广西钦州市2019-2020学年高二下学期期末考试教学质量监测数学（理）试题 Word版含解析 17页

钦州市2020年春季学期教学质量监测 高二数学（理科）‎ ‎（考试时间：120分钟：赋分：150分）‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，有且只有一项是符合题目要求的.（温馨提示：请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效.）‎ ‎1. 是虚数单位，复数（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接由复数的除法运算可得解.‎ ‎【详解】复数，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，属于基础题.‎ ‎2. 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则极坐标为的点对应的直角坐标为（ ）‎ A. B. C. （ D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用极坐标和直角坐标之间转换求出结果．‎ ‎【详解】，‎ - 17 -‎ ‎，‎ 极坐标为的点对应的直角坐标为 故选：B ‎【点睛】本题考查直角坐标和极坐标之间的转换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．‎ ‎3. 用反证法证明命题“，，若，则，至少有一个大于0”，证明的第一步的正确表述是（ ）‎ A. 假设，全都大于0 B. 假设，至少有一个小于或等于0‎ C. 假设，全都小于或等于0 D. 假设，至多有一个大于0‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用反证法的定义分析判断得解.‎ ‎【详解】用反证法证明命题“，，若，则，至少有一个大于0”时，假设的内容应该是对结论的否定，即：假设，全都小于或等于0.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查反证法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎4. 某次抽奖活动中，参与者每次抽中奖的概率均为，现甲参加3次抽奖，则甲恰好有一次中奖的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题根据独立重复试验直接计算概率即可.‎ ‎【详解】因为参与者每次抽中奖的概率均为，‎ - 17 -‎ 则甲参加3次抽奖，甲恰好有一次中奖的概率为.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查独立重复试验求概率的问题，是基础题.‎ ‎5. 已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（ ）‎ A. －2 B. 0 C. 1 D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出，再利用即可求解.‎ ‎【详解】由，则，‎ ‎，，解得.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查了导数的几何意义，解题的关键是求出导函数，考查了基本运算能力，属于基础题.‎ ‎6. 项展开式中的常数项为（ ）‎ A. –120 B. 120 C. －160 D. 160‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出二项展开的通项公式，令的指数为0，即可得常数项.‎ ‎【详解】展开式的通项公式为：，‎ 令，解得，‎ 所以常数项为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了二项式展开的通项公式，牢记公式是解题的关键，属于基础题.‎ - 17 -‎ ‎7. 在一次共有10000名考生参加的毕业水平测试中，这些学生的数学成绩服从正态分布，且，若此次测试成绩大于或等于90分的定为“等级”成绩，据此估计，此次测试中获得“等级”成绩的学生人数为（ ）‎ A. 1000人 B. 2000人 C. 3000人 D. 4000人 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正态分布的对称性即可求解.‎ ‎【详解】依题意，，‎ 根据正态分布的对称性 ‎，‎ 所以“等级”成绩的学生人数为：.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查了正态分布的性质，考查了基本运算能力，属于基础题.‎ ‎8. 为研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得到如下实验数据：‎ 天数（天）‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 繁殖个数（千个）‎ ‎2.5‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4.5‎ 由最小二乘法得与的线性回归方程为，则样本在（4，3）处的残差为（ ）‎ A. －0.15 B. 0.15 C. －0.25 D. 0.25‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出样本中心，进而求出，最后根据残差的定义进行求解即可.‎ ‎【详解】因为，，‎ 所以有，‎ - 17 -‎ 当时，，所以样本在（4，3）处的残差为：‎ ‎.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查了样本残差的求法，属于基础题.‎ ‎9. 