高二数学第 1 讲 课题：椭圆知识点整理 10页

第 1 讲 课题：椭圆 课 型：复习巩固 上课时间：2013 年 10 月 3 日 教学目标： （1）了解圆锥曲线的来历； （2）理解椭圆的定义； （3）理解椭圆的两种标准方程； （4）掌握椭圆离心率的计算方法； （5）掌握有关椭圆的参数取值范围的问题； 教学重点：椭圆方程、离心率； 教学难点：与椭圆有关的参数取值问题； 知识清单 一、椭圆的定义： (1) 椭圆的第一定义:平面内与两定点 21 FF、 的距离和等于常数  a2 (大于 21FF ）的点的轨迹叫做椭圆. 说明：两个定点叫做椭圆的焦点； 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 c2 . (2) 椭圆的第二定义：平面上到定点的距离与到定直线的距离之 比为常数e ，当 10  e 时，点的轨迹是椭圆. 椭圆上一点到 焦点的距离可以转化为到准线的距离. 二、椭圆的数学表达式：  022 2121  FFaaPFPF ;   .02,2 2121  FFaaPFPFPM 三、椭圆的标准方程： 焦点在 x 轴:  012 2 2 2  bab y a x ； 焦点在 y 轴:  012 2 2 2  bab x a y . 说明： a 是长半轴长， b 是短半轴长，焦点始终在长轴所在的数轴上，且满足 .222 cba  四、二元二次方程表示椭圆的充要条件 方程  BACBACByAx  均不为零，且、、22 表示椭圆的条件： 上式化为 1 22  C By C Ax ， 1 22  B C y A C x .所以，只有 CBA 、、 同号，且 BA  时，方程表示椭圆；当 B C A C  时，椭圆的焦点在 x 轴上；当 B C A C  时， 椭圆的焦点在 y 轴上. 五、椭圆的几何性质（以  012 2 2 2  bab y a x 为例） 1. 范围: 由标准方程可知，椭圆上点的坐标 yx, 都适合不等式 1,1 2 2 2 2  b y a x ，即 byax  , 说明椭圆位于直线 ax  和 by  所围成的 矩形里（封闭曲线）.该性质主要用于求最值、轨迹检验等问题. 2.对称性:关于原点、 x 轴、 y 轴对称，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是 椭圆的对称中心。 3.顶点（椭圆和它的对称轴的交点） 有四个：        .,0B,0B0,0, 2121 bbaAaA 、、、  4. 长轴、短轴： 21AA 叫椭圆的长轴， aaAA ,221  是长半轴长； 21BB 叫 椭圆的短轴， bbBB ,221  是短半轴长. 5.离心率 （1）椭圆焦距与长轴的比 a ce  ， 10,0  eca （2） 22FOBRt , 2 2 2 2 2 22 OFOBFB  ，即 222 cba  .这是椭圆的特 征三角形，并且 22cos BOF 的值是椭圆的离心率.（3）椭圆的 圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关.当e 接近于 1 时，c 越接近于a ，从而 22 cab  越小，椭圆越扁； 当e 接近于 0 时，c 越接近于 0，从而 22 cab  越大，椭圆越 接近圆；当 0e 时， bac  ,0 ，两焦点重合，图形是圆. 6.通径（过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦），通径长为 a b22 . 7.设 21 FF、 为椭圆的两个焦点， P 为椭圆上一点，当 21 FFP 、、 三点不在 同一直线上时， 21 FFP 、、 构成了一个三角形——焦点三角形. 依椭圆 的定义知： cFFaPFPF 2,2 2121  . 例题选讲 一、选择题 1．椭圆 14 22  yx 的离心率为（ ） A． 2 3 B． 4 3 C． 2 2 D． 3 2 2．设 p 是椭圆 2 2 125 16 x y  上的点．若 1 2F F， 是椭圆的两个焦点，则 1 2PF PF 等于（ ） A． 4 B．5 C． 8 D．10 3．若焦点在 x 轴上的椭圆 12 22  m yx 的离心率为 2 1 ， 则 m=（ ） A． 3 B． 2 3 C． 3 8 D． 3 2 4．已知△ABC 的顶点 B、C 在椭圆x2 3 ＋y2＝1 上，顶点 A 是椭圆的一个焦 点，且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上，则△ABC 的周长是（ ） A．2 3 B．6 C．4 3 D．12 5．如图，直线 022:  yxl 过椭圆的左焦点 F1 和 一个顶点 B，该椭圆的离心率为（ ） A． 5 1 B． 5 2 C． 5 5 D． 5 52 6．