高中人教a版数学必修4：第5课时 同角三角函数的基本关系（1） word版含解析 4页

第 5 课时 同角三角函数的基本关系(1) 课时目标 1.理解并掌握同角三角函数的基本关系式． 2．能够利用同角三角函数的基本关系进行简单的化简、求值与恒等证明． 识记强化 1．同角三角函数的基本关系式包括： ①平方关系：sin2α＋cos2α＝1 ②商数关系：tanα＝sinα cosα. 2．商数关系 tanα＝sinα cosα 成立的角α的范围是α≠kπ＋π 2(k∈Z)． 3．sin2α＋cos2α＝1 的变形有 sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，1＝sin2α＋cos2α等．tanα ＝sinα cosα 的变形有 sinα＝tanα·cosα，cosα＝sinα tanα 等． 课时作业 一、选择题 1．已知 sinα＝4 5 ，且α是第二象限角，那么 tanα的值是( ) A．－4 3 B．－3 4 C.3 4 D.4 3 答案：A 解析：cosα＝－ 1－sin2α＝－3 5 ，所以 tanα＝sinα cosα ＝－4 3. 2. 1 1＋tan23π 5 化简结果为( ) A．cos3π 5 B．－cos3π 5 C．±cos3π 5 D．－cos2π 5 答案：B 3．已知 sinθ＋cosθ＝1，则 sinθ－cosθ的值为( ) A．1 B．－1 C．±1 D．0 答案：C 解析：将 sinθ＋cosθ＝1 两边平方得 sinθcosθ＝0. 即 sinθ＝0 cosθ＝1 或 cosθ＝0 sinθ＝1 ， 故 sinθ－cosθ＝±1. 4．已知α、β均为锐角，2tanα＋3sinβ＝7，tanα－6sinβ＝1，则 sinα的值是( ) A.3 5 5 B.3 7 7 C.3 10 10 D.1 3 答案：C 解析：由 2tanα＋3sinβ＝7， tanα－6sinβ＝1， 解得 tanα＝3.∴sinα cosα ＝3， 又 sin2α＋cos2α＝1，且α为锐角，∴sinα＝3 10 10 .故选 C. 5．如果 sinα|sinα|＋cosα|cosα|＝－1，那么角α是( ) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 答案：C 解析：∵－sin2α＋(－cos2α)＝－1， ∴只有|sinα|＝－sinα，|cosα|＝－cosα时， sinα|sinα|＋cosα|cosα|＝－1 才能成立． sinα、cosα同时小于零，所以α是第三象限角． 6．若角α的终边落在直线 x＋y＝0 上，则 sinα 1－sin2α ＋ 1－cos2α cosα 的值为( ) A．－2 B．2 C．－2 或 2 D．0 答案：D 解析：∵角α的终边在 x＋y＝0 上， ∴当α在第二象限时，sinα＝－cosα＝ 2 2 ； 当α在第四象限时，sinα＝－cosα＝－ 2 2 ， ∴原式＝ sinα |cosα| ＋|sinα| cosα ＝0. 二、填空题 7．若sinα＋cosα sinα－cosα ＝1 2 ，则 tanα＝________. 答案：－3 解析：sinα＋cosα sinα－cosα ＝tanα＋1 tanα－1 ＝1 2 ， ∴tanα＝－3. 8．化简： 1－2sin20°cos20°＝________. 答案：cos20°－sin20° 解析：原式＝ sin220°＋cos220°－2sin20°cos20° ＝ sin20°－cos20°2＝|cos20°－sin20°| ＝cos20°－sin20°. 9．如果 tanα＝1 3 ，π＜α＜3 2π，则 sinαcosα＝________. 答案： 3 10 解析：sinαcosα＝sinαcosα 1 ＝ sinαcosα sin2α＋cos2α ＝ sinαcosα cos2α sin2α＋cos2α cos2α ＝ tanα 1＋tan2α ＝ 1 3 1＋ 1 3 2 ＝ 3 10. 三、解答题 10．已知 sinα＝4 5 ，求 cosα，tanα的值． 解：因为 sinα>0，sinα≠1，所以α是第一或第二象限角． 由 sin2α＋cos2α＝1，得 cos2α＝1－sin2α＝ 9 25. 若α是第一象限角，那么 cosα>0， 于是 cosα＝3 5 ， 从而 tanα＝sinα cosα ＝4 3 ； 若α是第二象限角，那么 cosα＝－3 5 ，tanα＝－4 3. 11．已知 0<α<π，sinα＋cosα＝1 5 ，求 tanα的值． 解：由 sinα＋cosα＝1 5 两边平方，得 sinαcosα＝－12 25<0，由 0<α<π可知：sinα>0，cosα<0， 故π 2<α<π，所以(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1＋24 25 ＝49 25.由π 2<α<π知：sinα－cosα>0，所以 sinα －cosα＝7 5 ，联立 sinα＋cosα＝1 5 sinα－cosα＝7 5 得 sinα＝4 5 ，cosα＝－3 5 ，所以，tanα＝sinα cosα ＝－4 3. 能力提升 12．若α是三角形的内角，且 sinα＋cosα＝2 3 ，则这个三角形是( ) A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 答案：D 解析：等式 sinα＋cosα＝2 3 ，两边平方得： 1＋2sinαcosα＝4 9 ，∴sinαcosα＝－ 5 18 ， 而α∈(0，π)，∴sinα>0，cosα<0，即α是钝角． 13．已知方程 8x2＋6kx＋2k＋1＝0 的两个实根是 sinθ和 cosθ. (1)求 k 的值； (2)求 tanθ的值(其中 sinθ＞cosθ)． 解：(1)由已知得： Δ＝36k2－32·2k＋1≥0， ① sinθ＋cosθ＝－3k 4 ， ② sinθ·cosθ＝2k＋1 8 . ③ ∵sin2θ＋cos2θ＝1， 即(sinθ＋cosθ)2－2sinθcosθ＝1. ∴将②、③代入后，得9k2 16 －2k＋1 4 ＝1， 即 9k2－8k－20＝0，解之，得 k＝－10 9 或 k＝2. ∵k＝2 不满足①式，故舍去，∴k＝－10 9 . (2)把 k＝－10 9 ，代入②、③ 得 sinθ＋cosθ＝5 6 ， sinθ·cosθ＝－11 72 ， 解之，得 sinθ＝5＋ 47 12 ， cosθ＝5－ 47 12 ， (sinθ＞cosθ) ∴tanθ＝sinθ cosθ ＝5＋ 47 5－ 47 ＝－72＋10 47 22 ＝－36＋5 47 11 .