人教A版数学必修二2-3-3直线与平面垂直的性质 6页

§2.3.3 直线与平面垂直的性质 一、教材分析 空间中直线与平面之间的位置关系中，垂直是一种非常重要的位置关系，它不仅应用较 多，而且是空间问题平面化的典范.空间中直线与平面垂直的性质定理不仅是由线面关系转 化为线线关系，而且将垂直关系转化为平行关系，因此直线与平面垂直的性质定理在立体几 何中有着特殊的地位和作用.本节重点是在巩固线线垂直和面面垂直的基础上，讨论直线与 平面垂直的性质定理的应用. 二、教学目标 1．知识与技能 （1）使学生掌握直线与平面垂直的性质定理； （2）能运用性质定理解决一些简单问题； （3）了解直线与平面的判定定理和性质定理间的相互关系. 2．过程与方法 （1）让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理正确性的认识； 3．情感、态度与价值观 通过“直观感知、操作确认、推理证明”，培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑 推理能力. 三、教学重点与难点 直线与平面垂直的性质定理及其应用. 四、课时安排 1 课时 五、教学设计 （一）复习 直线与平面垂直的定义：一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，我们说这条直线和 这个平面互相垂直，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面.直线和平面垂直的画法及 表示如下： 图 1 如图 1，表示方法为：a⊥α. 由直线与平面垂直的定义不难得出：        b a  b⊥a. （二）导入新课 思路 1.(情境导入) 大家都读过茅盾先生的《白杨礼赞》，在广阔的西北平原上，矗立着一排排白杨树，它 们像哨兵一样守卫着祖国疆土.一排排的白杨树，它们都垂直地面，那么它们之间的位置关 系如何呢？ 思路 2.(事例导入) 如图 2，长方体 ABCD—A′B′C′D′中，棱 AA′、BB′、CC′、DD′所在直线都垂直所在的 平面 ABCD，它们之间具有什么位置关系？ 图 2 （三）推进新课、新知探究、提出问题 ①回忆空间两直线平行的定义. ②判断同垂直于一条直线的两条直线的位置关系？ ③找出恰当空间模型探究同垂直于一个平面的两条直线的位置关系. ④用三种语言描述直线与平面垂直的性质定理. ⑤如何理解直线与平面垂直的性质定理的地位与作用？ 讨论结果：①如果两条直线没有公共点，我们说这两条直线平行.它的定义是以否定形 式给出的，其证明方法多用反证法. ②如图 3，同垂直于一条直线的两条直线的位置关系可能是：相交、平行、异面. 图 3 ③如图 4，长方体 ABCD—A′B′C′D′中，棱 AA′、BB′、CC′、DD′所在直线都垂直于所 在的平面 ABCD，它们之间具有什么位置关系？ 图 4 图 5 棱 AA′、BB′、CC′、DD′所在直线都垂直所在的平面 ABCD，它们之间互相平行. ④直线和平面垂直的性质定理用文字语言表示为： 垂直于同一个平面的两条直线平行，也可简记为线面垂直、线线平行. 直线和平面垂直的性质定理用符号语言表示为：        b a  b∥a. 直线和平面垂直的性质定理用图形语言表示为：如图 5. ⑤直线与平面垂直的性质定理不仅揭示了线面之间的关系，而且揭示了平行与垂直之间 的内在联系. （四）应用示例 思路 1 例 1 证明垂直于同一个平面的两条直线平行. 解:已知 a⊥α,b⊥α. 求证：a∥b. 图 6 证明：（反证法）如图 6，假定 a 与 b 不平行，且 b∩α=O,作直线 b′，使 O∈b′,a∥b′. 直线 b′与直线 b 确定平面β，设α∩β=c,则 O∈c. ∵a⊥α,b⊥α,∴a⊥c,b⊥c. ∵b′∥a,∴b′⊥c.又∵O∈b,O∈b′,b  β,b′  β, a∥b′显然不可能，因此 b∥a. 例 2 如图 7，已知α∩β=l,EA⊥α于点 A,EB⊥β于点 B,a  α,a⊥AB. 求证:a∥l. 图 7 证明：           EBl EAl l EBEA  ,  l⊥平面 EAB. 又∵a  α,EA⊥α,∴a⊥EA. 又∵a⊥AB,∴a⊥平面 EAB. ∴a∥l. 