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- 2021-06-16 发布
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第一章 集合与常用逻辑用语
1.4
充分条件与必要条件
1.4.1
充分条件与必要条件
[
学习目标
]
1.
通过对典型数学命题的梳理
,
理解充分条件的意义
,
理解判定定理与充分条件的关系
.
2.
通过对典型数学命题的梳理
,
理解必要条件的意义
,
理解性质定理与必要条件的关系
.
3.
能初步使用常用逻辑用语进行数学表达、论证和交流
,
提升逻辑推理素养
.
一、充分条件与必要条件
[
知识梳理
]
1
.
命题及其相关概念
(1)
命题
:
一般地
,
把用语言、符号或式子表达的
,
可以
叫做
命题
.
(2)
真命题
:
的
语句是真命题
.
(3)
假命题
:
的
语句是假命题
.
判断真假的
陈述句
判断为真
判断为假
2
.
充分条件与必要条件的概念
若
p
,
则
q
为真命题
↓
p
⇒
q
↓
p
是
q
的
,
q
是
p
的
.
充分条件
必要条件
提示
:
不唯一
,
如
x
>1,
x
>6
都是
x
>0
的充分条件
;
x
>0,
x
>1
都是
x
>6
的必要条件
.
提示
:
如果
q
不成立
,
那么
p
一定不成立
.
如
x
>1
是
x
>6
的必要条件
,
若
x
≤1,
则
x
>6
一定不会成立
.
提示
:
p
⇒
q
说明命题
“
若
p
,
则
q
”
为真
,
即如果
p
成立
,
那么
q
一定成立
,
如果
“
若
p
,
则
q
”
为假
,
那么应记作
“
p
⇏
q
”
.
[
基础测试
]
判断
.
(
正确的画“√”
,
错误的画“
×
”
)
(1)
“
x
>0
”是“
x
>1
”的充分条件
.
(
)
(
2)
若
x
2
=36,
则
x
=6
.
(
)
(
3)
“
x
>1
”是“
x
>0
”的充分条件
.
(
)
(
4)
若
x
≠
0,
则
xy
≠
0
.
(
)
答案
:
×
答案
:
×
答案
:
√
答案
:
×
解析
:
由“
A
={0}
”可推出“
A
∩
{0,1}={0}
”
,
由“
A
∩
{0,1}={0}
”不能推出“
A
={0}
”
.
故“
A
∩
{0,1}={0}
”是“
A
={0}
”的必要不充分条件
必要不充分
解
:
(1)
由
a
<1
不一定能得到
>1(
如
a
=-1);
但当
>1
时
,
有
0<
a
<1,
从而一定能推出
a
<1,
所以
p
是
q
的必要不充分条件
.
(2)
解不等式
x
(
x
+1)>0
可得
x
>0
或
x
<-1,
所以由
“
x
>0”
能推出
“
x
>0
或
x
<-1”;
由
“
x
>0
或
x
<-1”
不能推出
“
x
>0”,
所以
p
是
q
的充分不必要条件
.
解析
:
p
:-2≤
x
≤10,
q
:1-
m
≤
x
≤1+
m
(
m
>0)
.
设
p
对应的不等式的解集为
A
,
q
对应的不等式的解集为
B.
因为
p
是
q
的充分不必要条件
,
所以
A
⫋
B.
所以
或
解得
m
≥9,
即实数
m
的取值范围是
m
≥9
.
m
≥9
解析
:
p
:
x
2
+
x
-6=0,
即
x
=2
或
x
=-3
.
q
:
ax
+1=0,
当
a
=0
时
,
方程无解
;
当
a
≠0
时
,
x
=-
.
由题意
,
知
p
⇒
/q
,
且
q
⇒
p
,
故
a
=0
舍去
;
当
a
≠0
时
,
应有
-
=2
或
-
=-3,
解得
a
=-
或
a
=
.
综上可知
,
a
=-
或
a
=
.
-
或
解析
:
设
q
,
p
对应的不等式的解集为集合
A
,
B
,
则
A
=
{
x
|2<
x
<3},
B
={
x
|
a
-4<
x
<
a
+4}
.
因为
q
是
p
的充分不必要条件
,
所以
A
⫋
B
,
即
或
解得
-1≤
a
≤6
.
-1≤
a
≤6
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