人教a版数学【选修1-1】作业：2-2-1双曲线及其标准方程（含答案） 5页

§2.2 双曲线 2.2.1 双曲线及其标准方程 课时目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标 准方程.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题． 1．双曲线的有关概念 (1)双曲线的定义 平面内与两个定点 F1，F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于________)的点的轨迹叫做 双曲线． 平面内与两个定点 F1，F2 的距离的差的绝对值等于|F1F2|时的点的轨迹为 __________________________________________． 平面内与两个定点 F1，F2 的距离的差的绝对值大于|F1F2|时的点的轨迹__________． (2)双曲线的焦点和焦距 双曲线定义中的两个定点 F1 、F2 叫做________________，两焦点间的距离叫做 ________________． 2．双曲线的标准方程 (1)焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程是________________，焦点 F1__________， F2__________. (2)焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程是________________________，焦点 F1________， F2__________. (3)双曲线中 a、b、c 的关系是____________． 一、选择题 1．已知平面上定点 F1、F2 及动点 M，命题甲：||MF1|－|MF2||＝2a(a 为常数)，命题乙： M 点轨迹是以 F1、F2 为焦点的双曲线，则甲是乙的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．若 ax2＋by2＝b(ab<0)，则这个曲线是( ) A．双曲线，焦点在 x 轴上 B．双曲线，焦点在 y 轴上 C．椭圆，焦点在 x 轴上 D．椭圆，焦点在 y 轴上 3．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( ) A．x2－y2 3 ＝1 B.x2 3 －y2＝1 C．y2－x2 3 ＝1 D．x2 2 －y2 2 ＝1 4．双曲线x2 m － y2 3＋m ＝1 的一个焦点为(2,0)，则 m 的值为( ) A．1 2 B．1 或 3 C．1＋ 2 2 D． 2－1 2 5．一动圆与两圆：x2＋y2＝1 和 x2＋y2－8x＋12＝0 都外切，则动圆圆心的轨迹为( ) A．抛物线 B．圆 C．双曲线的一支 D．椭圆 6．已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为 F1(－ 5，0)，点 P 位于该双曲线上，线 段 PF1 的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是( ) A．x2 4 －y2＝1 B．x2－y2 4 ＝1 C．x2 2 －y2 3 ＝1 D．x2 3 －y2 2 ＝1 题号 1 2 3 4 5 6 答案 二、填空题 7．设 F1、F2 是双曲线 x2 4 －y2＝1 的两个焦点，点 P 在双曲线上，且PF1 → ·PF2 → ＝0，则 |PF1|·|PF2|＝______. 8．已知方程 x2 1＋k － y2 1－k ＝1 表示双曲线，则 k 的取值范围是________． 9．F1、F2 是双曲线x2 9 －y2 16 ＝1 的两个焦点，P 在双曲线上且满足|PF1|·|PF2|＝32，则∠ F1PF2＝______. 三、解答题 10．设双曲线与椭圆x2 27 ＋y2 36 ＝1 有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点 A 的纵坐标为 4，求此双曲线的标准方程． 11．在△ABC 中，B(4,0)、C(－4,0)，动点 A 满足 sin B－sin C＝1 2sin A，求动点 A 的轨 迹方程． 能力提升 12．若点 O 和点 F(－2，0)分别为双曲线x2 a2 －y2＝1(a>0)的中心和左焦点,点 P 为双曲线 右支上的任意一点,则OP→ ·FP→的取值范围为( ) A．[3－2 3，＋∞) B．[3＋2 3，＋∞) C．[－7 4 ，＋∞) D．[7 4 ，＋∞) 13．已知双曲线的一个焦点为 F( 7，0)，直线 y＝x－1 与其相交于 M，N 两点，MN 中 点的横坐标为－2 3 ，求双曲线的标准方程． 1．双曲线的标准方程可以通过待定系数法求得． 2．