人教新课标A版高二数学上学期第二次联考试题理1 10页

江西省南昌市六校 2016-2017 学年高二数学上学期第二次联考试题 理 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共 22 小题，共 150 分.共 4 页，考试时 间 120 分钟，考生作答时将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效. 注意事项： 第Ⅰ卷(选择题，共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求。) 1．直角坐标  3,1 P 转化为极坐标是（ ） A．      3,2  B．      3 4,2  C．       3,2  D．       3 4,2  2．抛物线 21 4y x  的准线方程为（ ） A． 1 16x  B． 1y  C． 1x  D． 1 16y  3．命题“若 2 2 0a b  ，则 0a b  ”的逆否命题是（ ） A．若 0a b  ，则 2 2 0a b  B．若 0a b  ，则 2 2 0a b  C．若 0a  且 0b  ，则 2 2 0a b  D．若 0a  或 0b  ，则 2 2 0a b  4．直线 5 3 3 3 x t y t     （t 为参数）的倾斜角为（ ） A．30° B．60° C．120° D．150° 5．对于大于 1 的自然数 m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”23=3+5，33=7+9+11， 43=13+15+17+19，…，仿此，若 3m 的“分裂数”中有一个是 59，则 m 的值为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 6．若   xf x e ，则     0 1 2 1limx f x f x      （ ） A． e B． 2e C． e D． 1 2 e 7．用数学归纳法证明“  1 1 11 2 3 2n f n    ”时，由 n k 不等式成立，证明 1n k  时， 左边应增加的项数是（ ） A． 12k B． 2 1k  C． 2k D． 2 1k  8.在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题 p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落 在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ） A． ( ) ( )p q   B． ( )p q  C． ( ) ( )p q   D． p q 9．设曲线 1 1 xy x   在点（3，2）处的切线与直线 1 0ax y   垂直，则 a  （ ） A．2 B． 1 2 C． 1 2  D．﹣2 10．不等式 22 5 3 0x x   成立的一个必要不充分条件是（ ） A． 0x  或 2x   B． 0x  或 2x  C． 1x   或 4x  D． 1 2x   或 3x  11．曲线 3 3 2y x x   上的任意一点 P 处切线的倾斜角的取值范围是（ ） A． 20, ,2 3            B． 2 ,3      C． 50, ,2 6            D． 5 ,6      12.已知O 为坐标原点， F 是椭圆   2 2 2 2: 1 0x yC a ba b     的左焦点，A、B 分别为C 的左、右顶 点． P 为C 上一点，且 PF x 轴，过点 A 的直线l 与线段 PF 交于点 M ，与 y 轴交于点 E．若直 线 BM 经过 OE 的中点，则C 的离心率为（ ） A． 1 3 B． 1 2 C． 2 3 D． 3 4 第Ⅱ卷(非选择题，共 90 分) 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13．曲线 1 cos sin x y       （ 为参数）上的点到曲线 cos sin 1 0      的最大距离为 14．若函数    ' 22 1f x f x x  ，则  1f  = 15．已知 0a  ，不等式 2 1 42, 3, ,x xx x      可推广为 1n ax nx    ，则 a = 16．已知函数 f (x)及其导数 f′(x)，若存在 x0，使得 f (x0)＝f′(x0)，则称 x0 是 f (x)的一个“巧 值点”，下列函数中，存在“巧值点”的是________．(填上所有正确的序号) ①f (x)＝x2， ②f(x)＝sinx， ③f (x)＝lnx， ④f (x)＝tanx， ⑤f(x)＝x＋1 x . 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分） 17. （本小题满分 10 分） 已知函数   2 sin cosxf x x x e x    （1）求该函数的导数  'f x （2）求函数  f x 在 0x  处的切线方程 18．（本小题满分 12 分） 已知命题 p：方程 2 2 0x x m   有两个不相等的实数根；命题 q：对任意 [0 8]x   不等式 log 1 3 ( 1)x   2 3m m 恒成立．若“p 或 q”是真命题，“p 且 q”是假命题，求实数 m 的取值范围． 19．（本小题满分 12 分） 已知数列{ }na 的前 n 项和记为 nS ，若 22  aa （ a 为常数），且 nS 是 nna 与 na 的等差中项． （1）求 431 ,, aaa ； （2）猜想出 na 的表达式，并用数学归纳法进行证明． 20．（本小题满分 12 分） 在直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的参数方程为 3cos ( ) sin x y       为参数 ，以坐标原点为极点，以 x 轴的 正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为 sin( ) 2 24     . （1）写出 1C 的普通方程和 2C 的直角坐标方程； （2）设点 P 在 1C 上，点 Q 在 2C 上，求|PQ|的最小值及此时 P 的直角坐标. 21．（本小题满分 12 分） 已知  2,2E 是抛物线 2: 2C y px 上一点，经过点 (2,0) 的直线 l 与抛物线 C 交于 ,A B 两点（不同于 点 E ），直线 ,EA EB 分别交直线 2x   于点 ,M N . （1）求抛物线方程及其焦点坐标； （2）求证：以 MN 为直径的圆恰好经过原点. 22．