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  • 2021-06-16 发布

2019年高考数学练习题汇总(七)计数原理

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‎(七)计数原理 ‎1.已知等式(x2+2x+2)5=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a9(x+1)9+a10(x+1)10,其中ai(i=0,1,2,…,10)为实常数.‎ 求:(1)n的值;‎ ‎(2)an的值.‎ 解 (1)在(x2+2x+2)5=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a9(x+1)9+a10(x+1)10中,‎ 令x=-1,得a0=1.‎ 令x=0,得a0+a1+a2+…+a9+a10=25=32.‎ 所以n=a1+a2+…+a10=31.‎ ‎(2)等式(x2+2x+2)5=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a9(x+1)9+a10(x+1)10两边对x求导,‎ 得5(x2+2x+2)4·(2x+2)=a1+2a2(x+1)+…+9a9(x+1)8+10a10(x+1)9.‎ 在5(x2+2x+2)4·(2x+2)=a1+2a2(x+1)+…+9a9(x+1)8+10a10(x+1)9中,‎ 令x=0,整理得an=a1+2a2+…+9a9+10a10=5·25=160.‎ ‎2.设等差数列{an}的首项为1,公差为d(d∈N*),m为数列{an}中的项.‎ ‎(1)若d=3,试判断m的展开式中是否含有常数项?并说明理由;‎ ‎(2)证明:存在无穷多个d,使得对每一个m,m的展开式中均不含常数项.‎ ‎(1)解 因为{an}是首项为1,公差为3的等差数列,‎ 所以an=3n-2.‎ 假设m的展开式中第r+1项为常数项(r∈N),‎ Tr+1=Cxm-rr=,于是m-r=0.‎ 设m=3n-2(n∈N*),则有3n-2=r,‎ 即r=2n-,这与r∈N矛盾.‎ 所以假设不成立,即m的展开式中不含常数项.‎ ‎(2)证明 由题设知an=1+(n-1)d,‎ 设m=1+(n-1)d,‎ 由(1)知,要使对于每一个m,m的展开式中均不含常数项,‎ 必须有:对于n∈N*,满足1+(n-1)d-r=0的r无自然数解,即r=(n-1)+∉N.‎ 当d=3k(k∈N*)时,r=(n-1)+=2k(n-1)+∉N.‎ 故存在无穷多个d,满足对每一个m,m的展开式中均不含常数项.‎ ‎3.已知f(x)=(2+)n,其中n∈N*.‎ ‎(1)若展开式中含x3项的系数为14,求n的值;‎ ‎(2)当x=3时,求证:f(x)必可表示成+(s∈N*)的形式.‎ ‎(1)解 因为Tr+1=C2n-rx,当=3时,r=6,‎ 故x3项的系数为C2n-6=14,解得n=7.‎ ‎(2)证明 由二项式定理可知,‎ ‎(2+)n=C2n()0+C2n-1()1+C2n-2()2+…+C20()n,‎ 设(2+)n=p+q=+,p,q∈N*,‎ 而若有(2+)n=+,a,b∈N*,‎ 则(2-)n=-,a,b∈N*.‎ ‎∵(+)·(-)=(2+)n·(2-)n=1,‎ ‎∴a-b=1,令a=s,s∈N*,得b=s-1,‎ ‎∴(2+)n必可表示成+的形式,其中s∈N*.‎ ‎4.设n∈N*,n≥3,k∈N*.‎ ‎(1)求值:①kC-nC;‎ ‎②k2C-n(n-1)C-nC(k≥2);‎ ‎(2)化简:12C+22C+32C+…+(k+1)2C+…+(n+1)2C.‎ 解 (1)①kC-nC=k×-n× ‎=-=0.‎ ‎②k2C-n(n-1)C-nC ‎=k2×-n(n-1)×-n× ‎=k×-- ‎==0.‎ ‎(2)由(1)可知当k≥2时,(k+1)2C ‎=(k2+2k+1)C=k2C+2kC+C ‎=[n(n-1)C+nC]+2nC+C ‎=n(n-1)C+3nC+C.‎ 故12C+22C+32C+…+(k+1)2C+…+(n+1)2C ‎=(12C+22C)+n(n-1)(C+C+…+C)+3n(C+C+…+C)+(C+C+…+C)‎ ‎=(1+4n)+n(n-1)2n-2+3n(2n-1-1)+(2n-1-n)‎ ‎=2n-2(n2+5n+4).‎