是直线上的动点，是曲线C：（为参数）上的动点，则的最小值是（ ）‎ A B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设点，利用点到直线的距离公式，结合三角函数的性质，即可求解.‎ ‎【详解】由曲线C：（为参数）消去参数，‎ 设点，‎ 则点到直线的距离为，‎ 当时，.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查曲线的参数方程，点到直线的距离公式，以及三角函数的恒等变换和余弦函数的性质的应用，着重考查运算与求解能力，以及转换能力，属于基础题.‎ ‎10. 为提高市区的防疫意识，某医院从3名男医生和4名女医生中选派3名医生组成防控宣传组，要求男女医生各占至少一名，则不同的方案共有（ ）‎ A. 24种 B. 30种 C. 32种 D. 36种 ‎【答案】B ‎【解析】‎ - 17 -‎ ‎【分析】‎ 分情况：男女或男女，再利用组合即可求解.‎ ‎【详解】根据题意可知男女医生各占至少一名，有两种情况：‎ 男女，共有，‎ 男女，共有，‎ 所以不同的方案共有：，‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查了计数原理、组合数的应用，属于基础题.‎ ‎11. 不等式恒成立，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ）‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用绝对值三角不等式求得的最小值，由此可得出关于实数的不等式，进而可解得实数的取值范围.‎ ‎【详解】由绝对值三角不等式可得，当时等号成立，‎ 由于不等式恒成立，则，解得.‎ 因此，实数的取值范围是.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查利用绝对值不等式恒成立求参数，考查了绝对值三角不等式的应用，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎12. 设三次函数的导函数为，函数的图象的一部分如图所示，则正确的是（ ）‎ - 17 -‎ A. 的极大值为，极小值为 B. 的极大值为，极小值为 C. 的极大值为，极小值为 D. 的极大值为，极小值为 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由的图象可以得出在各区间的正负，然后可得在各区间的单调性，进而可得极值.‎ ‎【详解】由图象可知：‎ 当和时，，则；‎ 当时，，则；‎ 当时，，则；‎ 当时，，则；‎ 当时，，则.‎ 所以在上单调递减；在上单调递增；在上单调递减.‎ 所以的极小值为，极大值为.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查导数与函数单调性的关系，解题的突破点是由已知函数的图象得出的正负性.‎ - 17 -‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13. 不等式的解集为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据绝对值定义化简求解，即得结果.‎ 详解】∵‎ ‎，‎ ‎∴不等式的解集为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查解含绝对值不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎14. 已知为虚数单位，复数满足，则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数模的运算公式，求得.‎ ‎【详解】依题意，所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本小题主要考查复数模的计算，属于基础题.‎ ‎15. 在一个暗箱中装有5个形状大小完全一样的小球，其中有个红球，其余的全为黑球，若从暗箱中任取2个小球，两个小球不同颜色的概率为，则的值为__________.‎ ‎【答案】或；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 17 -‎ 所有的取法共有种,而取出的两个球颜色不同的取法有种,由此求得取出的两个球颜色不同的概率,即可得出的值.‎ ‎【详解】从暗箱中任取2个小球，两个小球不同颜色的概率为：，‎ 解得：或3，‎ 故答案为：或.‎ ‎【点睛】本题主要考查古典概率及其计算公式的应用，属于基础题.‎ ‎16. 如图，现有一个圆锥形的铁质毛坯材料，底面半径为6，高为8.某工厂拟将此材料切割加工成一个圆柱形构件，并要求此材料的底面加工成构件的一个底面，则可加工出该圆柱形构件的最大体积为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用几何体的轴截面进行计算，结合导数求得圆柱形构件的最大体积.‎ ‎【详解】画出圆锥及圆柱的轴截面如下图所示.‎ 其中，，四边形为矩形.‎ 设圆柱的底面半径为，即，‎ 则，即.‎ 所以圆柱的体积为，‎ - 17 -‎ ‎.‎ ‎，‎ 由于，所以在区间上，单调递增；区间上，单调递减.‎ 所以在处取得极大值也即是最大值为：‎ ‎.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本小题主要考查圆锥的最大内接圆柱有关计算，考查利用导数求最值，属于中档题.‎ 三、解答题：本大题共6题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17. 证明：‎ ‎【答案】证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用题意，由分析法，原问题等价于，结合题意进行计算即可证得结论.‎ ‎【详解】证明：要证 只需证 - 17 -‎ 只需证 只需证 只需证 因为成立,‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查分析法证明不等式，考查学生的逻辑推理能力，是一道容易题.