高二数学同步单元练习（必修2） 第一章综合测试（a卷） word版含解析 12页

（测试时间：120 分钟 满分：150 分） 第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1．下列命题中，正确的是( ) A．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 B．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥 C．侧面都是矩形的直四棱柱是长方体 D．底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱 解析：选 D 认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多边形的形状两方面去分析，故 A，C 都不够准确，B 中对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明，故也不正确． 2．如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是( ) A．(1)是棱台 B．(2)是圆台 C．(3)是棱锥 D．(4)不是棱柱 3.如图所示的直观图的平面图形 ABCD 是( ) A．任意梯形 B．直角梯形 C．任意四边形 D．平行四边形 解析：选 B AB∥Oy，AD∥Ox，故 AB⊥AD.又 BC∥AD 且 BC≠AD，所以为直角梯形． 4．下列说法正确的是( ) A．圆锥的侧面展开图是一个等腰三角形 B．棱柱即是两个底面全等且其余各面都是矩形的多面体 C．任何一个棱台都可以补一个棱锥使它们组成一个新的棱锥 D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线 5．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形，且侧棱垂直于底面)高为 4，体积 为 16，则这个球的表面积是( ) A．16π B．20π C．24π D．32π 解析：选 C 正四棱柱的底面积为 4，正四棱柱的底面的边长为 2，正四棱柱的底面的对角线 为 2 2，正四棱柱的对角线为 2 6.而球的直径等于正四棱柱的对角线，即 2R＝2 6，R＝ 6， S 球＝4πR2＝24π. 6． 如图(1)、(2)、(3)为三个几何体的三视图，根据三视图可以判断这三个几何体依次为( ) A．三棱台、三棱柱、圆锥 B．三棱台、三棱锥、圆锥 C．三棱柱、正四棱锥、圆锥 D．三棱柱、三棱台、圆锥 解析：选 C 由俯视图知(1)，(2)是多面体，(3)是旋转体．再由正视图及侧视图可知(1)是三棱 柱，(2)是正四棱锥，(3)是圆锥． 7． 如图所示是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主) 视图、俯视图如图所示；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如图所示；③存在圆柱，其正 (主)视图、俯视图如图所示．其中真命题的个数是( ) A．3 B．2 C．1 D．0 解析：选 A 只需①底面是等腰直角三角形的直三棱柱，让其直角三角形的直角边所在的一个 侧面平卧；②正四棱柱平躺；③圆柱平躺即可使得三个命题为真． 8.如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB 的直观图，则△OAB 的面积是( ) A．6 B．3 2 C．6 2 D．12 9．轴截面为正方形的圆柱的侧面积与全面积的比是( ) A．1∶2 B．2∶3 C．1∶3 D． 1∶4 解析：选 B 设圆柱的底面圆半径为 r，母线长为 l，依题意得 l＝2r，而 S 侧＝2πrl，S 全＝2πr2 ＋2πrl，∴S 侧∶S 全＝2πrl∶(2πr2＋2πrl)＝2∶3. 10.已知三棱柱的三视图如下图所示，其中俯视图为正三角形，则该三棱柱的体积为( ) A．12 3 B．27 3 C．36 3 D．6 解析：选 C 若将三棱柱还原为直观图，由三视图知，三棱柱的高为 4，设底面边长为 a，则 3 2 a＝3 3， ∴a＝6，故体积 V＝ 3 4 ×62×4＝36 3. 11. (2016 安徽合肥高二期中)正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为 6,底面边长为 4, 则该球的表面积为( ) A. π B. π C. π D.16π 解析: 答案:B 12.(2015 湖南高考)某工件的三视图如图所示,现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大 的正方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为 ( ) A. B. C. D. 解析:由三视图可知该几何体是一个圆锥,其底面半径 r=1,母线长 l=3,所以其高 h= =2 .故该圆锥的体积 V= r2h= ×12×2 . 答案:A 第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.圆柱的高是 8 cm,表面积是 130π cm2,则它的底面圆的半径等于 cm. 解析:设圆柱的底面圆的半径为 r cm, 则 S 圆柱表=2π·r·8+2πr2=130π. 解得 r=5,即圆柱的底面圆半径为 5 cm. 答案:5 14.