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  • 2021-06-17 发布

2020版高中数学 第2章 数列第2课时 等比数列的性质

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第2课时 等比数列的性质 ‎1.掌握等比数列的性质及其应用.(重点) ‎2.熟练掌握等比数列与等差数列的综合应用.(难点、易错点) ‎3.能用递推公式求通项公式.(难点) ‎[基础·初探]‎ 教材整理 等比数列的性质 阅读教材P47探索与研究及P48练习B第1题,完成下列问题.‎ ‎1.“子数列”性质 对于无穷等比数列{an},若将其前k项去掉,剩余各项仍为等比数列,首项为ak+1,公比为q;若取出所有的k的倍数项,组成的数列仍为等比数列,首项为ak,公比为qk.‎ ‎2.等比数列项的运算性质 在等比数列{an}中,若m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),则am·an=ap·aq.‎ ‎①特别地,当m+n=2k(m,n,k∈N+)时,am·an=a.‎ ‎②对有穷等比数列,与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积,即a1·an=a2·an-1=…=ak·an-k+1=….‎ ‎3.两等比数列合成数列的性质 若数列{an},{bn}均为等比数列,c为不等于0的常数,则数列{can},{an·bn},也为等比数列.‎ ‎1.等比数列{an}中,a4=4,则a2·a6=________.‎ ‎【解析】 ∵{an}是等比数列,‎ ‎∴a‎2a6=a=42=16.‎ ‎【答案】 16‎ ‎2.若a,b,c既成等差数列,又成等比数列,则它们的公比为________.‎ ‎【解析】 只有非零常数列才满足题意,∴公比q=1.‎ ‎【答案】 1‎ ‎3.正项等比数列{an}中,a‎2a5=10,则lg a3+lg a4=________.‎ ‎【解析】 lg a3+lg a4=lg(a‎3a4)‎ 7‎ ‎=lg(a‎2a5)‎ ‎=lg 10=1.‎ ‎【答案】 1‎ ‎4.在等比数列{an}中,a2=2,a6=16,则a10=________.‎ ‎【解析】 ∵数列{an}是等比数列,‎ ‎∴a10·a2=a,‎ 即a10===128.‎ ‎【答案】 128‎ ‎[小组合作型]‎ 等比数列性质的应用 ‎ 已知{an}为等比数列,‎ ‎(1)等比数列{an}满足a‎2a4=,求a‎1aa5;‎ ‎(2)若an>0,a‎2a4+‎2a3a5+a‎4a6=25,求a3+a5;‎ ‎(3)若an>0,a‎5a6=9,求log‎3a1+log‎3a2+…+log‎3a10的值.‎ ‎【精彩点拨】 利用等比数列的性质,若m+n=p+q,则am·an=ap·aq求解.‎ ‎【自主解答】 (1)等比数列{an}中,因为a‎2a4=,‎ 所以a=a‎1a5=a‎2a4=,‎ 所以a‎1aa5=.‎ ‎(2)由等比中项,化简条件得 a+‎2a3a5+a=25,即(a3+a5)2=25,‎ ‎∵an>0,∴a3+a5=5.‎ ‎(3)由等比数列的性质知a‎5a6=a‎1a10=a‎2a9=a‎3a8=a‎4a7=9,‎ ‎∴log‎3a1+log‎3a2+…+log‎3a10=log3(a‎1a2…a10)‎ ‎=log3[(a‎1a10)(a‎2a9)(a‎3a8)(a‎4a7)(a‎5a6)]‎ ‎=log395=10.‎ 7‎ 有关等比数列的计算问题,基本方法是运用方程思想列出基本量a1和q的方程组,先解出a1和q,然后利用通项公式求解.但有时运算稍繁,而利用等比数列的性质解题,却简便快捷,为了发现性质,要充分发挥项的“下标”的指导作用.‎ ‎[再练一题]‎ ‎1.已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a‎5a6=-8.求a1+a10. ‎ ‎【导学号:18082033】‎ ‎【解】 因为数列{an}为等比数列,‎ 所以a‎5a6=a‎4a7=-8,联立 解得或 所以q3=-或q3=-2,故a1+a10=+a7·q3=-7.‎ 灵活设元求等比数列 ‎ 有四个实数,前三个数成等比数列,且它们的乘积为216,后三个数成等差数列,且它们之和为12,求这四个数.‎ ‎【精彩点拨】 根据前三项成等比数列,可对称性设为,a,aq,也可依据后三项成等差数列设为a-d,a,a+d,然后列方程组求解.‎ ‎【自主解答】 法一:设前三个数为,a,aq,‎ 则·a·aq=216,‎ 所以a3=216,所以a=6.