2019年高考数学练习题汇总(七)计数原理 3页

‎(七)计数原理 ‎1．已知等式(x2＋2x＋2)5＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10，其中ai(i＝0,1,2，…，10)为实常数．‎ 求：(1)n的值；‎ ‎(2)an的值．‎ 解　(1)在(x2＋2x＋2)5＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10中，‎ 令x＝－1，得a0＝1.‎ 令x＝0，得a0＋a1＋a2＋…＋a9＋a10＝25＝32.‎ 所以n＝a1＋a2＋…＋a10＝31.‎ ‎(2)等式(x2＋2x＋2)5＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10两边对x求导，‎ 得5(x2＋2x＋2)4·(2x＋2)＝a1＋2a2(x＋1)＋…＋9a9(x＋1)8＋10a10(x＋1)9.‎ 在5(x2＋2x＋2)4·(2x＋2)＝a1＋2a2(x＋1)＋…＋9a9(x＋1)8＋10a10(x＋1)9中，‎ 令x＝0，整理得an＝a1＋2a2＋…＋9a9＋10a10＝5·25＝160.‎ ‎2．设等差数列{an}的首项为1，公差为d(d∈N*)，m为数列{an}中的项．‎ ‎(1)若d＝3，试判断m的展开式中是否含有常数项？并说明理由；‎ ‎(2)证明：存在无穷多个d，使得对每一个m，m的展开式中均不含常数项．‎ ‎(1)解　因为{an}是首项为1，公差为3的等差数列，‎ 所以an＝3n－2.‎ 假设m的展开式中第r＋1项为常数项(r∈N)，‎ Tr＋1＝Cxm－rr＝，于是m－r＝0.‎ 设m＝3n－2(n∈N*)，则有3n－2＝r，‎ 即r＝2n－，这与r∈N矛盾．‎ 所以假设不成立，即m的展开式中不含常数项．‎ ‎(2)证明　由题设知an＝1＋(n－1)d，‎ 设m＝1＋(n－1)d，‎ 由(1)知，要使对于每一个m，m的展开式中均不含常数项，‎ 必须有：对于n∈N*，满足1＋(n－1)d－r＝0的r无自然数解，即r＝(n－1)＋∉N.‎ 当d＝3k(k∈N*)时，r＝(n－1)＋＝2k(n－1)＋∉N.‎ 故存在无穷多个d，满足对每一个m，m的展开式中均不含常数项．‎ ‎3．已知f(x)＝(2＋)n，其中n∈N*.‎ ‎(1)若展开式中含x3项的系数为14，求n的值；‎ ‎(2)当x＝3时，求证：f(x)必可表示成＋(s∈N*)的形式．‎ ‎(1)解　因为Tr＋1＝C2n－rx，当＝3时，r＝6，‎ 故x3项的系数为C2n－6＝14，解得n＝7.‎ ‎(2)证明　由二项式定理可知，‎ ‎(2＋)n＝C2n()0＋C2n－1()1＋C2n－2()2＋…＋C20()n，‎ 设(2＋)n＝p＋q＝＋，p，q∈N*，‎ 而若有(2＋)n＝＋，a，b∈N*，‎ 则(2－)n＝－，a，b∈N*.‎ ‎∵(＋)·(－)＝(2＋)n·(2－)n＝1，‎ ‎∴a－b＝1，令a＝s，s∈N*，得b＝s－1，‎ ‎∴(2＋)n必可表示成＋的形式，其中s∈N*.‎ ‎4．设n∈N*，n≥3，k∈N*.‎ ‎(1)求值：①kC－nC；‎ ‎②k2C－n(n－1)C－nC(k≥2)；‎ ‎(2)化简：12C＋22C＋32C＋…＋(k＋1)2C＋…＋(n＋1)2C.‎ 解　(1)①kC－nC＝k×－n× ‎＝－＝0.‎ ‎②k2C－n(n－1)C－nC ‎＝k2×－n(n－1)×－n× ‎＝k×－－ ‎＝＝0.‎ ‎(2)由(1)可知当k≥2时，(k＋1)2C ‎＝(k2＋2k＋1)C＝k2C＋2kC＋C ‎＝[n(n－1)C＋nC]＋2nC＋C ‎＝n(n－1)C＋3nC＋C.‎ 故12C＋22C＋32C＋…＋(k＋1)2C＋…＋(n＋1)2C ‎＝(12C＋22C)＋n(n－1)(C＋C＋…＋C)＋3n(C＋C＋…＋C)＋(C＋C＋…＋C)‎ ‎＝(1＋4n)＋n(n－1)2n－2＋3n(2n－1－1)＋(2n－1－n)‎ ‎＝2n－2(n2＋5n＋4)．‎