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- 2021-06-16 发布
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高二数学试题
注意事项:
1.本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。第Ⅰ卷为选择题,共 60 分;第Ⅱ卷为非选择题,
共 90 分,满分 150 分,考试时间为 120 分钟。
2.第Ⅰ卷共 2 页,12 个小题,每小题 5 分;每小题只有一个正确答案,请将选出的答
案标号(A、B、C、D)涂在答题卡上。
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,满分共 60 分,每小题只有一个正确答案)
1、已知全集 RU ,集合 2 4 0M x x ,则 MCU ( )
A 2 2x x B 2 2x x C 2 2x x x 或 D 2 2x x x 或
2、下面的抽样方法是简单随机抽样的是( )
A 在某年明信片销售活动中,规定每 100 万张为一个开奖组,通过随机抽取的方式确定号
码的后四位为 2709 为三等奖。
B 某车间包装一种产品,在自动的传送带上,每隔 5 分钟抽一包产品,称其重量是否合格
C 某校分别从行政,教师,后勤人员中抽取 2 人,14 人,4 人了解学校机构改革的意见。
D 用抽签法从 10 件产品中选取 3 件进行质量检验。
3、从装有 2 个红球和 2 个白球的口袋内任取 2 个,则互斥但不对立的两个事件是( )
A 至少一个白球与都是白球 B 至少一个白球与至少一个红球
C 恰有一个白球与恰有 2 个白球 D 至少有 1 个白球与都是红球
4、在△ ABC 中,点 D 在 BC 边上,且 DBCD 2 , ACsABrCD ,则 sr = ( )
A
3
2 B
3
4 C 3 D 0
5、函数
xxxf 2ln)( 的零点所在的大致区间是 ( )
A )2,1( B )3,2( C )1,1(e
和 )4,3( D ),( e
6、一个几何体的三视图如图,其中正视图中
△ ABC 是边长为 2 的正三角形,俯视图
为正六边形,则侧视图的面积为( )
A
2
3 B
3
2 C 12 D 6
7、已知 nm, 是两条不重合的直线, , , 是三个两两不重合的平面,给出下列四
个命题: ①若 , ,m m 则 // ; ②若 , , 则 // ;
③若 , , // ,m n m n 则 // ;
④若 nm, 是异面直线, , // , , // ,m m n n 则 // .
其中正确命题的个数是 ( )
A ①和④ B ①和③ C ③和④ D ①和②
8、若图中的直线 l l l1 2 3, , 的斜率分别为 k k k1 2 3, , ,则( )
A k k k1 2 3 B k k k1 3 2
C k k k3 2 1 D k k k3 1 2
9、如下图,该程序运行后输出的结果为( )A 7 B 15 C 31 D 63
10、为了了解某地区高三学生的身体发育情况,抽查了该地区100名年龄为17.5岁-18岁
的男生体重(kg) ,得到频率分布直方图如下,根据上图可得这100名学生中体重在
〔56.5,64.5〕的学生人数是( )
A 20 B 30 C 40 D 50
11、已知 tan 2 , tan 3 ,且 、 都是锐角,则 + ( )
A
4
B
4
3 C
4
或
4
3 D
4
3 或
4
5
12、 )(xf 是在 R 上的奇函数,当 0x 时, 12)( xxf x ,则当 0x 时 )(xf = ( )
A 1)2
1( xx B 1)2
1( xx C 12 xx D 12 xx
第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
注意事项:
1.第Ⅱ卷共 8 页,用蓝、黑色钢笔或圆珠笔直接答在试卷上。
2.答卷前先将密封线内的项目填写清楚。密封线内不准答题。
题号 Ⅱ卷 小计二 17 18 19 20 21 22
得分
二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,满分 16 分)
13、已知点 ),( baM 在直线 1543 yx 上,则 22 ba 的最小值为 _____
