高中数学第7章三角函数课时分层作业34三角函数的诱导公式五～六含解析苏教版必修第一册 5页

- 1 - 课时分层作业(三十四) 三角函数的诱导公式(五～六) (建议用时：40 分钟) 一、选择题 1．如果 cos α＝1 5 ，且α是第四象限角，那么 cos α＋π 2 ＝( ) A．1 5 B．－1 5 C．2 6 5 D．－2 6 5 C [由已知得，sin α＝－ 1－ 1 5 2 ＝－2 6 5 ， 所以 cos α＋π 2 ＝－sin α＝－ －2 6 5 ＝2 6 5 ．] 2．计算 sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝( ) A．89 B．90 C．89 2 D．45 C [∵sin21°＋sin289°＝sin21°＋cos21°＝1，sin22°＋sin288°＝sin22°＋cos22° ＝1，…，∴sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋ sin244°＋sin245°＋cos244°＋cos243°＋…＋cos23°＋cos22°＋cos21°＝44＋1 2 ＝89 2 ．故 选 C．] 3．已知 cos(75°＋α)＝1 3 ，且－180°<α<－90°，则 cos(15°－α)＝( ) A．1 3 B．－1 3 C．2 2 3 D．－2 2 3 D [因为 cos(75°＋α)＝1 3 ，且－180°<α<－90°， 所以 sin(75°＋α)＝－2 2 3 ， 故 cos(15°－α)＝cos[90°－(75°＋α)]＝sin(75°＋α)＝－2 2 3 ．] - 2 - 4．已知 cos 31°＝m，则 sin 239°tan 149°的值是( ) A．1－m2 m B． 1－m2 C．－1－m2 m D．－ 1－m2 B [sin 239°tan 149°＝sin(180°＋59°)·tan(180°－31°)＝－sin 59°(－tan 31°) ＝－sin(90°－31°)·(－tan 31°) ＝－cos 31°·(－tan 31°)＝sin 31° ＝ 1－cos231°＝ 1－m2．] 5．若 f(sin x)＝3－cos 2x，则 f(cos 30°)＝( ) A．5 2 B．7 2 C．6＋ 3 2 D．6－ 3 2 B [f(cos 30°)＝f(sin 60°)＝3－cos 120°＝3＋cos 60°＝7 2 或 f(cos 30°)＝f(sin 120°)＝3－cos 240°＝3－cos 120°＝7 2 ．] 二、填空题 6．代数式 sin2(A＋45°)＋sin2(A－45°)的化简结果是________． 1 [∵(A＋45°)＋(45°－A)＝90°， ∴sin(45°－A)＝cos(45°＋A)， ∴sin2(A－45°)＝sin2(45°－A)＝cos2(45°＋A)， ∴sin2(A＋45°)＋sin2(A－45°)＝1．] 7．已知 tan θ＝2，则 sin π 2 ＋θ －cosπ －θ sin π 2 －θ －sinπ －θ ＝________． －2 [ sin π 2 ＋θ －cosπ －θ sin π 2 －θ －sinπ －θ ＝cos θ＋cos θ cos θ－sin θ ＝ 2cos θ cos θ－sin θ ＝ 2 1－tan θ ＝ 2 1－2 ＝－2．] 8．在△ABC 中， 3sin π 2 －A ＝3sin(π－A)，且 cos A＝－ 3cos(π－B)，则 C＝ - 3 - ________． π 2 [由已知得 3cos A＝3sin A，∴tan A＝ 3 3 ， 又∵A∈(0，π)，∴A＝π 6 ． 又 cos A＝－ 3(－cos B)＝ 3cos B， 由 cos A＝ 3 2 知 cos B＝1 2 ，∴B＝π 3 ， ∴C＝π－(A＋B)＝π 2 ．] 三、解答题 9．