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- 2021-06-17 发布
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第四章 指数函数、对数函数与幂函数
4.1
指数与指数函数
4.1.2 指数函数的性质与图像
第
2
课时 指数函数的性质与图像的应用
必备知识
·
探新知
关键能力
·
攻重难
课堂检测
·
固双基
素养作业
·
提技能
素养目标
·
定方向
素养目标
·
定方向
课程标准
学法解读
1.
进一步熟练掌握指数函数的图像、性质.
2
.会求指数型函数的定义域、值域、最值,以及能判断与证明单调性.
3
.能够利用指数函数的图像和性质比较数的大小、解不等式.
1.
通过例题进一步深入理解指数函数的单调性及其应用,提升学生的逻辑推理素养.
2
.借助指数函数的性质,研究指数型函数的相关问题,提升学生的数学运算及数学抽象素养.
必备知识
·
探新知
底数与指数函数图像的关系
知识点
一
下
上
由大变小
(1)
形如
a
f
(
x
)
>
a
g
(
x
)
的不等式,可借助
y
=
a
x
(
a
>
0
且
a
≠1)
的
__________
求解;
(2)
形如
a
f
(
x
)
>
b
的不等式,可将
b
化为以
a
为底数的指数幂的形式,再借助
y
=
a
x
(
a
>
0
且
a
≠1)
的
__________
求解;
(3)
形如
a
x
>
b
x
的不等式,可借助两函数
y
=
a
x
(
a
>
0
且
a
≠1)
,
y
=
b
x
(
b
>
0
且
b
≠1)
的图像求解.
解指数型不等式
知识点
二
单调性
单调性
一般地,形如
y
=
a
f
(
x
)
(
a
>
0
且
a
≠1)
函数的性质有:
(1)
函数
y
=
a
f
(
x
)
与函数
y
=
f
(
x
)
有
________
的定义域.
(2)
当
a
>
1
时,函数
y
=
a
f
(
x
)
与
y
=
f
(
x
)
具有
________
的单调性;当
0
<
a
<
1
时,函数
y
=
a
f
(
x
)
与
y
=
f
(
x
)
具有
________
的单调性.
与指数函数复合的函数单调性
知识点
三
相同
相同
相反
思考:
(1)
指数函数
y
=
a
x
(
a
>
0
且
a
≠1)
的单调性取决于哪个量?
(2)
如何判断形如
y
=
f
(
a
x
)(
a
>
0
且
a
≠1)
的函数的单调性?
提示:
(1)
指数函数
y
=
a
x
(
a
>
0
且
a
≠1)
的单调性与其底数
a
有关,当
a
>
1
时,
y
=
a
x
(
a
>
0
且
a
≠1)
在定义域上是增函数,当
0
<
a
<
1
时,
y
=
a
x
(
a
>
0
且
a
≠1)
在定义域上是减函数.
(2)
①
定义法,即
“
取值
—
作差
—
变形
—
定号
”
.
其中,在定号过程中需要用到指数函数的单调性;
②
利用复合函数的单调性
“
同增异减
”
的规律.
关键能力
·
攻重难
指数函数性质的简单应用
题型探究
题型
一
典例剖析
典例
1
[
解析
]
(1)
考查指数函数
y
=
1.7
x
,
由于底数
1.7
>
1
,所以指数函数
y
=
1.7
x
在
(
-
∞,
+
∞
)
上是增函数.
∵
2.5
<
3
,
∴
1.7
2.5
<
1.7
3
.
(2)
考查函数
y
=
0.8
x
,由于
0
<
0.8
<
1
,
所以指数函数
y
=
0.8
x
在
(
-
∞,
+
∞
)
上为减函数.
∵
-
0.1
>
-
0.2
,
∴
0.8
-
0.1
<
0.8
-
0.2
.
(3)
由指数函数的性质得
1.7
0.3
>
1.7
0
=
1
,
0.9
3.1
<
0.9
0
=
1
,
∴
1.7
0.3
>
0.9
3.1
.
规律方法:利用指数函数的性质比较大小的方法:
1
.
把这两个数看作指数函数的两个函数值,再利用指数函数的单调性比较.
2
.若两个数不是同一个函数的两个函数值,则寻求一个中间量,中间量常选
1
,两个数都与这个中间量进行比较.
对点训练
形如
y
=
a
f
(
x
)
类型函数的单调性与值域
题型
二
典例剖析
典例
2
[
分析
]
利用复合函数单调性的原则
“
同增异减
”
求解
规律方法:复合函数的单调性、值域
(1)
分层:一般分为外层
y
=
a
t
,内层
t
=
f
(
x
)
.
(2)
单调性复合:复合法则
“
同增异减
”
,即内外层的单调性相同则为增函数,单调性相反则为减函数.
(3)
值域复合:先求内层
t
的值域,再利用单调性求
y
=
a
t
的值域.
对点训练
[1
,+∞
)
指数函数性质的综合应用
题型
三
典例剖析
典例
3
B
特别提醒:
已知分段函数的单调性求参数的范围时,容易忽视判断分界点处取值的大小.
对点训练
m
≥
-
5
(2)
因为
f
(
x
)
是定义在
[
-
2,2]
上的奇函数,
所以
f
(0)
=
0
,当
x
∈
(0,2]
时,
f
(
x
)
=
2
x
-
1
∈
(0,3]
,
则当
x
∈
[
-
2,2]
时,
f
(
x
)
∈
[
-
3,3]
,
若对于
∀
x
1
∈
[
-
2,2]
,
∃
x
2
∈
[
-
2,2]
,
使得
g
(
x
2
)
≥
f
(
x
1
)
,
则等价为
g
(
x
)
max
≥
3
,
因为
g
(
x
)
=
x
2
-
2
x
+
m
=
(
x
-
1)
2
+
m
-
1
,
x
∈
[
-
2,2]
,所以
g
(
x
)
max
=
g
(
-
2)
=
8
+
m
,
则满足
8
+
m
≥
3
解得
m
≥
-
5
.
典例剖析
典例
4
易错警示
课堂检测
·
固双基
素养作业
·
提技能
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