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  • 2021-06-16 发布

2020-2021学年高二数学上学期期中考测试卷03(人教B版2019)

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‎2020-2021学年高二数学上学期期中考测试卷03(人教B版2019)‎ 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求.‎ ‎1.已知直线与垂直,则的值是( )‎ A.或 B. C. D.或 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由题意得 ,选C.‎ ‎2.若方程表示椭圆,则的取值范围是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】若方程表示椭圆,‎ 则,解得或.‎ ‎3.圆与直线的位置关系是( )‎ A.相交 B.相切 C.相离 D.不能确定 ‎【答案】C ‎【解析】圆的圆心为(2,0),半径为1,‎ 圆心到直线的距离,‎ 所以直线与圆的位置关系为相离,‎ ‎4.如图,三棱锥A-BCD中,AB⊥底面BCD,BC⊥CD,且AB=BC=1,CD=2,点E为CD的中点,则AE的长为 A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】连AE,∵ △CBD是等腰Rt△, ‎ ‎∴ BE⊥CD且BE=1,AB⊥底面BCD,‎ ‎∴ AB⊥BE,由勾股定理,,‎ AE.‎ ‎5.向量,若,且,则的值为( )‎ A. B.1 C. D.4‎ ‎【答案】C ‎【解析】解:向量,若,‎ 则,解得;‎ 又向量,且,‎ 则,解得;‎ 所以.‎ ‎6.已知双曲线的一条渐近线经过点,则该双曲线的离心率为( )‎ A.2 B. C.3 D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】双曲线的一条渐近线为过第一象限,所以点在渐近线上,可得,所以 所以.‎ ‎7.在长方体中,,,则异面直线与所成角的余弦值为 A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】以D为坐标原点,DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则,所以,‎ 因为,所以异面直线与所成角的余弦值为,选C.‎ ‎8.已知抛物线()与双曲线(,)有相同的焦点,点是两条曲线的一个交点,且轴,则该双曲线经过一、三象限的渐近线的倾斜角所在的区间是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为抛物线与双曲线焦点相同,所以,因为与x轴垂直,所以可求得点A的坐标为,将其代入双曲线方程可得:,‎ 因为,代入上式可得:,‎ 化简得:,两边同时除以得:,‎ 解得或(舍),设渐近线斜率为k,‎ 由,解得,所以倾斜角应大于,‎ 所以区间可能是,‎ 二、 多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符 合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.‎ ‎9.(多选)设几何体是棱长为a的正方体,与相交于点O,则( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】AC ‎【解析】‎ 如图,建立空间直角坐标系,则,,,,,,,∴,,,,,,.∴,A对;,B错;,C对;,D错.‎ ‎10.若方程所表示的曲线为,则下面四个选项中正确的是( )‎ A.若,则为椭圆 B.若为椭圆,且长轴在轴上,则 C.若为双曲线,则或 D.若是双曲线,则其离心率有 ‎【答案】CD ‎【解析】对于选项A,当时,曲线化为,此时为圆,故A不正确;‎ 对于选项B,若为椭圆,且长轴在轴上,则,解得,故B不正确;‎ 对于选项C,若为双曲线,则,解得或,故C正确;‎ 对于选项D,若是双曲线,则或,‎ 当时, ,此时离心率.‎ 当时, ,此时离心率;故D正确.‎ 故选:CD.‎ ‎11.已知实数,满足方程,则下列说法错误的是( )‎ A.的最大值为 B.的最大值为 C.的最大值为 D.的最大值为 ‎【答案】CD ‎【解析】对于A,设,则,表示直线的纵截距,当直线与圆有公共点时,,解得,所以的最大值为,故A说法正确;‎ 对于B,的几何意义是表示圆上的点到原点距离的平方,易知原点到圆心的距离为2,则原点到圆上的最大距离为,所以的最大值为,故B说法正确;‎ 对于C,设,把代入圆方程得,则,解得,最大值为,故C说法错误;‎ 对于D,设,则,表示直线的纵截距,当直线与圆 有公共点时,,解得,所以的最大值为,故D说法错误.‎ ‎12.如图,一个结晶体的形状为平行六面体,其中,以顶点A为端点的三条棱长均为6,且它们彼此的夹角都是60°,下列说法中正确的是( )‎ A. B.‎ C.向量与的夹角是60° D.