2020_2021学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用6 29页

6 . 3 . 5 　 平面向量数量积的坐标表示 课标阐释 思维脉络 1 . 掌握平面向量数量积的坐标表示 , 会根据向量的坐标形式求数量积、模、夹角 . ( 数学运算 ) 2 . 掌握向量垂直条件的坐标形式 , 并能灵活运用 . ( 数学运算、逻辑推理 ) 激趣诱思 知识点拨 “ 我知道我一直有双隐形的翅膀 , 带我飞飞过绝望 , 不去想他们拥有美丽的太阳 , 我看见每天的夕阳也会有变化 , 我知道我一直有双隐形的翅膀 , 带我飞给我希望 ……” 如果能为平面向量的数量积插上 “ 翅膀 ”, 它又能飞多远呢 ? 本节讲解平面向量数量积的 “ 翅膀 ”—— 坐标表示 , 它使平面向量的数量积同时具有几何形式和代数形式的 “ 双重身份 ”, 从而可以使几何问题数量化 , 把 “ 定性 ” 研究推向 “ 定量 ” 研究 . 激趣诱思 知识点拨 知识点一、平面向量的数量积与向量垂直的坐标表示 1 . 平面向量数量积的坐标表示 若 a = ( x 1 , y 1 ), b = ( x 2 , y 2 ), 则 a · b = x 1 x 2 +y 1 y 2 , 即两个向量的数量积 等于 它们 对应坐标的乘积的和 . 2 . 两个向量垂直的坐标表示 设两个非零向量 a = ( x 1 , y 1 ), b = ( x 2 , y 2 ), 则 a ⊥ b ⇔ x 1 x 2 +y 1 y 2 = 0 . 名师点析 已知两个非零向量 a = ( a 1 , a 2 ), b = ( b 1 , b 2 ) . a ∥ b ⇔ a 1 b 2 -a 2 b 1 = 0; a ⊥ b ⇔ a 1 b 1 +a 2 b 2 = 0 . 这两个结论容易混淆 , 可分别简记为 “ 纵横交错积的差为零 , 横横纵纵积的和为零 ” . 激趣诱思 知识点拨 微练习 (1) 若向量 a = (4, - 2), b = ( - 1, - 6), 则 a · b = 　　　　　 .  (2) 若向量 a = (3, x ), b = (2, - 6), 且 a ⊥ b , 则 x= 　　　　　 .  解析 : (1) a · b = 4 × ( - 1) + ( - 2) × ( - 6) = 8 . (2) 因为 a ⊥ b , 所以 a · b = 0, 即 3 × 2 + ( - 6) x= 0, 解得 x= 1 . 答案 : (1)8 　 (2)1 激趣诱思 知识点拨 知识点二、平面向量的模与夹角的坐标 表示 激趣诱思 知识点拨 微思考 如果表示向量 a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为 A ( x 1 , y 1 ) 、 B ( x 2 , y 2 ), 如何表示向量 a ? 怎样表示 | a | ? 激趣诱思 知识点拨 微练习 (1) 设 a = ( - 2,3), 则 | a |= 　　　　　 .  (2) 若 a = (4, - 3), b = ( - 8, - 6), 则 a , b 夹角的余弦值等于 　　　　　 .  (3) 已知 A (2,6), B (4,7), 则 = 　　　　　 .  探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 数量积的坐标运算 角度 1 　 数量积的基础坐标运算 例 1 已知向量 a = ( - 1,2), b = (3,2) . (1) 求 a ·( a - b ); (2) 求 ( a + b )·(2 a - b ); (3) 若 c = (2,1), 求 ( a · b ) c , a ( b · c ) . 分析 根据坐标运算法则 , 结合数量积的运算律进行计算 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解 : (1)( 方法一 ) ∵ a = ( - 1,2), b = (3,2), ∴ a - b = ( - 4,0) . ∴ a ·( a - b ) = ( - 1,2)·( - 4,0) = ( - 1) × ( - 4) + 2 × 0 = 4 . ( 方法二 ) a ·( a - b ) = a 2 - a · b = ( - 1) 2 + 2 2 - [( - 1) × 3 + 2 × 2] = 4 . (2) ∵ a + b = ( - 1,2) + (3,2) = (2,4), 2 a - b = 2( - 1,2) - (3,2) = ( - 2,4) - (3,2) = ( - 5,2), ∴ ( a + b )·(2 a - b ) = (2,4)·( - 5,2) = 2 × ( - 5) + 4 × 2 =- 2 . (3)( a · b ) c = [( - 1,2)·(3,2)](2,1) = ( - 1 × 3 + 2 × 2)(2,1) = (2,1) . a ( b · c ) = ( - 1,2)[(3,2)·(2,1)] = ( - 1,2)(3 × 2 + 2 × 1) = 8( - 1,2) = ( - 8,16) . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 角度 2 　 数量积的坐标运算在几何图形中的 应用 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 答案 : 5 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 数量积运算的途径及注意点 (1) 进行向量的数量积运算 , 前提是牢记有关的运算法则和运算性质 . 解题时通常有两条途径 : 一是先将各向量用坐标表示 , 直接进行数量积运算 ; 二是先将向量用基底表示 , 再利用数量积的运算律将原式展开 , 再依据已知计算 . (2) 对于以图形为背景的向量数量积运算的题目 , 只需把握图形的特征 , 建立平面直角坐标系 , 写出相应点的坐标即可求解 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 答案 : (1)B 　 ( 2)C 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 利用坐标运算解决模的问题 例 3 已知向量 a = (1,2), b = (3, - 1) . (1) 求 | a - 2 b | ; (2) 求与 a 垂直的单位向量 ; (3) 求与 b 平行的单位向量 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 1 . 