14、一个正方体的各顶点均在同一球的球面上,若该球的体积为 34 ,则该正方体的
表面积为_________
15、若以连续掷两次骰子分别得到的点数 nm, 作为点 P 的坐标,则点 P 落在圆
1622 yx 内的概率是
16、在下列结论中:
①函数 )4(2cos xy 是偶函数;
②函数 )32sin(4 xy 的一个对称中心是( 6
,0);
③函数
3
2)32cos( xxy 的图象的一条对称轴为 ;
④若 .5
1cos,2)tan( 2 xx 则
⑤函数 xy 2sin 的图像向左平移
4
个单位,得到 )42sin( xy 的图像
其中正确结论的序号为
三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17、(满分 12 分)
利用单调性的定义证明函数
1
2)(
x
xxf 在 ),1( 上是减函数,并求函数 )(xf 在
]1,0[ 上的最大值和最小值
18、(满分 12 分)
已知一圆与 y 轴相切,圆心在直线 03 yx 上,且被直线 xy 截得的弦长为 72 ,
求该圆的方程
19、(满分 12 分)
设有关于 x 的一元二次方程 02 22 baxx
(1)若 a 是从 0,1,2,3 四个数中任意取一个数,b 是从 0,1,2 三个数中任意取一个,
求上述方程有实根的概率
(2)若 ]1,0[],2,0[ ba ,求上述方程有实根的概率
20、(满分 12 分)
已知 CBA ,, 三点的坐标分别为 )sin,(cos),3,0(),0,3( CBA ,其中 )2
3,2(
(1)若 |||| BCAC ,求角 的值;
(2)若
tan1
2sinsin21
2
,求BCAC 的值。
21、(满分 12 分)
如图,在长方体 1111 DCBAABCD 中, 1 ADAB , 21 AA ,M 为 1CC 的中点(1)
求异面直线 MA1 与 11DC 所成的角的正切值
(2)求证:平面 ABM 平面 MBA 11
(3)求三棱锥 MBAB 11 的体积
M
B1
A1 D1
C1
B
A D
C
22、(满分 14 分)
已知函数 1cos2cossin32)( 2 xxxxf )( Rx
(1)求函数 )(xf 的最小正周期
(2)求函数 )(xf 在区间 ]2,0[ 上的最大值与最小值
(3)若
5
6)( 0 xf , ]2,4[0
x ,求 02cos x 的值
高二数学答案
一、选择题
1-5 CDCDB 6-10 AADDC 11-12 BD
二、填空题
13、3 14、24 15、
9
2 16、②③④
三、解答题
17、证明:任取 ),1(, 21 xx ,且 21 xx ,则 …………………………1 分
1
2
1
2)()(
2
2
1
1
21
x
x
x
xxfxf )1)(1( 21
12
xx
xx …………………………4 分
因为 211 xx ,所以 012 xx , 011 x , 012 x
所以 0)()( 21 xfxf ,即 )()( 21 xfxf …………………………7 分
所以函数 )(xf 在 ),1( 上是减函数。 …………………………8 分
解:因为函数 )(xf 在 ),1( 上是减函数,所以函数 )(xf 在 ]1,0[ 上是减函数。
所以当 0x 时,函数 )(xf 在 ]1,0[ 上的最大值是 2,
所以当 1x 时,函数 )(xf 在 ]1,0[ 上的最小值是
2
3 。 …………………………12 分
18、解:设圆心为 ),( ba ,因为圆心在直线 03 yx 上,所以 03 ba ,所以 ba 3 ,
所以圆心为 ),3( bb . …………………………2 分
因为圆与 y 轴相切,所以 |3| br …………………………4 分
圆心 )3,( bb 到直线 0 yx 的距离为 ||2
2
|3| bbbd …………………………6 分
设弦长为l ,因为 222 )2( rld ,所以 222 9)7(2 bb
所以 12 b ,所以 1b , …………………………8 分
所以
3
1
3
r
b
a
,或
3
1
3
r
b
a
…………………………10 分
所求圆的方程是 9)1()3( 22 yx ,或 9)1()3( 22 yx ……………12 分
19、解:(1)试验的全部结果有:
(0,0),(0,1),(0,2),
(1,0),(1,1),( 1,2),
(2,0),(2,1),(2,2),
(3,0),(3,1),(3,2).
