2020-2021学年数学新教材人教B版必修第四册教案：第10章 10 11页

www.ks5u.com ‎*10.3　复数的三角形式及其运算 学 习 目 标 核 心 素 养 ‎1.通过复数的几何意义，了解复数的三角形式，了解复数的代数表示与三角表示之间的关系.‎ ‎2.了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义.‎ ‎1.借助复数的三角形式，培养数学抽象的核心素养.‎ ‎2.通过复数三角形式的运算，培养数学运算的核心素养.‎ 前面已经学习过了复数的两种表示．一是代数表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)；二是几何表示，复数z既可以用复平面上的点Z(a，b)表示，也可以用复平面上的向量来表示．现在需要学习复数的三角表示，即用复数z的模和辐角来表示复数．‎ 思考：复数的三角形式在复数的运算中有怎样的作用？‎ ‎1．复数的三角表示式及复数的辐角和辐角主值 一般地，如果非零复数z＝a＋bi(a，b∈R)在复平面内对应点Z(a，b)，且r为向量的模，θ是以x轴正半轴为始边、射线OZ为终边的一个角，则r＝|z|＝，‎ 根据任意角余弦、正弦的定义可知 cos θ＝，sin θ＝.‎ 因此a＝rcos θ，b＝rsin θ，如图所示，从而z＝a＋bi＝(rcos θ)＋(rsin θ)i＝r(cos θ＋isin θ)，‎ 上式的右边称为非零复数z＝a＋bi的三角形式(对应地，a＋bi称为复数的代数形式)，其中的θ称为z的辐角．‎ 显然，任何一个非零复数z的辐角都有无穷多个，而且任意两个辐角之间都相差2π的整数倍．特别地，在[0,2π)内的辐角称为z的辐角主值，记作arg z.‎ ‎2．复数三角形式的乘、除运算 若复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，且z1≠z2，则 ‎(1)z1z2＝r1(cos θ1＋isin θ1)×r2(cos θ2＋isin θ2)‎ ‎＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．‎ ‎(2)＝ ‎＝ [cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．‎ ‎(3)[r(cos θ＋isin θ)]n＝rn[cos(nθ)＋isin(nθ)].‎ ‎1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)‎ ‎(1)复数的辐角是唯一的． (　　)‎ ‎(2)z＝cos θ－isin θ是复数的三角形式． (　　)‎ ‎(3)z＝－2(cos θ＋isin θ)是复数的三角形式． (　　)‎ ‎(4)复数z＝cos π＋isin π的模是1，辐角的主值是π. (　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√‎ ‎2．复数z＝1＋i的三角形式为z＝________.‎ 　[r＝，cos θ＝＝，‎ 又因为1＋i对应的点位于第一象限，‎ 所以arg(1＋i)＝.‎ 所以z＝.]‎ ‎3．复数6的代数形式为________．‎ ‎6i　[6＝6cos＋6isin＝6i.]‎ ‎4．计算：(1)6×4＝________；‎ ‎(2)6÷4＝________.‎ ‎(1)24i　(2)＋i　[(1)6×4 ‎＝24 ‎＝24i.‎ ‎(2)6÷4 ‎＝ ‎＝ ‎＝＋i.]‎ 复数的代数形式与三角形式的互化 角度1　代数形式化为三角形式 ‎【例1】　把下列复数的代数形式化成三角形式：‎ ‎(1)＋i；‎ ‎(2)－i.‎ ‎[解]　(1)r＝＝2，因为＋i对应的点在第一象限，‎ 所以cos θ＝，即θ＝，‎ 所以＋i＝2.‎ ‎(2)r＝＝2，cos θ＝，‎ 又因为－i对应的点位于第四象限，‎ 所以θ＝.‎ 所以－i＝2.‎ 复数的代数形式化为三角形式的步骤 ‎(1)先求复数的模．‎ ‎(2)决定辐角所在的象限．‎ ‎(3)根据象限求出辐角．‎ ‎(4)求出复数的三角形式．‎ 提醒：一般在复数三角形式中的辐角，常取它的主值，这使表达式简便，又便于运算，但三角形式辐角不一定取主值．‎ 角度2　三角形式化为代数形式 ‎【例2】　分别指出下列复数的模和辐角主值，并把这些复数表示成代数形式．‎ ‎(1)4；‎ ‎(2)(cos 60°＋isin 60°)；‎ ‎(3)2.‎ ‎[解]　(1)复数4的模r＝4，辐角主值为θ＝.‎ ‎4＝4cos＋4isin ‎＝4×＋4×i ‎＝2＋2i.‎ ‎(2)(cos 60°＋isin 60°)的模r＝，辐角主值为θ＝60°.‎ (cos 60°＋isin 60°)＝×＋×i ‎＝＋i.‎ ‎(3)2 ‎＝2 ‎＝2.‎ 所以复数的模r＝2，辐角主值为π.‎ ‎2＝2cosπ＋2isinπ ‎＝2×＋2×i.‎ ‎＝1－i.‎ 复数的三角形式z＝r(cos θ＋isin θ)必须满足“模非负、余正弦、＋相连、角统一、i跟sin”，否则就不是三角形式，只有化为三角形式才能确定其模和辐角，如本例(3).