已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点，过 F1 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆 于 A、B 两点，若△ABF2 是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ） A． 3 2 B． 3 3 C． 2 2 D． 2 3 7．已知以 F1（-2,0），F2（2,0）为焦点的椭圆与直线 043  yx 有 且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（ ） A． 23 B． 62 C． 72 D． 24 二、填空题： 8． 在 ABC△ 中， 90A   ， 3tan 4B  ．若以 A B， 为焦点的椭圆经过点 C ，则该椭圆的离心率e  ． 9． 已知椭圆中心在原点，一个焦点为 F（－2 3 ，0），且长轴长是短 轴长的 2 倍，则该椭圆的标准方程 是 ． 10．在平面直角坐标系 xOy 中，已知 ABC 顶点 ( 4,0)A  和 (4,0)C ，顶点 B 在椭圆 1925 22  yx 上，则 sin sin sin A C B   . 11．椭圆 44 22  yx 长轴上一个顶点为 A，以 A 为直角顶点作一个内接 于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是_______________． 三、解答题 12．已知椭圆 063 22  mymx 的一个焦点为（0，2）求 m 的值． 13．已知椭圆的中心在原点，且经过点  03，P ， ba 3 ，求椭圆 的标准方程． 14．已知方程 135 22  k y k x 表示椭圆，求 k 的取值范围． 15．已知 1cossin 22   yx )0(   表示焦点在 y 轴上的椭圆，求 的 取值范围． 16. 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过 )2,3( A 和 )1,32(B 两 点的椭圆方程． 《导数及其应用》知识点总结 一、导数的概念和几何意义 1. 函数的平均变化率：函数 ( )f x 在区间 1 2[ , ]x x 上的平均变化率为： 2 1 2 1 ( ) ( )f x f x x x   。 2. 导数的定义：设函数 ( )y f x 在区间 ( , )a b 上有定义， 0 ( , )x a b ，若 x 无限趋近于 0 时，比值 0 0( ) ( )f x x f xy x x      无限趋近于一个常数 A，则称函数 ( )f x 在 0x x 处可导， 并称该常数 A 为函数 ( )f x 在 0x x 处的导数，记作 0( )f x 。函数 ( )f x 在 0x x 处的导数的实 质是在该点的瞬时变化率。 3. 求函数导数的基本步骤：（1）求函数的增量 0 0( ) ( )y f x x f x     ；（2）求平均变 化率： 0 0( ) ( )f x x f x x     ；（3）取极限，当 x 无限趋近与 0 时， 0 0( ) ( )f x x f x x     无限趋 近与一个常数 A，则 0( )f x A  . 4. 导数的几何意义： 函数 ( )f x 在 0x x 处的导数就是曲线 ( )y f x 在点 0 0( , ( ))x f x 处的切线的斜率。由此， 可以利用导数求曲线的切线方程，具体求法分两步： （1）求出 ( )y f x 在 x0 处的导数，即为曲线 ( )y f x 在点 0 0( , ( ))x f x 处的切线的斜率； （2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为 0 0 0( )( )y y f x x x   。 当点 0 0( , )P x y 不在 ( )y f x 上时，求经过点 P 的 ( )y f x 的切线方程，可设切点坐标， 由切点坐标得到切线方程，再将 P 点的坐标代入确定切点。特别地，如果曲线 ( )y f x 在点 0 0( , ( ))x f x 处的切线平行与 y 轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为 0x x 。 5. 导数的物理意义： 质点做直线运动的位移 S 是时间 t 的函数 ( )S t ，则 ( )V S t 表示瞬时速度， ( )a v t 表 示瞬时加速度。 二、导数的运算 1. 常见函数的导数： （1） ( )kx b k  (k, b 为常数)； （2） 0C  (C 为常数)； （3） ( ) 1x   ； （4） 2( ) 2x x  ； （5） 3 2( ) 3x x  ； （6） 2 1 1( )x x    ； （7） 1( ) 2 x x   ； （8） 1( )α αx αx   （α为常数）； （9） ( ) ln ( 0, 1)x xa a a a a    ； （10） 1 1(log ) log ( 0, 1)lna ax e a ax x a      ； （11） ( )x xe e  ； （12） 1(ln )x x   ； （13） (sin ) cosx x  ； （14） (cos ) sinx x   。 