(2016 四川德阳高二期中) 如图,在三棱柱 A1B1C1-ABC 中,D,E,F 分别是 AB,AC,AA1 的中点,设三棱锥 F-ADE 的体积为 V1, 三棱柱 A1B1C1-ABC 的体积为 V2,则 V1∶V2= . 解析:因为 D,E 分别是 AB,AC 的中点,所以 S △ ADE∶S △ ABC=1∶4. 又 F 是 AA1 的中点,所以 A1 到底面的距离 H 为 F 到底面距离 h 的 2 倍, 即三棱柱 A1B1C1-ABC 的高是三棱锥 F-ADE 高的 2 倍,所以 V1∶V2= =1∶24. 答案:1∶24 15.已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上,且 AB=6,BC=2 ,则棱锥 O-ABCD 的 体积为 . 解析:依 答案:8 16. 如图,在正方体 ABCD-A'B'C'D'中,E,F 分别是 A'A,C'C 的中点,则下列判断正确的 是 .(填序号) ①四边形 BFD'E 在底面 ABCD 内的投影是正方形; ②四边形 BFD'E 在平面 A'D'DA 内的投影是菱形; ③四边形 BFD'E 在平面 A'D'DA 内的投影与在面 ABB'A'内的投影是全等的平行四边形. 解析:①四边形 BFD'E 的四个顶点在底面 ABCD 内的投影分别是点 B,C,D,A,故投影是正方形; ②设正方体的边长为 2,由 AE=1,取 D'D 的中点 G,则四边形 BFD'E 在平面 A'D'DA 内的投影是 四边形 AGD'E,因为 AE∥D'G,且 AE=D'G,所以四边形 AGD'E 是平行四边形,但 AE=1,D'E= , 故四边形 AGD'E 不是菱形;对于③,由②知是两个边长分别相等的平行四边形,从而③正确. 答案:①③ 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.） 17．(本小题满分 12 分)如图(单位：cm)，求图中阴影部分绕 AB 旋转一周所形成的几何体的表 面积和体积． 18．(本小题满分 14 分)(2013·河源高一检测)已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视 图是一个底边长为 8、高为 4 的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为 6、高为 4 的等腰三角形． (1)求该几何体的体积 V； (2)求该几何体的侧面积 S. 解：由题设可知，几何体是一个高为 4 的四棱锥，其底面是长、宽分别为 8 和 6 的矩形，正 侧面及其相对侧面均为底边长为 8，高为 h1 的等腰三角形，左、右侧面均为底边长为 6、高为 h2 的等腰三角形，如图所示． (1)几何体的体积为：V＝1 3·S 矩形·h＝1 3×6×8×4＝64. (2)正侧面及其相对侧面底边上的高为：h1＝ 42＋32＝5.左、右侧面的底边上的高为：h2＝ 42＋42＝4 2. 故几何体的侧面面积为：S＝2× 1 2×8×5＋1 2×6×4 2 ＝40＋24 2. 19.(本小题满分 12 分) 如图所示的是一个边长为 5+ 的正方形,剪去阴影部分得到圆锥的侧面和底面展开图,求该圆 锥的体积. 20. (本小题满分 12 分) 如图所示,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面 △ ABC 为正三角形,且侧棱垂直于底面.AB=2,AA1=2,从 顶点 B 沿棱柱侧面(经过棱 AA1)到达顶点 C1,与 AA1 的交点记为 M.求: (1)三棱柱 ABC-A1B1C1 侧面展开图的对角线长; (2)从 B 经过 M 到 C1 的最短路线长及此时 的值. 解:沿侧棱 BB1 将三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧面展开,得到一个矩形 BB1B1'B'(如图). (1)矩形 BB1B'1B'的长为 BB'=6,宽为 BB1=2.所以三棱柱 ABC-A1B1C1 侧面展开图的对角线长为 =2 . (2)由侧面展开图可知:当 B,M,C1 三点共线时,从 B 经过 M 到达 C1 的路线最短.所以最短路线长 为 BC1= =2 .显然 Rt △ ABM≌Rt △ A1C1M,所以 A1M=AM,即 =1.所以从 B 经过 M 到 C1 的最短路线长为 2 ,此时 的值为 1. 21.(本小题满分 12 分)如果一个几何体的正视图与侧视图都是全等的长方形,边长分别是 4 cm 与 2 cm,如图,俯视图是一个边长为 4 cm 的正方形. (1)求该几何体的全面积; (2)求该几何体的外接球的体积. 解:(1)由题意可知,该几何体是长方体, 22.(本小题满分 12 分)养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用),已 建的仓库的底面直径为 12 m,高为 4 m.养路处拟建一个更大的圆锥形仓库,以存放更多食盐.现 有两种方案:一是新建的仓库的底面直径比原来大 4 m(高不变);二是高度增加 4 m(底面直径不 变). (1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积; (2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积; (3)哪个方案更经济些? 解:(1)若按方案一,仓库的底面直径变成 16 m,则仓库的体积为 V1= S·h= ×π× ×4= (m3).