2020-2021学年高二数学上学期期中考测试卷03（人教B版2019） 17页

‎2020-2021学年高二数学上学期期中考测试卷03（人教B版2019）‎ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.‎ ‎1．已知直线与垂直，则的值是（ ）‎ A．或 B． C． D．或 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由题意得 ，选C.‎ ‎2．若方程表示椭圆，则的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】若方程表示椭圆，‎ 则，解得或.‎ ‎3．圆与直线的位置关系是（ ）‎ A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 ‎【答案】C ‎【解析】圆的圆心为（2,0），半径为1，‎ 圆心到直线的距离，‎ 所以直线与圆的位置关系为相离，‎ ‎4．如图，三棱锥A－BCD中，AB⊥底面BCD，BC⊥CD，且AB=BC=1，CD=2，点E为CD的中点，则AE的长为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】连AE,∵ △CBD是等腰Rt△, ‎ ‎∴ BE⊥CD且BE=1，AB⊥底面BCD,‎ ‎∴ AB⊥BE，由勾股定理，，‎ AE.‎ ‎5．向量，若，且，则的值为（ ）‎ A． B．1 C． D．4‎ ‎【答案】C ‎【解析】解：向量，若，‎ 则，解得；‎ 又向量，且，‎ 则，解得；‎ 所以．‎ ‎6．已知双曲线的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A．2 B． C．3 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】双曲线的一条渐近线为过第一象限，所以点在渐近线上，可得，所以 所以．‎ ‎7．在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】以D为坐标原点，DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则,所以,‎ 因为，所以异面直线与所成角的余弦值为，选C.‎ ‎8．已知抛物线（）与双曲线（，）有相同的焦点，点是两条曲线的一个交点，且轴，则该双曲线经过一、三象限的渐近线的倾斜角所在的区间是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为抛物线与双曲线焦点相同，所以，因为与x轴垂直，所以可求得点A的坐标为，将其代入双曲线方程可得：，‎ 因为，代入上式可得：，‎ 化简得：，两边同时除以得：，‎ 解得或（舍），设渐近线斜率为k，‎ 由，解得，所以倾斜角应大于，‎ 所以区间可能是，‎ 二、 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.‎ ‎9．（多选）设几何体是棱长为a的正方体，与相交于点O，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】AC ‎【解析】‎ 如图，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，∴，，，，，，．∴，A对；，B错；，C对；，D错．‎ ‎10．若方程所表示的曲线为，则下面四个选项中正确的是（ ）‎ A．若，则为椭圆 B．若为椭圆，且长轴在轴上，则 C．若为双曲线，则或 D．若是双曲线，则其离心率有 ‎【答案】CD ‎【解析】对于选项A，当时，曲线化为，此时为圆，故A不正确；‎ 对于选项B，若为椭圆，且长轴在轴上，则，解得，故B不正确；‎ 对于选项C，若为双曲线，则，解得或，故C正确；‎ 对于选项D，若是双曲线，则或，‎ 当时， ，此时离心率.‎ 当时， ，此时离心率;故D正确.‎ 故选：CD.‎ ‎11．已知实数，满足方程，则下列说法错误的是（ ）‎ A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 ‎【答案】CD ‎【解析】对于A，设，则，表示直线的纵截距，当直线与圆有公共点时，，解得，所以的最大值为，故A说法正确；‎ 对于B，的几何意义是表示圆上的点到原点距离的平方，易知原点到圆心的距离为2，则原点到圆上的最大距离为，所以的最大值为，故B说法正确；‎ 对于C，设，把代入圆方程得，则，解得，最大值为，故C说法错误；‎ 对于D，设，则，表示直线的纵截距，当直线与圆 有公共点时，，解得，所以的最大值为，故D说法错误.‎ ‎12．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ）‎ A． B．‎ C．向量与的夹角是60° D．与所成角的余弦值为 ‎【答案】AB ‎【解析】因为以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，‎ 所以，‎ ‎，‎ 则，所以A正确；‎ ‎，所以B正确；‎ 显然为等边三角形，则.