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  • 2021-06-16 发布

2020_2021学年新教材高中数学第5章函数概念与性质章末综合提升教学案含解析苏教版必修第一册

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函数概念与性质 ‎[巩固层·知识整合]‎ ‎[提升层·题型探究]‎ 函数值域的求法 函数的值域由函数的定义域和对应关系确定,一旦函数的定义域和对应关系确定了,值域也就确定了.而求函数的值域并没有统一的方法,如果函数的定义域是由有限的几个数构成的集合,那么可将函数值一个一个求出来构成集合——值域;如果函数的定义域是一个无限数集,那么需根据函数解析式的特点采取相应的方法来求其值域.‎ ‎【例1】 求下列函数的值域:‎ ‎(1)y=;(2)y=;(3)f(x)=x+;‎ ‎(4)y=.‎ ‎[思路点拨] (1)用直接法(观察法);(2)所求函数解析式为分式,因此可利用分离系数法或反解法;(3)中含有根式,可利用换元法求解;(4)可以转化为关于x的一元二次方程,利用判别式法求出值域,也可以创造条件利用基本不等式求出最值,得到值域.‎ ‎[解] (1)由偶次方根的被开方数为非负数,得2x≥0,即x≥0.所以函数y=的定义域为[0,+∞),因此≥0,所以函数y=的值域为[0,+∞).‎ ‎(2)法一(分离系数法):y===2+.而≠0,所以2+≠2,因此函数y=的值域为(-∞,2)∪(2,+∞).‎ - 6 -‎ 法二(反解法):因为分式的分母不能为零,所以x+3≠0,即x≠-3,所以函数y=的定义域为{x∈R|x≠-3}.又由y=,得x=.而分式的分母不能为零,所以2-y≠0,即y≠2.所以函数y=的值域为(-∞,2)∪(2,+∞).‎ ‎(3)令=t,则t≥0,x==t2+,‎ ‎∴y=t2++t=-.‎ ‎∵t≥0,∴y≥,‎ ‎∴函数f(x)=x+的值域为.‎ ‎(4)法一(判别式法):由y=得x2-yx+1=0,因为关于x的方程有实数根,所以Δ=y2-4≥0,解得y≥2或y≤-2,所以该函数的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞).‎ 法二(基本不等式法):函数y=的定义域为{x|x∈R且x≠0},‎ 当x>0时,y=x+≥2当且仅当x=1时取等号.‎ 当x<0时,y=x+=-≤-2当且仅当x=-1时取等号.‎ 所以该函数的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞).‎ 常见的求值域的方法 (1)直接法(观察法):对于有些函数直接求出函数值,并将所有函数值组成集合,就得到函数的值域.例如求函数f(x)=5x+1(x∈{1,2,3,4})的值域,只需将所有自变量的函数值都求出来,即可得到函数f(x)的值域为{6,11,16,21}.‎ (2)分离常数法:对于一些分式函数,可以利用多项式除法化成一个常数与一个分式之和的形式,然后根据分式的特点去求函数的值域.‎ (4)图象法:通过观察函数的图象,运用数形结合的方法得到函数的值域.‎ - 6 -‎ (5)换元法:根据解析式的特点,可将解析式中某个关于x的整体式设为t,转化为关于t的某种简单的基本初等函数,再确定t的取值范围,进而运用简单的初等函数求值域的方法求解.‎ (6)判别式法:对于形如:的函数,(f(x)、g(x)是一次函数或二次函数,且至少一个二次函数)可以将方程转化为关于x的整式方程,利用一元二次方程有实数根,利用根的判别式不小于零,得到关于y的不等式,解出其解集,就是函数的值域.‎ (7)基本不等式法:创造条件利用基本不等式可以求出函数的最值,再进一步求解.‎ ‎1.(1)(一题两空)函数f(x)=则f(x)的最大值与最小值分别为    、    .‎ ‎(2)已知函数f(x)=-x2+4x+a,x∈[0,1],若f(x)有最小值-2,则f(x)的最大值为    .‎ ‎(1)10 6 (2)1 [(1)f(x)在[1,2]和[-1,1)上分别递增,而且在[1,2]上,f(x)min=f(1)=8.‎ 在[-1,1]上,f(x)0,1+x>0,1+x>0.‎ 又∵-10,‎ ‎∴f(x2)-f(x1)>0,故f(x2)>f(x1),‎ ‎∴f(x)在(-1,1)上是增函数.‎ ‎(3)原不等式可化为f(t-1)<-f(t)=f(-t).‎ ‎∵f(x)在(-1,1)上是增函数,‎ ‎∴-10时,f(x)<0,f(1)=-2.‎ ‎(1)求证:f(x)是奇函数;‎ ‎(2)在区间[-3,3]上,f(x)是否有最值?如果有,求出最值;如果没有,说明理由.‎ ‎[解] (1)令x=y=0,则有f(0+0)=f(0)+f(0),‎ 即f(0)=‎2f(0),所以f(0)=0.‎ 令y=-x,则有0=f(0)=f(x)+f(-x),所以f(x)为奇函数.‎ ‎(2)任取-3≤x10.‎ 由题意,得f(x2-x1)<0,‎ 且f(x1)-f(x2)=f(x1)-f[x1+(x2-x1)]‎ ‎=f(x1)-[f(x1)+f(x2-x1)]‎ ‎=-f(x2-x1)>0,‎ - 6 -‎ 即f(x1)>f(x2),所以f(x)在[-3,3]上为减函数.‎ 所以函数f(x)在[-3,3]上有最值,最大值为f(-3)=-f(3)=-‎3f(1)=6,最小值为f(3)=-f(-3)=‎3f(1)=-6.‎ 函数的图象与数形结合思想 函数的图象是函数的重要表示方法,它具有明显的直观性,通过函数的图象能够掌握函数重要的性质,如单调性、奇偶性等.反之,掌握好函数的性质,有助于图象正确的画出.这体现了数形结合.所以我们应该熟悉一些函数的图象,做到应用自如.与图象相关的题目有:知式选图(作图),知图选式,比较大小,求单调区间,判断根(交点)的个数等.‎ ‎【例3】 (1)若函数y=f(x)与y=g(x)的图象分别如图(1)及图(2)所示,则f(x)·g(x)的图象可能是    .(填序号)‎ ‎(2)若方程x2-4|x|+5=m有4个互不相等的实数根,则m的取值范围是    .‎ ‎[思路点拨] (1)利用函数的奇偶性进行选择;(2)作出函数的图象,观察图象即可.‎ ‎(1)③ (2)10,g(x)>0,所以f(x)·g(x)>0,只有③符合.‎ ‎(2)令f(x)=x2-4|x|+5,‎ 则f(x)= 作出f(x)的图象,如图所示.‎ 由图象可知,当1