2020_2021学年新教材高中数学第5章函数概念与性质章末综合提升教学案含解析苏教版必修第一册 6页

函数概念与性质 ‎[巩固层·知识整合]‎ ‎[提升层·题型探究]‎ 函数值域的求法 函数的值域由函数的定义域和对应关系确定，一旦函数的定义域和对应关系确定了，值域也就确定了．而求函数的值域并没有统一的方法，如果函数的定义域是由有限的几个数构成的集合，那么可将函数值一个一个求出来构成集合——值域；如果函数的定义域是一个无限数集，那么需根据函数解析式的特点采取相应的方法来求其值域．‎ ‎【例1】　求下列函数的值域：‎ ‎(1)y＝；(2)y＝；(3)f(x)＝x＋；‎ ‎(4)y＝．‎ ‎[思路点拨]　(1)用直接法(观察法)；(2)所求函数解析式为分式，因此可利用分离系数法或反解法；(3)中含有根式，可利用换元法求解；(4)可以转化为关于x的一元二次方程，利用判别式法求出值域，也可以创造条件利用基本不等式求出最值，得到值域．‎ ‎[解]　(1)由偶次方根的被开方数为非负数，得2x≥0，即x≥0．所以函数y＝的定义域为[0，＋∞)，因此≥0，所以函数y＝的值域为[0，＋∞)．‎ ‎(2)法一(分离系数法)：y＝＝＝2＋．而≠0，所以2＋≠2，因此函数y＝的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．‎ - 6 -‎ 法二(反解法)：因为分式的分母不能为零，所以x＋3≠0，即x≠－3，所以函数y＝的定义域为{x∈R|x≠－3}．又由y＝，得x＝．而分式的分母不能为零，所以2－y≠0，即y≠2．所以函数y＝的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．‎ ‎(3)令＝t，则t≥0，x＝＝t2＋，‎ ‎∴y＝t2＋＋t＝－．‎ ‎∵t≥0，∴y≥，‎ ‎∴函数f(x)＝x＋的值域为．‎ ‎(4)法一(判别式法)：由y＝得x2－yx＋1＝0，因为关于x的方程有实数根，所以Δ＝y2－4≥0，解得y≥2或y≤－2，所以该函数的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．‎ 法二(基本不等式法)：函数y＝的定义域为{x|x∈R且x≠0}，‎ 当x>0时，y＝x＋≥2当且仅当x＝1时取等号．‎ 当x<0时，y＝x＋＝－≤－2当且仅当x＝－1时取等号．‎ 所以该函数的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．‎ 常见的求值域的方法 (1)直接法(观察法)：对于有些函数直接求出函数值，并将所有函数值组成集合，就得到函数的值域.例如求函数f(x)＝5x＋1(x∈{1，2，3，4})的值域，只需将所有自变量的函数值都求出来，即可得到函数f(x)的值域为{6，11，16，21}.‎ (2)分离常数法：对于一些分式函数，可以利用多项式除法化成一个常数与一个分式之和的形式，然后根据分式的特点去求函数的值域.‎ (4)图象法：通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域.‎ - 6 -‎ (5)换元法：根据解析式的特点，可将解析式中某个关于x的整体式设为t，转化为关于t的某种简单的基本初等函数，再确定t的取值范围，进而运用简单的初等函数求值域的方法求解.‎ (6)判别式法：对于形如：的函数，(f(x)、g(x)是一次函数或二次函数，且至少一个二次函数)可以将方程转化为关于x的整式方程，利用一元二次方程有实数根，利用根的判别式不小于零，得到关于y的不等式，解出其解集，就是函数的值域.‎ (7)基本不等式法：创造条件利用基本不等式可以求出函数的最值，再进一步求解.‎ ‎1．(1)(一题两空)函数f(x)＝则f(x)的最大值与最小值分别为　　　　、　　　　．‎ ‎(2)已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为　　　　．‎ ‎(1)10　6　(2)1　[(1)f(x)在[1,2]和[－1,1)上分别递增，而且在[1,2]上，f(x)min＝f(1)＝8．‎ 在[－1,1]上，f(x)0,1＋x>0,1＋x>0．‎ 又∵－10，‎ ‎∴f(x2)－f(x1)>0，故f(x2)>f(x1)，‎ ‎∴f(x)在(－1,1)上是增函数．‎ ‎(3)原不等式可化为f(t－1)<－f(t)＝f(－t)．‎ ‎∵f(x)在(－1,1)上是增函数，‎ ‎∴－10时，f(x)<0，f(1)＝－2．‎ ‎(1)求证：f(x)是奇函数；‎ ‎(2)在区间[－3,3]上，f(x)是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说明理由．‎ ‎[解]　(1)令x＝y＝0，则有f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，‎ 即f(0)＝‎2f(0)，所以f(0)＝0．‎ 令y＝－x，则有0＝f(0)＝f(x)＋f(－x)，所以f(x)为奇函数．‎ ‎(2)任取－3≤x10．‎ 由题意，得f(x2－x1)<0，‎ 且f(x1)－f(x2)＝f(x1)－f[x1＋(x2－x1)]‎ ‎＝f(x1)－[f(x1)＋f(x2－x1)]‎ ‎＝－f(x2－x1)>0，‎ - 6 -‎ 即f(x1)>f(x2)，所以f(x)在[－3,3]上为减函数．‎ 所以函数f(x)在[－3,3]上有最值，最大值为f(－3)＝－f(3)＝－‎3f(1)＝6，最小值为f(3)＝－f(－3)＝‎3f(1)＝－6．‎ 函数的图象与数形结合思想 函数的图象是函数的重要表示方法，它具有明显的直观性，通过函数的图象能够掌握函数重要的性质，如单调性、奇偶性等．反之，掌握好函数的性质，有助于图象正确的画出．这体现了数形结合．所以我们应该熟悉一些函数的图象，做到应用自如．与图象相关的题目有：知式选图(作图)，知图选式，比较大小，求单调区间，判断根(交点)的个数等．‎ ‎【例3】　(1)若函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象分别如图(1)及图(2)所示，则f(x)·g(x)的图象可能是　　　　．(填序号)‎ ‎(2)若方程x2－4|x|＋5＝m有4个互不相等的实数根，则m的取值范围是　　　　．‎ ‎[思路点拨]　(1)利用函数的奇偶性进行选择；(2)作出函数的图象，观察图象即可．‎ ‎(1)③　(2)10，g(x)>0，所以f(x)·g(x)>0，只有③符合．‎ ‎(2)令f(x)＝x2－4|x|＋5，‎ 则f(x)＝ 作出f(x)的图象，如图所示．‎ 由图象可知，当1