和双曲线有关的轨迹问题要按照求轨迹方程的一般步骤来解，也要和双曲线的定义 相结合． 3．直线和双曲线的交点问题可以转化为解方程组(设而不求)，利用韦达定理，弦长公 式等解决． §2.2 双曲线 2．2.1 双曲线及其标准方程 答案 知识梳理 1．(1)|F1F2| 以 F1，F2 为端点的两条射线 不存在 (2)双曲线的焦点 双曲线的焦距 2．(1)x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0) (－c,0) (c,0) (2)y2 a2 －x2 b2 ＝1(a>0，b>0) (0，－c) (0，c) (3)c2＝a2＋b2 作业设计 1．B [根据双曲线的定义，乙⇒甲，但甲  乙， 只有当 2a<|F1F2|且 a≠0 时，其轨迹才是双曲线．] 2．B [原方程可化为x2 b a ＋y2＝1，因为 ab<0，所以b a<0，所以曲线是焦点在 y 轴上的双 曲线，故选 B.] 3．A [∵双曲线的焦点在 x 轴上， ∴设双曲线方程为x2 a2 －y2 b2 ＝1 (a>0，b>0)． 由题知 c＝2，∴a2＋b2＝4. ① 又点(2,3)在双曲线上，∴22 a2 －32 b2 ＝1. ② 由①②解得 a2＝1，b2＝3， ∴所求双曲线的标准方程为 x2－y2 3 ＝1.] 4．A [∵双曲线的焦点为(2,0)，在 x 轴上且 c＝2， ∴m＋3＋m＝c2＝4.∴m＝1 2.] 5．C [由题意两定圆的圆心坐标为 O1(0,0)，O2(4,0)，设动圆圆心为 O，动圆半径为 r， 则|OO1|＝r＋1，|OO2|＝r＋2，∴|OO2|－|OO1|＝1<|O1O2|＝4，故动圆圆心的轨迹为双 曲线的一支．] 6．B [设双曲线方程为x2 a2 －y2 b2 ＝1，因为 c＝ 5，c2＝a2＋b2，所以 b2＝5－a2，所以 x2 a2 － y2 5－a2 ＝1.由于线段 PF1 的中点坐标为(0,2)，则 P 点的坐标为( 5，4)．代入双曲线 方程得 5 a2 － 16 5－a2 ＝1，解得 a2＝1 或 a2＝25(舍去)，所以双曲线方程为 x2－y2 4 ＝1.故选 B.] 7．2 解析 ∵||PF1|－|PF2||＝4， 又 PF1⊥PF2，|F1F2|＝2 5， ∴|PF1|2＋|PF2|2＝20，∴(|PF1|－|PF2|)2 ＝20－2|PF1||PF2|＝16，∴|PF1|·|PF2|＝2. 8．－10.所以(k＋1)(k－1)<0. 所以－10，b>0)，由题意知 c2＝36－27 ＝9，c＝3. 又点 A 的纵坐标为 4，则横坐标为± 15，于是有 42 a2 －± 152 b2 ＝1， a2＋b2＝9， 解得 a2＝4， b2＝5. 所以双曲线的标准方程为y2 4 －x2 5 ＝1. 方法二 将点 A 的纵坐标代入椭圆方程得 A(± 15，4)， 又两焦点分别为 F1(0,3)，F2(0，－3)． 所以 2a＝| ± 15－02＋4＋32－ ± 15－02＋4－32|＝4， 即 a＝2，b2＝c2－a2＝9－4＝5， 所以双曲线的标准方程为y2 4 －x2 5 ＝1. 11．解 设 A 点的坐标为(x，y)，在△ABC 中，由正弦定理，得 a sin A ＝ b sin B ＝ c sin C ＝2R， 代入 sin B－sin C＝1 2sin A， 得|AC| 2R －|AB| 2R ＝1 2·|BC| 2R ，又|BC|＝8， 所以|AC|－|AB|＝4. 因此 A 点的轨迹是以 B、C 为焦点的双曲线的右支(除去右顶点)且 2a＝4,2c＝8，所以 a＝2，c＝4，b2＝12. 所以 A 点的轨迹方程为x2 4 －y2 12 ＝1 (x>2)． 12．B [由 c＝2 得 a2＋1＝4， ∴a2＝3， ∴双曲线方程为x2 3 －y2＝1. 设 P(x，y)(x≥ 3)， ∴ OP→ ·FP→＝(x，y)·(x＋2，y)＝x2＋2x＋y2 ＝x2＋2x＋x2 3 －1 ＝4 3x2＋2x－1(x≥ 3)． 令 g(x)＝4 3x2＋2x－1(x≥ 3)，则 g(x)在[ 3，＋∞)上单调递增．g(x)min＝g( 3)＝3＋2 3. OP→ ·FP→的取值范围为[3＋2 3，＋∞)．] 13．解 设双曲线的标准方程为x2 a2 －y2 b2 ＝1， 且 c＝ 7，则 a2＋b2＝7.① 由 MN 中点的横坐标为－2 3 知， 中点坐标为 －2 3 ，－5 3 . 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则由 x21 a2 －y21 b2 ＝1， x22 a2 －y22 b2 ＝1， 得 b2(x1＋x2)(x1－x2)－a2(y1＋y2)(y1－y2)＝0. ∵ x1＋x2＝－4 3 y1＋y2＝－10 3 ，且y1－y2 x1－x2 ＝1， ∴2b2＝5a2.② 由①，②求得 a2＝2，b2＝5. ∴所求双曲线的标准方程为x2 2 －y2 5 ＝1.