与所成角的余弦值为 ‎【答案】AB ‎【解析】因为以顶点A为端点的三条棱长均为6,且它们彼此的夹角都是60°,‎ 所以,‎ ‎,‎ 则,所以A正确;‎ ‎,所以B正确;‎ 显然为等边三角形,则.‎ 因为,且向量与的夹角是120°,所以与的夹角是120°,所以C不正确;‎ 因为,‎ 所以,‎ ‎,‎ 所以,所以D不正确.‎ 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分 ‎13.设平面与向量垂直,平面与向量垂直,则平面与位置关系是______.‎ ‎【答案】平行 ‎【解析】因为,所以.因为平面与向量垂直,‎ 所以平面与向量也垂直.‎ 而平面与向量垂直,所以可得.‎ 故答案为:平行.‎ ‎14.已知双曲线的离心率为2,则该双曲线的渐近线方程为_______________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为双曲线的离心率为2,‎ 所以,所以,‎ 所以该双曲线的渐近线方程为.‎ ‎15.已知半径为5的动圆C的圆心在直线上.若动圆C过点,求圆C的方程___________,存在正实数___________,使得动圆C中满足与圆相外切的圆有且仅有一个.‎ ‎【答案】或 ‎ ‎【解析】依题意,可设动圆C的方程为:‎ 其中圆心满足.‎ 又动圆过点,,‎ 解方程组,‎ 可得或,故所求圆C的方程为:‎ 或.‎ 由圆O的圆心到直线l的距离,‎ 当满足时,即时,‎ 动圆C中有且仅有1个圆与圆相外切.‎ ‎16.在棱长为2的正方体中,E,F分别为棱的中点,G为棱上的一点,且,则点G到平面的距离为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】以D为原点,所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,‎ 则,,‎ 所以,,,‎ 设平面的法向量为,则 令,则,‎ 所以平面的一个法向量.‎ 点到平面的距离为,‎ 四、 解答题:本小题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.若直线的方程为.‎ ‎(1)若直线与直线垂直,求的值;‎ ‎(2)若直线在两轴上的截距相等,求该直线的方程.‎ ‎【解析】‎ 解:(1)直线与直线垂直,‎ ‎,解得.‎ ‎(2)当时,直线化为:.不满足题意.‎ 当时,可得直线与坐标轴的交点,.‎ 直线在两轴上的截距相等,,解得:.‎ 该直线的方程为:,.‎ ‎18.已知圆,为坐标原点,动点在圆外,过作圆的切线,设切点为.‎ ‎(1)若点运动到处,求此时切线的方程;‎ ‎(2)求满足条件的点的轨迹方程.‎ ‎【解析】(1)‎ 切线斜率不存在时,即,满足圆心到切线距离等于半径,‎ 当切线斜率存在时,设 综上,切线的方程为或;‎ ‎(2)设,则由得 ‎19.如图,在以为顶点,母线长为的圆锥中,底面圆的直径长为2,是圆所在平面内一点,且是圆的切线,连接交圆于点,连接,.‎ ‎(1)求证:平面平面;‎ ‎(2)若是的中点,连接,,当二面角的大小为时,求平面与平面 所成锐二面角的余弦值.‎ ‎【解析】解:(1)是圆的直径,与圆切于点,‎ 底面圆,∴‎ ‎,平面,∴.‎ 又∵在中,,∴‎ ‎∵,∴平面,从而平面平面.‎ ‎(2)∵ ,,∴为二面角的平面角,‎ ‎∴ ,‎ 如图建立空间直角坐标系,易知,‎ 则,,‎ ‎,,,‎ 由(1)知为平面的一个法向量,‎ 设平面的法向量为,‎ ‎,,‎ ‎∵ ,,∴,,‎ ‎∴ ,即 故平面的一个法向量为,‎ ‎∴.‎ ‎∴ 平面与平面所成锐二面角的余弦值为.‎ ‎20.已知直线,,且垂足为.‎ ‎(1)求点的坐标;‎ ‎(2)若圆与直线相切于点,且圆心的横坐标为2,求圆的标准方程.‎ ‎【解析】解:(1)根据题意,直线,,‎ 若,则有,解可得,‎ 则直线的方程为,即;‎ 联立两直线的方程:,解可得,即的坐标为;‎ ‎(2)根据题意,若圆与直线相切于点且且垂足为,‎ 则圆心在直线上,设的坐标为,则有,解可得,‎ 则圆心的坐标为,‎ 圆的半径,‎ 则圆的标准方程为.‎ ‎21.已知分别为椭圆的左、右焦点,点在椭圆E上,且.‎ ‎(1)求椭圆E的方程;‎ ‎(2)过的直线分别交椭圆E于和,且,问是否存在实数,使得成等差数列?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.‎ ‎【解析】‎ ‎(1)由已知,得,即. ‎ 又点在椭圆上,所以,解得,故椭圆的标准方程为. ‎ ‎(2)当轴时,,由,由.‎ 当轴时,,由,得, ‎ 当都不与轴垂直时,‎ 设,设,‎ 直线的方程与椭圆E的方程联立并消去y得:,‎ 则, ‎ 所以,‎ 从而, 同理可得.‎ 所以,令,得.‎ 综上,存在常数,使得成等差数列.‎ ‎22.已知圆与直线相交于两点,且.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)过点作圆的切线,切点为;再过作圆的切线,切点为,若,求得最小值(其中为坐标原点).‎ ‎【解析】(1),圆心到直线距离的距离,‎ ‎, 解得 .‎ ‎(2)设,由于, 切线,‎ 同理:切线,,‎ ‎ 化简得到:,最小值即为原点到直线距离 ‎.‎ 故.‎