‎ 因为，且向量与的夹角是120°，所以与的夹角是120°，所以C不正确；‎ 因为，‎ 所以，‎ ‎，‎ 所以，所以D不正确.‎ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 ‎13．设平面与向量垂直，平面与向量垂直，则平面与位置关系是______．‎ ‎【答案】平行 ‎【解析】因为，所以．因为平面与向量垂直，‎ 所以平面与向量也垂直．‎ 而平面与向量垂直，所以可得．‎ 故答案为：平行.‎ ‎14．已知双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为_______________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为双曲线的离心率为2，‎ 所以，所以，‎ 所以该双曲线的渐近线方程为.‎ ‎15．已知半径为5的动圆C的圆心在直线上.若动圆C过点，求圆C的方程___________，存在正实数___________，使得动圆C中满足与圆相外切的圆有且仅有一个.‎ ‎【答案】或 ‎ ‎【解析】依题意，可设动圆C的方程为：‎ 其中圆心满足.‎ 又动圆过点，，‎ 解方程组，‎ 可得或，故所求圆C的方程为：‎ 或.‎ 由圆O的圆心到直线l的距离，‎ 当满足时，即时，‎ 动圆C中有且仅有1个圆与圆相外切.‎ ‎16．在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱的中点，G为棱上的一点，且，则点G到平面的距离为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】以D为原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，‎ 则，，‎ 所以，，，‎ 设平面的法向量为，则 令，则，‎ 所以平面的一个法向量．‎ 点到平面的距离为，‎ 四、 解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．若直线的方程为.‎ ‎（1）若直线与直线垂直，求的值；‎ ‎（2）若直线在两轴上的截距相等，求该直线的方程.‎ ‎【解析】‎ 解：（1）直线与直线垂直，‎ ‎，解得．‎ ‎（2）当时，直线化为：．不满足题意．‎ 当时，可得直线与坐标轴的交点，．‎ 直线在两轴上的截距相等，，解得：．‎ 该直线的方程为：，．‎ ‎18．已知圆，为坐标原点，动点在圆外，过作圆的切线，设切点为.‎ ‎（1）若点运动到处，求此时切线的方程；‎ ‎（2）求满足条件的点的轨迹方程.‎ ‎【解析】（1）‎ 切线斜率不存在时，即，满足圆心到切线距离等于半径，‎ 当切线斜率存在时，设 综上，切线的方程为或；‎ ‎（2）设，则由得 ‎19．如图，在以为顶点，母线长为的圆锥中，底面圆的直径长为2，是圆所在平面内一点，且是圆的切线，连接交圆于点，连接，.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）若是的中点，连接，，当二面角的大小为时，求平面与平面 所成锐二面角的余弦值.‎ ‎【解析】解：（1）是圆的直径，与圆切于点，‎ 底面圆，∴‎ ‎，平面，∴.‎ 又∵在中，，∴‎ ‎∵，∴平面，从而平面平面.‎ ‎（2）∵ ，，∴为二面角的平面角，‎ ‎∴ ，‎ 如图建立空间直角坐标系，易知，‎ 则，，‎ ‎，，，‎ 由（1）知为平面的一个法向量，‎ 设平面的法向量为，‎ ‎，，‎ ‎∵ ，，∴，，‎ ‎∴ ，即 故平面的一个法向量为，‎ ‎∴.‎ ‎∴ 平面与平面所成锐二面角的余弦值为.‎ ‎20．已知直线，，且垂足为．‎ ‎（1）求点的坐标；‎ ‎（2）若圆与直线相切于点，且圆心的横坐标为2，求圆的标准方程．‎ ‎【解析】解：（1）根据题意，直线，，‎ 若，则有，解可得，‎ 则直线的方程为，即；‎ 联立两直线的方程：，解可得，即的坐标为；‎ ‎（2）根据题意，若圆与直线相切于点且且垂足为，‎ 则圆心在直线上，设的坐标为，则有，解可得，‎ 则圆心的坐标为，‎ 圆的半径，‎ 则圆的标准方程为．‎ ‎21．已知分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆E上，且．‎ ‎（1）求椭圆E的方程；‎ ‎（2）过的直线分别交椭圆E于和，且，问是否存在实数，使得成等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由已知，得，即． ‎ 又点在椭圆上，所以，解得，故椭圆的标准方程为． ‎ ‎（2）当轴时，，由，由．‎ 当轴时，，由，得， ‎ 当都不与轴垂直时，‎ 设，设，‎ 直线的方程与椭圆E的方程联立并消去y得：，‎ 则， ‎ 所以，‎ 从而， 同理可得．‎ 所以，令，得．‎ 综上，存在常数，使得成等差数列．‎ ‎22．已知圆与直线相交于两点，且.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）过点作圆的切线，切点为；再过作圆的切线，切点为，若，求得最小值（其中为坐标原点）.‎ ‎【解析】（1），圆心到直线距离的距离，‎ ‎， 解得 .‎ ‎（2）设，由于， 切线，‎ 同理：切线，，‎ ‎ 化简得到：，最小值即为原点到直线距离 ‎.‎ 故.‎