（本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，动点 P 到两点 ( 3 0) ， ，( 3 0)， 的距离之和等于 4 ，设点 P 的轨迹为 曲线C ，直线l 过点 ( 1,0)E  且与曲线 C 交于 A ， B 两点． （1）求曲线C 的轨迹方程； （2）是否存在△ AOB 面积的最大值，若存在，求出△ AOB 的面积；若不存在，说明理由. 2016-2017 学年度高二数学第一学期 12 月联考试卷 理科数学参考答案 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分） 二、填 空题 （本 大题 共4小 题，每小题 5 分，共 20 分） 13． 2 1 14． 5 15． nn 16． ①②③⑤ 三、解答题（本大题共 6 个小题，共 70 分） 17. 解：（1）        ' '' 2 cos cos cos 2 cos cos sinx x xf x x x e x e x x x e x x        …5 分 （2）  ' 0k f  2，切点为 0,1 .所以切线方程为 2 1y x  …………5 分 18.解：命题 p：方程 x2﹣2x+m=0 有两个不相等的实数根，∴△=4﹣4m＞0，解得 m＜1； 命题 q：f(x)=log 1 3 (x+1),则 f(x)在 ( 1 )  上为减函数， [0 8]x   当 x=8 时 min( ) (8) 2f x f    . 不等式 log 1 3 2( 1) 3x m m   恒成立, 等价于 22 3m m    解得1 2m  . …………6 分 p 且 q 为假,p 或 q 为真,则 p 与 q 有且只有一个为真. 若 p 为真,q 为假,那么 1 2 1 m m m       则 1m  . 若 p 为假,q 为真,那么 1 2 1 m m       则1 2m  . ……………10 分 综上所述 2m  . ……………12 分 19.解：（1）由已知得 naananaS nn n  22 ， 当 1n 时， 2 1 11 aaSa  ，则 aa 1 ； 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选 项 C B D D C B C A D B A A 当 3n 时， 32 3 3213  aaaaaS ，而 22  aa ， 于是可解得 43  aa ；同理可解得 64  aa .………………5 分 （2）由（1）中的 ,6,4,2, 4321  aaaaaaaa ， 猜测出 2( 1)na a n   . 数学归纳法证明如下： ①当 1n 时， 1 2(1 1)a a a    ，猜想成立； 当 2n 时， 2 2 2(2 1)a a a     ，猜想也成立. ②假设当 *( , 2)n k k N k   时猜想成立，即 2( 1)ka a k   ， 则当 1 kn 时， 1 1 1 ( 1)2 k k k k a aa S S k         kaak  2 ， 即 1( 1) k kk a ka a   ， 由 2k 可得 1 2 ( 1) 1 1 k k ka a ka k k aa k k       ， 即 1 2 2[( 1) 1]ka a k a k       ， 也就是说，当 1 kn 时猜想也成立. 由①、②可知对任意的 *n N ， 2( 1)na a n   都成立. ………………12 分 20. 解： 21. 解：（1）将  2,2E 代入 2 2y px ，得 1p  所以抛物线方程为 2 2y x ，焦点坐标为 1( ,0)2 …………4 分 （2）设 2 1 1( , )2 yA y ， 2 2 2( , )2 yB y ， ( , ), ( , )M M N NM x y N x y ， 法一： 因为直线 l 不经过点 E ，所以直线 l 一定有斜率 设直线l 方程为 ( 2)y k x  与抛物线方程联立得到 2 ( 2) 2 y k x y x     ，消去 x ，得： 2 2 4 0ky y k   则由韦达定理得： 1 2 1 2 24,y y y y k     直线 AE 的方程为：  1 2 1 22 2 22 yy xy     ，即   1 2 2 22y xy    ， 令 2x   ，得 1 1 2 4 2M yy y   同理可得： 2 2 2 4 2N yy y   又 4( 2, ), ( 2, )m m OM y ON y      ， 所以 1 2 1 2 2 4 2 44 4 2 2M N y yOM ON y y y y           1 2 1 2 1 2 1 2 4[ 2( ) 4]4 [ 2( ) 4] y y y y y y y y        44( 4 4) 4 44( 4 4) k k         0 所以OM ON ，即 MON 为定值 π 2 …………12 分 法二： 设直线l 方程为 2x my  与抛物线方程联立得到 2 2 2 x my y x     ，消去 x ，得： 2 2 4 0y my   则由韦达定理得： 1 2 1 24, 2y y y y m    直线 AE 的方程为：  1 2 1 22 2 22 yy xy     ，即   1 2 2 22y xy    ， 令 2x   ，得 1 1 2 4 2M yy y   同理可得： 2 2 2 4 2N yy y   又 4( 2, ), ( 2, )m m OM y ON y      ， 1 2 1 2 4( 2)( 2)4 4 ( 2)( 2)M N y yOM ON y y y y           1 2 1 2 1 2 1 2 4[ 2( ) 4]4 [ 2( ) 4] y y y y y y y y        4( 4 2 4)4 4( 4 2 4) m m        0 所以OM ON ，即 MON 为定值 π 2 …………12 分 22. 解.（1）由椭圆定义可知，点 P 的轨迹 C 是以 ( 3 0) ， ，( 3 0)， 为焦点，长半轴长为 2 的 椭圆．故曲线 C 的方程为 2 2 14 x y  ．…………4 分 （2）存在△ AOB 面积的最大值. 因为直线l 过点 ( 1,0)E  ，可设直线l 的方程为 1x my  或 0y  （舍）． 则 2 2 1,4 1. x y x my       整理得 2 2( 4) 2 3 0m y my    ． 由 2 2(2 ) 12( 4) 0m m     ．设 1 1 2 2( ) ( )A x y B x y， ， ， ． 解得 2 1 2 2 3 4 m my m    ， 2 2 2 2 3 4 m my m    ． 则 2 2 1 2 4 3| | 4 my y m    ．…………8 分 因为 1 2 1 2AOBS OE y y    2 2 2 2 2 3 2 14 3 3 m m m m      ． 设 1( )g t t t   ， 2 3t m  ， 3t  ． 则 ( )g t 在区间[ 3, ) 上为增函数．所以 4 3( ) 3g t  ． 所以 3 2AOBS  ，当且仅当 0m  时取等号，即 max 3( ) 2AOBS  ． 所以 AOBS 的最大值为 3 2 ．…………12 分