求向量的模的两种基本策略 (1) 字母表示下的运算 : 利用 | a | 2 = a 2 , 将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题 . (2) 坐标表示下的运算 : 若 a = ( x , y ), 则 a · a = a 2 =| a | 2 =x 2 +y 2 , 于是有 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 2 若向量 a = (2 x- 1,3 -x ), b = (1 -x ,2 x- 1), 则 | a + b | 的最小值为 ( 　　 ) 答案 : C 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 利用坐标运算解决夹角与垂直问题 例 4 已知平面向量 a = (3,4), b = (9, x ), c = (4, y ), 且 a ∥ b , a ⊥ c . (1) 求 b 与 c ; (2) 若 m = 2 a - b , n = a + c , 求向量 m , n 的夹角的大小 . 分析 (1) 根据两向量平行与垂直的条件建立方程求解 ;(2) 根据两向量的夹角公式求解 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解 : (1) 因为 a ∥ b , 所以 3 x= 4 × 9, 即 x= 12 . 因为 a ⊥ c , 所以 3 × 4 + 4 y= 0, 所以 y=- 3 . 故 b = (9,12), c = (4, - 3) . (2) m = 2 a - b = (6,8) - (9,12) = ( - 3, - 4), n = a + c = (3,4) + (4, - 3) = (7,1) . 设 m , n 的夹角为 θ , 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 延伸探究 本例中 , 其他条件不变 , 若向量 d = (2,1), 且 c +t d 与 d 的夹角为 45°, 求实数 t 的值 . 解 : 由已知得 c = (4, - 3), 所以 c +t d = (4, - 3) +t (2,1) = (2 t+ 4, t- 3), 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 向量夹角的综合问题 典例 已知向量 a = (2,1), b = (1, k ), 且 a 与 b 的夹角为锐角 , 则实数 k 的取值范围是 ( 　　 ) 答案 : B 方法点睛 对非零向量 a 与 b , 设其夹角为 θ , 则 θ 为锐角 ⇔ cos θ > 0, 且 cos θ ≠1 ⇔ a · b > 0, 且 a ≠ m b ( m> 0); θ 为钝角 ⇔ cos θ < 0, 且 cos θ ≠ - 1 ⇔ a · b < 0, 且 a ≠ m b ( m< 0); θ 为直角 ⇔ cos θ = 0 ⇔ a · b = 0 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 (1) 将本例中的条件 “ a = (2,1)” 改为 “ a = ( - 2,1)”,“ 锐角 ” 改为 “ 钝角 ”, 求实数 k 的取值范围 . (2) 将本例中的条件 “ 锐角 ” 改为 “ ”, 求 k 的值 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 答案 : D 2 . (2019 北京高考 ) 已知向量 a = ( - 4,3), b = (6, m ), 且 a ⊥ b , 则 m= 　　　　　 .  解析 : ∵ a = ( - 4,3), b = (6, m ), a ⊥ b , ∴ a · b = 0, 即 - 4 × 6 + 3 m= 0, 即 m= 8 . 答案 : 8 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 3 . 已知 a = (1,2), b = ( - 2, n ), 且 a ⊥ b , 则 | 3 a + b |= 　　　　　 .  解析 : 因为 a ⊥ b , 所以 - 2 + 2 n= 0 . 于是 n= 1, 因此 a = (1,2), b = ( - 2,1), 所以 3 a + b = (1,7), 故 | 3 a + b |= 5 . 答案 : 5 4 . 已知 a = ( m ,6), b = (2,1), 向量 a 与向量 b 的夹角是锐角 , 则实数 m 的取值范围是 　 .  解析 : ∵ 向量 a 与向量 b 的夹角是锐角 , ∴ a · b = 2 m+ 6 > 0, 即 m>- 3 . 当 a 与 b 共线时 , , ∴ m= 12, 此时 a 与 b 同向 , 夹角为 0 ° . ∴ 实数 m 的取值范围是 ( - 3,12) ∪ (12, +∞ ) . 答案 : ( - 3,12) ∪ (12, +∞ ) 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 5 . (2019 四川广元高一检测 ) 已知向量 a = (1,2), b = ( - 3,4) . (1) 求 | 3 a - b | 的值 ; (2) 若 a ⊥ ( a + λ b ), 求 λ 的值 . 解 : (1) 因为向量 a = (1,2), b = ( - 3,4), 则 3 a - b = (6,2 ), ( 2) 因为向量 a = (1,2), b = ( - 3,4), 则 a + λ b = (1 - 3 λ ,2 + 4 λ ), 若 a ⊥ ( a + λ b ), 则 a ·( a + λ b ) = 1 × (1 - 3 λ ) + 2 × (2 + 4 λ ) = 5 + 5 λ = 0, 解得 λ =- 1 .