‎ ‎1．下列复数是不是复数的三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式．‎ ‎(1)；‎ ‎(2)－；‎ ‎(3)；‎ ‎(4)cos＋isin.‎ ‎[解]　根据复数三角形式的定义可知，(1)、(2)、(3)不是，(4)是复数的三角形式．‎ ‎(1)原式＝.‎ ‎(2)原式＝ ‎＝.‎ ‎(3)原式＝ ‎＝.‎ 复数三角形式的乘、除运算 ‎【例3】　计算：‎ ‎(1)8×4；‎ ‎(2)(cos 225°＋isin 225°)÷[(cos 150°＋isin 150°)]；‎ ‎(3)4÷.‎ ‎[解]　(1)8×4 ‎＝32 ‎＝32 ‎＝32 ‎＝32 ‎＝16＋16i.‎ ‎(2)(cos 225°＋isin 225°)÷[(cos 150°＋isin 150°)]‎ ‎＝[cos(225°－150°)＋isin(225°－150°)]‎ ‎＝(cos 75°＋isin 75°)＝ ‎＝＋i ‎＝＋i.‎ ‎(3)4÷ ‎＝4(cos 0＋isin 0)÷ ‎＝4 ‎＝2－2i.‎ ‎1．乘法法则：模相乘，辐角相加．‎ ‎2．除法法则：模相除，辐角相减．‎ ‎3．复数的n次幂，等于模的n次幂，辐角为n倍．‎ ‎2．计算：‎ ‎(1)；‎ ‎(2)(cos 75°＋isin 75°)×；‎ ‎(3)÷.‎ ‎[解]　(1) ‎＝()2 ‎＝2 ‎＝－1＋i.‎ ‎(2)－i＝ ‎＝，‎ 所以(cos 75°＋isin 75°)× ‎＝× ‎＝× ‎＝cosπ＋isinπ ‎＝cos＋isin ‎＝＋i.‎ ‎(3)因为－＋i＝cosπ＋isinπ，‎ 所以÷ ‎＝÷ ‎＝ ‎＝＝＋i.‎ 复数三角形式乘、除运算的几何意义 ‎【例4】　在复平面内，把复数3－i对应的向量分别按逆时针和顺时针方向旋转，求所得向量对应的复数．‎ ‎[解]　因为3－i＝2 ‎＝2，‎ 所以2× ‎＝2 ‎＝2 ‎＝2 ‎＝3＋i，‎ ‎2× ‎＝2 ‎＝2 ‎＝－2i.‎ 故把复数3－i对应的向量按逆时针旋转得到的复数为3＋i，按顺时针旋转得到的复数为－2i.‎ 两个复数z1，z2相乘时，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2＜0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2.‎ ‎3．在复平面内，把与复数＋i对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转，然后将其长度伸长为原来的2倍，求与所得向量对应的复数．(用代数形式表示)‎ ‎[解]　＋i＝，‎ 由题意得× ‎＝×2 ‎＝3 ‎＝3i，‎ 即与所得向量对应的复数为3i.‎ 知识：‎ ‎(1)任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍．‎ ‎(2)复数0的辐角是任意的．‎ ‎(3)在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角主值，通常记作arg z，且0≤arg z＜2π.‎ ‎(4)两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角主值分别相等．‎ 方法：‎ 两个复数三角形式乘法的法则可简记为：模相乘，辐角相加，并且可以作以下推广；‎ ‎(1)有限个复数相乘，结论亦成立．‎ 即z1·z2…zn＝r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2)…rn(cos θn＋isin θn)＝r1·r2…rn[cos(θ1＋θ2＋…＋θn)＋isin(θ1＋θ2＋…＋θn)]．‎ ‎(2)当z1＝z2＝…＝zn＝z时，即r1＝r2＝…＝rn＝r，θ1＝θ2＝…＝θn＝θ，有zn＝[r(cos θ＋isin θ)]n＝rn[cos(nθ)＋isin(nθ)]，这就是复数三角形式的乘方法则，即：模数乘方，辐角n倍．‎ ‎1．复数1－i的辐角主值是(　　)‎ A．π　　　　　　　 B．π C．π D． A　[因为1－i＝2＝2，‎ 所以1－i的辐角主值为π.]‎ ‎2．复数9(cos π＋isin π)的模是________．‎ ‎[答案]　9‎ ‎3．复数－1＋i的辐角主值是________．‎ π　[将复数－1＋i化为三角形式：‎ ‎－1＋i＝2，即得－1＋i的辐角主值为π.]‎ ‎4．(cos 75°＋isin 75°)(cos 15°＋isin 15°)＝________.‎ i　[(cos 75°＋isin 75°)(cos 15°＋isin 15°)‎ ‎＝cos(75°＋15°)＋isin(75°＋15°)‎ ‎＝cos 90°＋isin 90°‎ ‎＝i.]‎ ‎5．2(cos 300°＋isin 300°)÷＝________.‎ ‎－＋i　[2(cos 300°＋isin 300°)÷ ‎＝2÷ ‎＝ ‎＝ ‎＝－＋i.]‎