，得 2 1 2 1 22 2 4 2 2 1 2 1 2 km mx x x xk k      ， ，…8 分    2 1 1 21 2 1 2 1 2 1 2 1 11 12 2 2kx m x kx m xy yk k x x x x             ， 即 2 1 2 1 2(2 2 ) ( 1)( ) (2 2 )(2 2) ( 1)( 4 )k x x m x x k m m km          ， 由   1, 1 1 1m k m km m k        ， ………………10 分 即  1 1 1y kx m kx k y k x         ，故直线 AB 过定点 1, 1  . 经检验，此时直线与椭圆有两个交点，满足题意.综上所述，直线 AB 过定点 1, 1  .…12 分 （文）4 22．（10 分） 解：（1）消参，曲线 C 的普通方程为   2 21 2 5x y    ，……………2 分 将 = cos , sinx y    带入可得，曲线 C 的极坐标方程为 2cos +4sin   ，………4 分 直线 l1 的直角坐标方程为 3y x .……………5 分 （2）将 = 3  和 = 6  分别带入圆 C 的极坐标方程 2cos +4sin   中， 可得 1 21+2 3, 2+ 3   ，……………7 分 由题意可知，圆 C 与 l1 和 l2 有共同交点 O， 3 6 6MON       ,……………8 分 所以   1 2 1 1 1 5 3= sin sin 1 2 3 2 3 22 2 6 4 4MONS OM ON MON          .…10 分 23．（10 分） 解：（1）当 =0, 1a b  时，由   +1f x x ，得 2 1 1x   .……………2 分 解得 0 1x  ，所以原不等式的解集为 0 1 .x x  ……………5 分 （2）因为 0, 0,a b  所以   3 , 2 = , 2 3 , 2 x a b x a bf x x a x b x a b a x bx a b x                      ，……………7 分 所以函数  f x 在 , 2 b    上单调递减，在 ,+2 b    上单调递增，……………8 分 所以当 = 2 bx 时，函数  f x 取得最小值为 = =12 2 b bf a     ，所以 2 =2.a b ……………10 分