思路 2 例 1 如图 8,已知直线 a⊥b，b⊥α，a  α. 求证：a∥α. 图 8 证明：在直线 a 上取一点 A，过 A 作 b′∥b，则 b′必与α相交，设交点为 B，过相交直线 a、b′作平面β，设α∩β=a′, ∵b′∥b，a⊥b,∴a⊥b′.∵b⊥α，b′∥b, ∴b′⊥α. 又∵a′  α,∴b′⊥a′. 由 a，b′，a′都在平面β内，且 b′⊥a，b′⊥a′知 a∥a′.∴a∥α. 例 2 如图 9，已知 PA⊥矩形 ABCD 所在平面，M、N 分别是 AB、PC 的中点. （1）求证：MN⊥CD； （2）若∠PDA=45°，求证:MN⊥面 PCD. 图 9 证明：(1)取 PD 中点 E,又 N 为 PC 中点,连接 NE,则 NE∥CD,NE= 2 1 CD. 又∵AM∥CD,AM= 2 1 CD, ∴AM NE. ∴四边形 AMNE 为平行四边形. ∴MN∥AE. ∵                ADPAE ADPCDADCD PACD ABCDCD ABCDPA 平面 平面平面 平面  CD⊥AE. (2)当∠PDA=45°时,Rt△PAD 为等腰直角三角形, 则 AE⊥PD.又 MN∥AE, ∴MN⊥PD,PD∩CD=D. ∴MN⊥平面 PCD. 变式训练 已知 a、b、c 是平面α内相交于一点 O 的三条直线，而直线 l 和平面α相交，并且和 a、 b、c 三条直线成等角.求证：l⊥α. 证明：分别在 a、b、c 上取点 A、B、C 并使 AO=BO=CO.设 l 经过 O，在 l 上取一点 P， 在△POA、△POB、△POC 中， ∵PO=PO=PO，AO=BO=CO，∠POA=∠POB=∠POC， ∴△POA≌△POB≌△POC. ∴PA=PB=PC.取 AB 的中点 D, 连接 OD、PD，则 OD⊥AB，PD⊥AB. ∵PD∩OD=D,∴AB⊥平面 POD. ∵PO  平面 POD,∴PO⊥AB. 同理,可证 PO⊥BC. ∵AB  α，BC  α，AB∩BC=B,∴PO⊥α，即 l⊥α. 若 l 不经过点 O 时，可经过点 O 作 l′∥l.用上述方法证明 l′⊥α， ∴l⊥α. （五）知能训练 如图 10，已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 a, （1）求证：BD1⊥平面 B1AC; （2）求 B 到平面 B1AC 的距离. 图 10 （1）证明：∵AB⊥B1C，BC1⊥B1C,∴B1C⊥面 ABC1D1. 又 BD1  面 ABC1D1,∴B1C⊥BD1. ∵B1B⊥AC，BD⊥AC, ∴AC⊥面 BB1D1D.又 BD1  面 BB1D1D,∴AC⊥BD1. ∴BD1⊥平面 B1AC. （2）解:∵O∈BD,∴连接 OB1 交 BD1 于 E. 又 O∈AC，∴OB1  面 B1AC. ∴BE⊥OE，且 BE 即为所求距离. ∵ 1BD BD OB BE  ,∴BE= 1BD BD ·OB= aa a a 3 3 2 2 3 2  . （六）拓展提升 已知在梯形 ABCD 中，AB∥CD，CD 在平面α内，AB∶CD=4∶6，AB 到α的距离为 10 cm，求梯形对角线的交点 O 到α的距离. 图 11 解：如图所示，过 B 作 BE⊥α交α于点 E，连接 DE, 过 O 作 OF⊥DE 交 DE 于点 F, ∵AB∥CD，AB  α，CD  α，∴AB∥α.又 BE⊥α, ∴BE 即为 AB 到α的距离，BE=10 cm 且∠BED=90°. ∵OF⊥DE,∴OF∥BE,得 BD OD BE OF  . ∵AB∥CD,∴△AOB∽△COD. ∴ 4 6 AB CD OB OD ，得 5 3 10 6  BD OD . 又 BD OD BE OF  ，BE=10 cm, ∴OF= 5 3 ×10=6（cm）. ∵OF∥BE，BE⊥α. ∴OF⊥α，即 OF 即为所求距离为 6 cm. （七）课堂小结 知识总结：利用线面垂直的性质定理将线面垂直问题转化为线线平行，然后解决证明垂 直问题、平行问题、求角问题、求距离问题等. 思想方法总结：转化思想，即把面面关系转化为线面关系，把空间问题转化为平面问题. （八）作业 课本习题 2.3 B 组 1、2.