‎ ‎18. 为了预防新型冠状病毒疫病.某生物疫苗研究所加紧对疫苗进行研究，将某一型号的疫苗用在动物小白鼠身上进行科研和临床实验，得到统计数据如下：‎ 未感染病毒 感染病毒 总计 未注射疫苗 ‎20‎ 注射疫苗 ‎30‎ 总计 ‎50‎ ‎50‎ ‎100‎ 现从所有感染病毒的小白鼠中随机抽取一只，抽到“注射疫苗”小白鼠的概率为．‎ ‎（1）完成如图的2×2列联表：‎ 未感染病毒 感染病毒 总计 未注射疫苗 ‎20‎ 注射疫苗 ‎30‎ 总计 ‎50‎ ‎50‎ ‎100‎ ‎（2）能否有99%把握认为注射此种疫苗对预防新型冠状病毒有效？‎ 已知，．‎ - 17 -‎ ‎0.05‎ ‎0.01‎ ‎0.005‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎【答案】（1）填表见解析；（2）有把握认为注射此种疫苗对预防新型冠状病毒有效.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意可得，则，然后依次求出，由此可得列联表；‎ ‎（2）根据公式求得，再与比较大小即可求出答案．‎ ‎【详解】解：（1）所有感染病毒的小白鼠共有50只，其中注射疫苗的共有只，‎ ‎∴，‎ ‎∴，，，，‎ ‎∴列联表如下：‎ 未感染病毒 感染病毒 总计 未注射疫苗 ‎20‎ ‎40‎ ‎60‎ 注射疫苗 ‎30‎ ‎10‎ ‎40‎ 总计 ‎50‎ ‎50‎ ‎100‎ ‎（2）∵，‎ ‎∵，‎ ‎∴有把握认为注射此种疫苗对预防新型冠状病毒有效．‎ ‎【点睛】本题主要考查独立性检验的应用，属于基础题．‎ - 17 -‎ ‎19. 某加工厂为了检查一条产品生产流水线的生产情况，随即抽取该流水线上生产的20件产品作为样本，测量它们的尺寸（单位：）统计如下表：‎ 尺寸（单位：）‎ 样本频率 ‎（200，205]‎ ‎0.15‎ ‎（205，210]‎ ‎0.20‎ ‎（210，215]‎ ‎0.35‎ ‎（215，220]‎ ‎0.25‎ ‎（220，225]‎ ‎0.05‎ 根据产品尺寸，规定尺寸超过且不超过的产品为“一等品”，其余尺寸为“非一等品”.‎ ‎（1）在抽取的样本产品中，求产品为“一等品”的数量.‎ ‎（2）流水线生产的产品较多，将样本频率视为总体概率，现从该流水线上任取5件产品，求恰有3件产品为“非一等品”的概率.‎ ‎【答案】（1）12（件）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由表格可求得样本产品为“一等品”的频率，计算即可得出产品为“一等品”的数量.‎ ‎（2）设5件产品中取到“非一等品”的件数为，由题意可得，根据公式计算即可得出结果.‎ ‎【详解】解：（1）由题意，样本产品为“一等品”的频率为，所以样本产品为“一等品”的数量为（件）.‎ ‎（2）由题意，流水线上任取件产品为“非一等品”的概率为.‎ 设取到“非一等品”的件数为 - 17 -‎ 由已知，，‎ 故，‎ ‎∴恰有件产品为“非一等品”的概率.‎ ‎【点睛】本题考查概率的计算，考查独立重复试验二项分布的概率的计算，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎20. 在直角坐标系中，直线，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）求极坐标方程；‎ ‎（2）若圆的极坐标方程为，直线的极坐标方程为，设、分别为与、的交点，且、与原点不重合，求.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用可得解；‎ ‎（2）将代入两个曲线的极坐标方程，可得，由可得解.‎ ‎【详解】（1）∵，，‎ ‎∴的极坐标方程为.‎ ‎（2）∵直线的极坐标方程为 ‎∴，‎ ‎∴.‎ - 17 -‎ ‎【点睛】本题主要考查了极坐标方程求长度问题，属于基础题.‎ ‎21. 已知函数.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集：‎ ‎（2）当时，恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据绝对值不等式的解法，分当，，三类情况讨论即可得答案；‎ ‎（2）当时，，故恒成立转化为恒成立，再根据恒成立求解即可.‎ ‎【详解】解：（1）当时，.‎ ‎①当时，原不等式可化为解得；‎ ‎②当时，原不等式可化为解得；‎ ‎③当时，不等式可化为解得；‎ 综上，原不等式的解集为 ‎（2）当时，‎ ‎∴由恒成立得恒成立，‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ，解得， ‎ ‎∴ 的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查分类讨论法解绝对值不等式，不等式恒成立问题求参数范围，是中档题.‎ ‎22. 已知函数，其中 ‎（1）当时，求曲线在点处的切线方程：‎ ‎（2）若函数存在最小值为，且恒成立，求取值范围.‎ - 17 -‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出切点以及切点处的导数，再利用导数的几何意义即可求解.‎ ‎（2）求出，讨论或，判断函数的的单调性，利用单调性求出函数的最小值，再利用导数求出的最大值即可.‎ ‎【详解】解：（1）时，，‎ 切线斜率 曲线在点处的切线方程为：‎ ‎，∴曲线在点处的切线方程为 ‎（2）‎ ‎①当时，恒成立 在单调递增，无最小值 ‎②当时，由得或（舍）‎ 时，，在单调递减 时，，在单调递增 所以存在最小值，，‎ 由得，易知在单调递增，在单调递减 所以的最大值为 - 17 -‎ 又∴恒成立，∴取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查了导数的几何意义、利用导数求函数的最值，利用导数研究不等式恒成立问题，属于难题.‎ - 17 -‎