辽宁省葫芦岛市 2015-2016 学年高二数学下学期周考试题（二）理 11页

辽宁省葫芦岛市 2015-2016 学年高二数学下学期周考试题（二）理 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中， 有且只有一项符合题目要求． 1．已知全集 U=R，集合 A={x|x<一 1 或 x>4），B={x|-2≤x≤3），那么阴影部分 表示的集合为( ) A．{x|-2≤x<4} B．{x|x≤3 或 x≥4} C. {x|-2≤x≤一 1} D. {x|-1≤x≤3} 2.欧拉公式  sincos iei (e 为自然对数的底数，i 为虚数单位)是瑞士著名数学家欧拉发明的， 01ie 被英国科学期刊《物理世界》评选为十大最伟大的公式之一，根据欧拉公式可知，复数 i e 6- 的虚部为（ ） A. i2 1 B. i2 1 C. 2 1 D. 2 1 3.函 数    06sin       xxf 的 最 小 正 周 期 为  ， 则  xf 的 单 调 递 增 区 间 可 以 是 ( )A.       63- ， B.       12 5 12- ， C.       12 11 12 5 ， D.       3 2 6 ， 4.已知   611 axx  展开式中 2x 项的系数为 21，则实数 a ( ) A. 5 35 B. 2 7- C.1 或 5 7- D.-1 或 5 7 5. 已 知 x,y 满 足 不 等 式 组 , 052 02 0       yx yx x 则   221 yxz  的最小值为( ) A. 2 23 B. 2 9 C. 5 D.5 (6)执行右侧的程序框图，输出 S 的值为( ) (A) ln4 (B) ln5 (C) ln 5-ln4 (D) ln 4-ln 3 7. 已知   , 0, 0,2 3 1       xx x xf x 若   1f ，则     1ff ( ) A. 2 43 或 1 B. 2 1 或 1 C. 2 1 D.1 8．如图是某一几何体的三视图，则该几何体的体积是( ) A． 3 4 B．1 C． 5 4 D． 3 2 9．已知点 O 是△ABC 外心，AB=4，AO=3，则AB→·AC→的取值范围是( ) A.[-4,24] B.[-8,20] C.[-8,12] D.[-4,20] 10.已知椭圆 159 22  yx 的右焦点为 F，P 是椭圆上一点，点  32,0A ，当 APF 的周长最大时， APF 的面积等于( ) A. 4 311 B. 4 321 C. 4 11 D. 4 21 11.已知函数 f(x+2）是偶函数，且当 x>2 时满足 xf '(x)>2f '(x)+f(x)），则( ) A．2f(1)f(3) C．f(0)<4f( 5 2 ) D．f(1)0，b>0）的长轴长等于圆 C2:x2+y2=4 的直径，且 C1 的离心率等于 1 2 ．直 线 l1 和 l2 是过点 M(1，0)互相垂直的两条直线，l1 交 C1 于 A，B 两点，l2 交 C2 于 C，D 两点． (I)求 C1 的标准方程； (Ⅱ)求四边形 ABCD 的面积的最大值． 21.(本小题满分 12 分) 已知函数    xgxxf ,ln 是  xf 的反函数. (Ⅰ)求证：当 0x 时，   xxxf  2 2 1-1 ； (Ⅱ)若      22 mxgxgxg  对任意 Rx 恒成立，求实数 m 的取值范围. 请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第 一个题目计分，作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 (22)（本小题满分 10 分）选修 4-1:几何证明选讲 如图，AB 与圆 O 相切于点 B，CD 为圆 O 上两点，延 长 AD 交圆 O 于点 E，BF∥CD 且交 ED 于点 F (I)证明：△BCE∽△FDB; ( II)若 BE 为圆 O 的直径，∠EBF=∠CBD，BF=2， (23)（本小题满分 10 分）选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．半 圆 C(圆心为点 C)的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈( 4  ， 3 4  )． (I)求半圆 C 的参数方程： (II)直线，与两坐标轴的交点分别为 A，B，其中 A(O，-2)，点 D 在半圆 C 上， 且直线 CD 的倾斜角是直线，倾斜角的 2 倍，若△ABD 的面积为 4，求点 D 的直角坐标． (24)（本小题满分 10 分）选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f(x)=lx+1|-a|x-l|. (I)当 a=-2 时，解不等式 f(x)>5; (II)若(x)≤a|x+3|，求 a 的最小值． 高三周考二数学（理）参考答案 1.D 2. C 3. A 4. D 5. D 6.A 7. A 8. B 9. D 10. B 11.A 12.B 13.an=(3 2 )n-1 14. 丙 15. [1,e5+1] 16. 5 3 （17）解：（Ⅰ）在△ADC 中，∠ADC＝360°－90°－120°－θ＝150°－θ， 由正弦定理可得 DC sin∠DAC ＝ AC sin∠ADC ，即 DC sin30° ＝ 2 sin(150°－θ) ， 于是：DC＝ 1 sin (150°－θ) ． …5 分 （Ⅱ）在△ABC 中，由正弦定理得 AC sin θ ＝ BC sin 60° ，即 BC＝ 3 sin θ ， 由（Ⅰ）知：DC＝ 1 sin (150°－θ) ， 那么S＝ 3 4sin θ·sin (150°－θ) ＝ 3 2sinθcosθ＋2 3sin2θ ＝ 3 3＋2sin(2θ－60°) ， 故θ＝75°时，S 取得最小值 6－3 3． 