共 12 个基本事件。 …………………………2 分
记方程有实根为事件 A,
因为 044 22 ba , 0,0 ba ,所以 ba ,
事件 A 包含的结果有
(0,0)
(1,0),(1,1),
(2,0),(2,1),(2,2),
(3,0),(3,1),(3,2).
共 9 个基本事件,
所以
4
3
12
9)( AP 。 …………………………6 分
(2)试验的全部结果构成的区域
10,20),( baba ,
212 S …………………………8 分
记方程有实根为事件 A,
因为 044 22 ba , 0,0 ba ,所以 ba ,
事件 A 包含的结果构成的区域
bababaA ,10,20),( ,即图中的阴影部分。
2
3112
12 AS ,所以
4
3
2
2
3
)(
S
SAP A 。 …………………………12 分
20、解:(1) || AC cos610)(sin)3(cos 22 ,
|| BC sin610)3(sin)(cos 22 , …………………………2 分
因为 |||| BCAC ,所以 sincos ,即 1tan ,
因为 )2
3,2( ,所以
4
5 。 …………………………4 分
(2)因为 1 BCAC ,所以
0)3sin,(cossin,3cos ,
所以 0sin3sincos3cos 22 , …………………………6 分
b
2O
1
a
所以
3
1cossin ,
所以
9
1)cos(sin 2 ,
所以
9
8cossin2 , …………………………8 分
所以
cos
cossin
cossin2sin2
tan1
2sinsin2 22
, …………………………10
分
9
8cossin2 。 …………………………12
分
21、(1)证明:取 DD1 中点 N,连接 MN,NA1.
因为 NDMC 11 // ,且 NDMC 11 ,所以 11// DCMN 。所以
MNA1 是异面直线 MA1 与 11DC 所成的角或其补角 ……2
分
111 DCMN , 21 NA , 31 MA ,
因为 2
1
2
1
2 MANAMN ,所以 901NMA ,
所以 21
2tan 1
1
MN
NAMNA 。 ……4 分
(2)因为 11BA 平面 CCBB 11 , BM 平面 CCBB 11 ,所以 11BABM ,
因为 21 MBBM , 21 BB ,所以 2
1
2
1
2 BBMBBM ,所以 MBBM 1 ,
因为 1111 BMBBA ,所以 BM 平面 MBA 11 ,
因为平面 BM ABM ,所以平面 ABM 平面 MBA 11 …………………………8
分
(3) 设三棱锥 MBAB 11 的体积为V ,则
MBASV 113
1
BM =
3
12212
1
3
1 , …………………………12
分
22、解: 1cos2cossin32)( 2 xxxxf
M
B1
A1 D1
C1
B
A D
C
N
)62sin(2)2cos2
12sin2
3(22cos2sin3 xxxxx ……4
分
(1)
2
2T ……………… ………………………… …………………………5
分
(2)因为
20 x ,所以
6
7
626
x ,
所以 1)62sin(2
1 x ,
所以函数 )(xf 在区间 ]2,0[ 上的最大值是 2,最小值是-1 …………………………9 分
(3)因为
5
6)( 0 xf ,所以
5
6)62sin(2 0 x ,
5
3)62sin( 0 x
因为 ]2,4[0
x ,所以 ]6
7,3
2[62 0 x ,所以
5
4)62cos( 0 x ,
所以 ]6)62cos[(2cos 00
xx
=
6sin)62sin(6cos)62cos( 00
xx
2
1
5
3
2
3
5
4
10
343 。 ………………………… …………………………14
分
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