2020年高中数学新教材同步必修第一册 第5章 5 11页

5.1.2 弧度制 学习目标 1.了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系.2.理解“1 弧度的角” 的定义，掌握弧度与角度的换算、弧长公式和扇形面积公式，熟悉特殊角的弧度数． 知识点一 度量角的两种单位制 1．角度制： (1)定义：用度作为单位来度量角的单位制． (2)1 度的角：周角的 1 360. 2．弧度制： (1)定义：以弧度作为单位来度量角的单位制． (2)1 弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角． 知识点二 弧度数的计算 思考 比值l r 与所取的圆的半径大小是否有关？ 答案 一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关． 知识点三 角度与弧度的互化 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad 2π rad＝360° 180°＝π rad π rad＝180° 1°＝ π 180 rad≈0.017 45 rad 1 rad＝ 180 π °≈57.30° 度数× π 180 ＝弧度数 弧度数× 180 π °＝度数 知识点四 弧度制下的弧长与扇形面积公式 设扇形的半径为 R，弧长为 l，α(0<α<2π)为其圆心角，则 (1)弧长公式：l＝αR. (2)扇形面积公式：S＝1 2lR＝1 2αR2. 思考 扇形的面积公式与哪个平面图形的面积公式类似？对应的图形是否也类似？ 答案 扇形的面积公式与三角形的面积公式类似．实际上，扇形可看作是一曲边三角形，弧 是底，半径是底上的高． 预习小测 自我检验 1．18°＝________ rad. 答案 π 10 2. 3 10π＝________. 答案 54° 3．若α＝π 4 ，则α是第________象限角． 答案 一 4．圆心角为π 3 弧度，半径为 6 的扇形的面积为________． 答案 6π 解析 扇形的面积为1 2 ×62×π 3 ＝6π. 一、弧度制的概念 例 1 下列说法正确的是( ) A．1 弧度的圆心角所对的弧长等于半径 B．大圆中 1 弧度的圆心角比小圆中 1 弧度的圆心角大 C．所有圆心角为 1 弧度的角所对的弧长都相等 D．用弧度表示的角都是正角 考点 弧度制 题点 弧度制定义 答案 A 解析 对于 A，根据弧度的定义知，“1 弧度的圆心角所对的弧长等于半径”，故 A 正确； 对于 B，大圆中 1 弧度的圆心角与小圆中 1 弧度的圆心角相等，故 B 错误；对于 C，不在同 圆或等圆中，1 弧度的圆心角所对的弧长是不等的，故 C 错误；对于 D，用弧度表示的角也 可以不是正角，故 D 错误． 反思感悟 对弧度制定义的三点说明 (1)不管是以弧度还是度为单位的角的大小，都是一个与半径的大小无关的定值． (2)在弧度制下，“弧度”二字或“rad”可以省略不写，如 2 rad 可简写为 2. (3)用弧度与度去度量同一个角时，除了零角以外，所得到的数量是不同的． 跟踪训练 1 下列各说法中，错误的是( ) A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B．1 弧度的角是长度等于半径长的弧所对的圆心角 C．根据弧度的定义，180°一定等于π弧度 D．不论用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关 答案 D 解析 根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与圆的半径长短无 关，而是与弧长与半径的比值有关，所以 D 是错误的，其他 A，B，C 正确． 二、角度制与弧度制的互化 例 2 把下列角度化成弧度或弧度化成角度： (1)72°；(2)－300°；(3)2；(4)－2π 9 . 解 (1)72°＝72× π 180 ＝2π 5 ； (2)－300°＝－300× π 180 ＝－5π 3 ； (3)2＝2× 180 π °＝ 360 π °； (4)－2π 9 ＝－ 2π 9 ×180 π °＝－40°. 反思感悟 角度与弧度互化技巧 在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180°是关键，由它可以得到：度数× π 180 ＝弧 度数，弧度数× 180 π °＝度数． 跟踪训练 2 已知α＝15°，β＝ π 10 ，γ＝1，θ＝105°，φ＝7π 12 ，试比较α，β，γ，θ，φ的大小． 解 α<β<γ<θ＝φ. 三、与扇形的弧长、面积有关的计算 例 3 已知扇形的周长为 10 cm，面积为 4 cm2，求扇形圆心角的弧度数． 解 设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为 l cm，半径为 R cm， 依题意有 l＋2R＝10，① 1 2lR＝4. ② ①代入②得 R2－5R＋4＝0，解之得 R1＝1，R2＝4. 当 R＝1 时，l＝8，此时，θ＝8 rad>2π rad 舍去． 当 R＝4 时，l＝2，此时，θ＝2 4 ＝1 2(rad)． 综上可知，扇形圆心角的弧度数为1 2 rad. 延伸探究 1．已知一扇形的圆心角是 72°，半径为 20，求扇形的面积． 解 设扇形弧长为 l，因为圆心角 72°＝72× π 180 ＝2π 5 rad， 所以扇形弧长 l＝|α|·r＝2π 5 ×20＝8π， 于是，扇形的面积 S＝1 2l·r＝1 2 ×8π×20＝80π. 2．已知一扇形的周长为 4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？ 解 设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为 l，半径为 r，面积为 S， 则 l＋2r＝4，所以 l＝4－2r 2 1＋π