已知 cos π 2 ＋α ＝2sin α－π 2 ， 求 sin3π ＋α ＋cos α＋π 5cos 5π 2 －α ＋3sin 7π 2 －α 的值． [解] ∵cos π 2 ＋α ＝2sin α－π 2 ， ∴－sin α＝－2cos α，∴tan α＝2， ∴ sin3π ＋α ＋cos α＋π 5cos 5π 2 －α ＋3sin 7π 2 －α ＝ －sin3α－cos α 5sin α－3sin π 2 －α ＝－ sin3α＋cos α 5sin α－3cos α ＝ sin3α＋cos α 3cos α－5sin α ＝sin2α·tan α＋1 3－5tan α ＝ sin2α sin2α＋cos2α ·tan α＋1 3－5tan α ＝ tan3α 1＋tan2α ＋1 3－5tan α ＝ 23 1＋22＋1 3－5×2 ＝－13 35 ． 10．是否存在这样的△ABC, 使等式 sin (2π－A)－ 2cos π 2 ＋B ＝0， 2cos (3π＋B) ＋ 3sin (π 2 ＋A)＝0 同时成立？若存在，求出 A，B 的值；若不存在，请说明理由． [解] 假设存在这样的△ABC 满足条件． - 4 - 由已知条件可得 sin A＝ 2sin B，① 3cos A＝ 2cos B，② 由①2＋②2，得 sin2A＋3cos2A＝2． 所以 sin2A＝1 2 ，因为 A∈(0，π)，所以 sin A＝ 2 2 ． 由②知 A，B 只能为锐角， 所以 A＝π 4 ．由②式知 cos B＝ 3 2 ，又 B∈(0，π)，所以 B＝π 6 ． 所以存在这样的△ABC，A＝π 4 ，B＝π 6 满足条件． 1．已知锐角α终边上一点 P 的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则α等于( ) A．2 B．－2 C．2－π 2 D．π 2 －2 C [ 由 条 件 可 知 点 P 到 原 点 的 距 离 为 2 ， 所 以 P(2cos α ， 2sin α) ， 所 以 2cos α＝2sin 2， 2sin α＝－2cos 2， 根据诱导公式及α为锐角可知， cos α＝cos 2－π 2 ， sin α＝sin 2－π 2 ， 所以α ＝2－π 2 ．故选 C． ] 2．已知 cos π 2 ＋α ＝－3 5 ，α是第二象限角，则 sin α－3π 2 ＝( ) A．－3 5 B．3 5 C．－4 5 D．4 5 C [∵cos π 2 ＋α ＝－sin α＝－3 5 ，∴sin α＝3 5 ． 又α是第二象限角，∴cos α＝－4 5 ， ∴sin α－3π 2 ＝sin α＋π 2 －2π ＝sin α＋π 2 ＝cos α＝－4 5 ．] - 5 - 3．已知 sin α＋cos α＝－ 2，则 tan α＋π 2 ＋ 1 tan α－π 2 的值为_______． －2 [因为 sin α＋cos α＝－ 2，所以(sin α＋cos α)2＝2，所以 sin αcos α＝1 2 ． 所以 tan α＋π 2 ＋ 1 tan α－π 2 ＝ sin α＋π 2 cos α＋π 2 ＋ cos α－π 2 sin α－π 2 ＝ cos α －sin α ＋ sin α －cos α ＝－ sin α cos α －cos α sin α ＝－ 1 sin αcos α ＝－2．] 4．是否存在角α，β，α∈ －π 2 ，π 2 ，β∈(0，π)，使得等式 sin(3π－α)＝－ 2cos π 2 ＋β 与 3cos(－α)＝－ 2sin 3π 2 －β 同时成立？ [解] 存在．所需成立的两个等式可化为 sin α＝ 2sin β， 3cos α＝ 2cos β， 两式两边分别平方相加得： sin2α＋3cos2α＝2， 得 2cos2α＝1，所以 cos2α＝1 2 ． 又因为α∈ －π 2 ，π 2 ，所以α＝π 4 或－π 4 ． 当α＝π 4 时，由 3cos α＝ 2cos β，得 cos β＝ 3 2 ， 又β∈(0，π)，所以β＝π 6 ； 当α＝－π 4 时，由 sin α＝ 2sin β，得 sin β＝－1 2 ， 而β∈(0，π)，所以无解． 综上得，存在α＝π 4 ，β＝π 6 使两等式同时成立．