2. 函数的和、差、积、商的导数： （1）[ ( ) ( )] ( ) ( )f x g x f x g x     ； （2）[ ( )] ( )Cf x Cf x  （C 为常数）； （3）[ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x f x g x    ;（4） 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ( ) 0)( ) ( ) f x f x g x f x g x g xg x g x     。 3. 简单复合函数的导数： 若 ( ),y f u u ax b   ，则 x u xy y u    ，即 x uy y a   。 三、导数的应用 1. 求函数的单调性： 利用导数求函数单调性的基本方法：设函数 ( )y f x 在区间 ( , )a b 内可导， （1）如果恒 ( ) 0f x  ，则函数 ( )y f x 在区间 ( , )a b 上为增函数； （2）如果恒 ( ) 0f x  ，则函数 ( )y f x 在区间 ( , )a b 上为减函数； （3）如果恒 ( ) 0f x  ，则函数 ( )y f x 在区间 ( , )a b 上为常数函数。 利用导数求函数单调性的基本步骤：①求函数 ( )y f x 的定义域；②求导数 ( )f x ； ③解不等式 ( ) 0f x  ，解集在定义域内的不间断区间为增区间；④解不等式 ( ) 0f x  ，解集 在定义域内的不间断区间为减区间。 反过来, 也可以利用导数由函数的单调性解决相关问题（如确定参数的取值范围）： 设函数 ( )y f x 在区间 ( , )a b 内可导， (1)如果函数 ( )y f x 在区间 ( , )a b 上为增函数,则 ( ) 0f x  (其中使 ( ) 0f x  的 x 值不 构成区间)； (2) 如果函数 ( )y f x 在区间 ( , )a b 上为减函数,则 ( ) 0f x  (其中使 ( ) 0f x  的 x 值不 构成区间)； (3) 如果函数 ( )y f x 在区间 ( , )a b 上为常数函数,则 ( ) 0f x  恒成立。 2. 求函数的极值： 设函数 ( )y f x 在 0x 及其附近有定义，如果对 0x 附近的所有的点都有 0( ) ( )f x f x （或 0( ) ( )f x f x ），则称 0( )f x 是函数 ( )f x 的极小值（或极大值）。 可导函数的极值，可通过研究函数的单调性求得，基本步骤是： （1）确定函数 ( )f x 的定义域；（2）求导数 ( )f x ；（3）求方程 ( ) 0f x  的全部实根， 1 2 nx x x   ，顺次将定义域分成若干个小区间，并列表：x 变化时， ( )f x 和 ( )f x 值的 变化情况： x 1( , )x 1x 1 2( , )x x … nx ( , )nx  ( )f x 正负 0 正负 0 正负 ( )f x 单调性 单调性 单调性 （4）检查 ( )f x 的符号并由表格判断极值。 3. 求函数的最大值与最小值： 如果函数 ( )f x 在定义域 I 内存在 0x ，使得对任意的 x I ，总有 0( ) ( )f x f x ，则称 0( )f x 为函数在定义域上的最大值。函数在定义域内的极值不一定唯一，但在定义域内的最值是唯 一的。 求函数 ( )f x 在区间[ , ]a b 上的最大值和最小值的步骤： （1）求 ( )f x 在区间 ( , )a b 上的极值； （2）将第一步中求得的极值与 ( ), ( )f a f b 比较，得到 ( )f x 在区间[ , ]a b 上的最大值与最 小值。 4. 解决不等式的有关问题： （1）不等式恒成立问题（绝对不等式问题）可考虑值域。 ( )( )f x x A 的值域是[ , ]a b 时，不等式 ( ) 0f x  恒成立的充要条件是 max( ) 0f x  ，即 0b  ；不等式 ( ) 0f x  恒成立的充要条件是 min( ) 0f x  ，即 0a  。 ( )( )f x x A 的值域是 ( , )a b 时，不等式 ( ) 0f x  恒成立的充要条件是 0b  ；不等式 ( ) 0f x  恒成立的充要条件是 0a  。 （2）证明不等式 ( ) 0f x  可转化为证明 max( ) 0f x  ，或利用函数 ( )f x 的单调性，转化为 证明 0( ) ( ) 0f x f x  。 5. 导数在实际生活中的应用： 实际生活求解最大（小）值问题，通常都可转化为函数的最值. 在利用导数来求函数最 值时，一定要注意，极值点唯一的单峰函数，极值点就是最值点，在解题时要加以说明。