18. （Ⅰ）证明：连 AC 交 BD 于O ，则 ACBD  ，………………………..…1 分 又 AE 面 ABCD， BD 面 ABCD，则 AEBD  ，………………………..…2 分 又 AAEAC  则 BD 面 EACF ， AF 面 EACF ………………………..…3 分 则 AFBD  . 又 BEAF  ， BBEBD  ………………………..…4 分 所以 AF 面 BDE ，而 AF 面 BAF ， 所以平面 BAF 平面 BDE .………………………..…5 分 （Ⅱ）以O 为空间直角坐标系原点，以OC 为 x 轴，以OD 为 y 轴，以过O 点平行于 AE 以为 z 轴 建立空间直角坐标系 xOy )1,0,2 1(),0,2 3,0(),,0,2 1(),0,2 3,0(),0,0,2 1(  EDhFBA )1,2 3,2 1(),,0,1(  BEhAF 012 1  h 2 1h ………………………..…7 分 求得平面 BAF 的法向量为 )32,1,3(  ………………………..…8 分 求得平面 AFD 的法向量为 )32,1,3(  ………………………..…9 分 设所求二面角为 则有 |cos|  8 7 … 又因为所求二面角为钝角所以所求二面角得余弦值为 8 7 . （19）解： （Ⅰ）记顾客获得半价优惠为事件 A，则 P(A)＝3×2×1 4×4×4 ＝ 3 32 ， 两个顾客至少一个人获得半价优惠的概率 P＝1－P(－A )P(－A )＝1－(1－ 3 32 )2＝ 183 1024 ． …5 分 （Ⅱ）若选择方案一，则付款金额为 320－50＝270 元． 若选择方案二，记付款金额为 X 元，则 X 可取 160，224，256，320． P(X＝160)＝ 3 32 ， P(X＝224)＝3×2×3＋3×2×1＋1×2×1 4×4×4 ＝13 32 ， P(X＝256)＝3×2×3＋1×2×3＋1×2×1 4×4×4 ＝13 32 ， P(X＝320)＝1×2×3 4×4×4 ＝ 3 32 ， 则 E(X)＝160× 3 32 ＋224×13 32 ＋256×13 32 ＋320× 3 32 ＝240． ∵ 270＞240， ∴第二种方案比较划算． …12 分 20. 解：(1)由题意 2,42  aa -----------1 分 1,2 1  ca c -----------2 分 3b -----------3 分所以 2 2 + =14 3 x y -----------4 分 (2) ①直线 ,AB CD 的斜率均存在时，设 : ( 1)AB y k x  ，则 1: ( 1)CD y xk    2 2 ( 1) 3 4 12 y k x x y      得 2 2 2(3 4 ) -8 4 12 0k x k x k    2 1 2 2 2 1 2 2 8 3 4 4 12 3 4 kx x k kx x k        2 2 1 2 2 12( 1)1 3 4 kAB k x x k       ------------------------6 分 设圆心 (0,0) 到直线 : 1 0CD x ky   的距离 2 1 1 d k   2 2 44 CD d   ， 得 2 2 4 32 1 kCD k   -----------------------8 分 AB CD 2 2 1 12 1 2 4 3ABCD kS AB CD k      -----------------------9 分 整理得 2 1 112 4 4(4 3)ABCDS k     24 3 3k   4 3ABCDS  ②当直线 AB 的斜率为 0 时， 34,32||,4||  ABCDSCDAB 当直线 AB 的斜率不存在时， 346,4||,3||  ABCDSCDAB -----11 分 综上,四边形 ABCD 的面积的最大值为 4 3 ----------------------12 分 21. （22）解：（Ⅰ）因为 BF∥CD，所以∠EDC＝∠BFD， 又∠EBC＝∠EDC，所以∠EBC＝∠BFD， 又∠BCE＝∠BDF，所以△BCE∽△FDB. …4 分 （Ⅱ）因为∠EBF＝∠CBD，所以∠EBC＝∠FBD， 由（Ⅰ）得∠EBC＝∠BFD，所以∠FBD＝∠BFD， 又因为 BE 为圆 O 的直径， 所以△FDB 为等腰直角三角形，BD＝ 2 2 BF＝ 2， 因为 AB 与圆 O 相切于点 B，所以 EB⊥AB，即 AD·ED＝BD2＝2． …10 分 （23）解： （Ⅰ）半圆 C 的直角坐标方程为 x2＋(y－1)2＝1（y＞1）， 它的参数方程是 x＝cosφ， y＝1＋sinφ，φ是参数且φ∈(0，π)． …4 分 （Ⅱ）设直线 l 的倾斜角为α， 则直线 l 的方程为 y＝xtan α－2， D (cos2α，1＋sin2α)，2α∈(0，π)． |AB|＝ 2 sinα ，点 D 到直线 l 的距离为 |sinαcos2α－cosαsin2α－3cosα| ＝|3cosα－sinαcos2α＋cosαsin2α|＝3cosα＋sinα， 由△ABD 的面积为 4 得 tan α＝1，即α＝ π 4 ，故点 D 为 (0，2)． …10 分 （24）解： （Ⅰ）当 a＝－2 时，f (x)＝ 1－3x， x＜－1， 3－x， －1≤x≤1， 3x－1， x＞1． 由 f (x)的单调性及 f (－ 4 3 )＝f (2)＝5， 得 f (x)＞5 的解集为{x|x＜－ 4 3 ，或 x＞2}． …5 分 （Ⅱ）由 f (x)≤a|x＋3|得 a≥ |x＋1| |x－1|＋|x＋3| ， 由|x－1|＋|x＋3|≥2|x＋1|得 |x＋1| |x－1|＋|x＋3| ≤ 1 2 ，得 a≥ 1 2 ． （当且仅当 x≥1 或 x≤－3 时等号成立） 故 a 的最小值为 1 2 ． …10 分