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- 2021-06-16 发布
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第2课时 定点、定值、探究性问题
考点一 定点问题
【例1】 (2019·北京卷)已知抛物线C:x2=-2py经过点(2,-1).
(1)求抛物线C的方程及其准线方程;
(2)设O为原点,过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M,N,直线y=-1分别交直线OM,ON于点A和点B.求证:以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.
【解】 (1)由抛物线C:x2=-2py经过点(2,-1),得p=2.
所以抛物线C的方程为x2=-4y,其准线方程为y=1.
(2)抛物线C的焦点为F(0,-1).
设直线l的方程为y=kx-1(k≠0).
由得x2+4kx-4=0.
设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1x2=-4.
直线OM的方程为y=x.
令y=-1,得点A的横坐标xA=-.
同理得点B的横坐标xB=-.
设点D(0,n),
则=(-,-1-n),=(-,-1-n),
·=+(n+1)2
=+(n+1)2
=+(n+1)2=-4+(n+1)2.
令·=0,即-4+(n+1)2=0,得n=1或n=-3.
综上,以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0,1)和(0,-3).
方法技巧
圆锥曲线中定点问题的两种解法
(1)引进参数法:引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,再研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点.
(2)特殊到一般法:根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关.
已知椭圆+=1(a>b>0)过点(0,1),其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列.直线l与x轴正半轴和y轴分别交于点Q,P,与椭圆分别交于点M,N,各点均不重合且满足=λ1,=λ2.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若λ1+λ2=-3,试证明:直线l过定点,并求此定点.
解:(1)设椭圆的焦距为2c,由题意知b=1,且(2a)2+(2b)2=2(2c)2,又a2=b2+c2,∴a2=3.
∴椭圆的标准方程为+y2=1.
(2)由题意设P(0,m),Q(x0,0),M(x1,y1),N(x2,y2),设l方程为x=t(y-m),
由=λ1知(x1,y1-m)=λ1(x0-x1,-y1),
∴y1-m=-y1λ1,由题意y1≠0,
∴λ1=-1.
同理由=λ2知λ2=-1.
∵λ1+λ2=-3,
∴y1y2+m(y1+y2)=0,①
联立得(t2+3)y2-2mt2y+t2m2-3=0,
∴由题意知
Δ=4m2t4-4(t2+3)(t2m2-3)>0,②
且有y1+y2=,y1y2=,③
③代入①得t2m2-3+2m2t2=0,
∴(mt)2=1,
由题意mt<0,∴mt=-1,满足②,
得直线l的方程为x=ty+1,过定点(1,0),即Q为定点.
考点二 定值问题
【例2】 已知抛物线C:y2=2px经过点P(1,2).过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于M,直线PB交y轴于N.
(1)求直线l的斜率的取值范围;
(2)设O为原点,=λ,=μ,求证:+为定值.
【解】 (1)因为抛物线y2=2px过点(1,2),所以2p=4,即p=2.故抛物线C的方程为y2=4x.
由题意知,直线l的斜率存在且不为0.
设直线l的方程为y=kx+1(k≠0).
由得k2x2+(2k-4)x+1=0.
依题意Δ=(2k-4)2-4×k2×1>0,
解得k<0或0b>0)的长轴长为4,离心率为.
(1)求椭圆Γ的标准方程.
(2)过P(1,0)作动直线AB交椭圆Γ于A,B两点,Q(4,3)为平面上一定点,连接QA,QB,设直线QA,QB的斜率分别为k1,k2,问k1+k2是否为定值?如果是,求出该定值;否则,说明理由.
解:(1)依题意2a=4,a=2,又e==,∴c=,b=,∴椭圆Γ的标准方程为+=1.
(2)当直线AB的斜率存在时,设直线AB:y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),将y=k(x-1)代入x2+2y2=4,得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-4=0,显然Δ>0,
∴,
由已知条件得k1===k+,同理k2=k+,
∴k1+k2=2k+(3k-3)(+)
=2k+(3k-3)·
=2k+(3k-3)·
=2k+(3k-3)·(-)=2.
当直线AB的斜率不存在时,经检验符合k1+k2=2.
综上,k1+k2为定值2.
考点三 探究性问题
【例3】 (2020·重庆市调研)如图,已知椭圆C:+=1(a>b>0),其左、右焦点分别为F1(-2,0)及F2(2,0),过点F1的直线交椭圆C于A,B两点,线段AB的中点为G,AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D,E两点,且|AF1|,|F1F2|,|AF2|构成等差数列.
(1)求椭圆C的方程.
(2)记△GF1D的面积为S1,△OED(O为坐标原点)的面积为S2.试问:是否存在直线AB,使得S1=S2?请说明理由.
【解】 (1)∵|AF1|,|F1F2|,|AF2|构成等差数列,
∴2a=|AF1|+|AF2|=2|F1F2|=8,∴a=4.
又c=2,∴b2=12,
∴椭圆C的方程为+=1.
(2)假设存在直线AB,使得S1=S2,显然直线AB不能与x,y轴垂直.设AB的方程为y=k(x+2)(k≠0),将其代入+=1,整理得(4k2+3)x2+16k2x+16k2-48=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),∴x1+x2=,
∴点G的横坐标为=,
∴G(,).
∵DG⊥AB,∴×k=-1,
解得xD=,即D(,0),
∵Rt△GDF1和Rt△ODE相似,
∴若S1=S2,则|GD|=|OD|,
∴=||,
整理得8k2+9=0.
∵方程8k2+9=0无解,
∴不存在直线AB,使得S1=S2.
方法技巧
探索性问题的解题策略
探索性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确,则存在,若结论不正确,则不存在.
(1)当条件和结论不唯一时,要分类讨论.
(2)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件.
(3)当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时,要思维开放,采取另外的途径.
已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3),且点F
(2,0)为其右焦点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)是否存在平行于OA的直线l,使得直线l与椭圆C有公共点,且直线OA与l的距离等于4?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
解:(1)依题意,可设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),且可知其左焦点为F′(-2,0).
从而有解得
又a2=b2+c2,所以b2=12.
故椭圆C的方程为+=1.
(2)假设存在符合题意的直线l,设其方程为y=x+t.
由得3x2+3tx+t2-12=0.
因为直线l与椭圆C有公共点,所以Δ=(3t)2-4×3(t2-12)=144-3t2≥0,解得-4≤t≤4.
另一方面,由直线OA与l的距离等于4,
可得=4,从而t=±2.
由于±2∉[-4,4],
所以符合题意的直线l不存在.
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