‎ 因此前三个数为,6,6q.‎ 由题意知第4个数为12q-6.‎ 所以6+6q+12q-6=12,解得q=.‎ 故所求的四个数为9,6,4,2.‎ 法二:设后三个数为4-d,4,4+d,则第一个数为(4-d)2,由题意知(4-d)2×(4-d)×4=216,解得4-d=6,所以d=-2.‎ 故所求得的四个数为9,6,4,2.‎ 巧设等差数列、等比数列的方法:,(1)若三数成等差数列,常设成a-d,a,a+d 7‎ ‎.若三数成等比数列,常设成,a,aq或a,aq,aq2.‎ (2)若四个数成等比数列,可设为,a,aq,aq2.若四个正数成等比数列,可设为,,aq,aq3.‎ ‎[再练一题]‎ ‎2.三个数成等比数列,其积为512,如果第一个数与第三个数各减去2,则这三个数成等差数列,求这三个数.‎ ‎【解】 设三个数依次为,a,aq,‎ ‎∵·a·aq=512,‎ ‎∴a=8.‎ ‎∵+(aq-2)=‎2a,‎ ‎∴2q2-5q+2=0,∴q=2或q=,‎ ‎∴这三个数为4,8,16或16,8,4.‎ ‎[探究共研型]‎ 由递推公式转化为等比数列求通项 探究1 如果数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1,(n∈N+),你能判断出{an}是等差数列,还是等比数列吗?‎ ‎【提示】 由等差数列与等比数列的递推关系,可知数列{an}既不是等差数列,也不是等比数列.‎ 探究2 在探究1中,若将an+1=2an+1两边都加1,再观察等式的特点,你能构造出一个等比数列吗?‎ ‎【提示】 在an+1=2an+1两边都加1得 an+1+1=2(an+1),显然数列{an+1}是以a1+1=2为首项,以q=2为公比的等比数列.‎ 探究3 在探究1中,若将an+1=2an+1改为an+1=3an+5,又应如何构造出一个等比数列?你能求出an吗?‎ ‎【提示】 设将an+1=3an+5变形为an+1+x=3(an+x).将该式整理为an+1=3an+2x与an+1=3an+5对比可知2x=5,即x=;所以在an+1=3an+5两边都加 7‎ ‎,可构造出等比数列{an+}.利用等比数列求出an+即可求出an.‎ ‎ 已知数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}中,b1=a1,bn=an-an-1(n≥2),且an+Sn=n.‎ ‎(1)设cn=an-1,求证:{cn}是等比数列;‎ ‎(2)求数列{bn}的通项公式.‎ ‎【精彩点拨】 (1)先由an+Sn=n,利用Sn与an的关系得{an}的递推关系式,然后构造出数列{an-1},利用定义证明即可.‎ ‎(2)由(1)求出an代入bn=an-an-1(n≥2)即可.‎ ‎【自主解答】 (1)证明:∵an+Sn=n,①‎ ‎∴an+1+Sn+1=n+1.②‎ ‎②-①得an+1-an+an+1=1.‎ ‎∴2an+1=an+1,∴2(an+1-1)=an-1,‎ ‎∴=.∵首项c1=a1-1,‎ 又a1+a1=1,∴a1=,∴c1=-,‎ 又cn=an-1,∴q=.‎ ‎∴{cn}是以-为首项,公比为的等比数列.‎ ‎(2)由(1)可知cn=· ‎=-,‎ ‎∴an=cn+1=1-.‎ ‎∴当n≥2时,bn=an-an-1=1--1--1=-1-=.‎ 又b1=a1=,代入上式也符合,‎ ‎∴bn=.‎ ‎1.已知数列的前n项和,或前n项和与通项的关系求通项,常用an与Sn的关系求解.‎ ‎2.由递推关系an+1=Aan+B(A,B为常数,且A≠0,A≠1)求an时,由待定系数法设an 7‎ ‎+1+λ=A(an+λ)可得λ=,这样就构造了等比数列{an+λ}.‎ ‎[再练一题]‎ ‎3.已知数列{an}中,a1=1,an+1=-,bn=,求数列{bn}的通项公式. ‎ ‎【导学号:18082034】‎ ‎【解】 an+1-2=--2=,==+2,‎ 即bn+1=4bn+2,bn+1+=4(bn+).‎ 又a1=1,故b1==-1,‎ 所以是首项为-,公比为4的等比数列,‎ 所以bn+=-×4n-1,bn=--.‎ ‎1.将公比为q的等比数列{an}依次取相邻两项的乘积组成新的数列a‎1a2,a‎2a3,a‎3a4,….此数列是(  )‎ A.公比为q的等比数列 B.公比为q2的等比数列 C.公比为q3的等比数列 D.不一定是等比数列 ‎【解析】 由于=×=q·q=q2,n≥2且n∈N+,‎ ‎∴{anan+1}是以q2为公比的等比数列,故选B.‎ ‎【答案】 B ‎2.若1,a1,a2,4成等差数列;1,b1,b2,b3,4成等比数列,则的值等于(  )‎ A.-    B.     C.±    D. ‎【解析】 ∵1,a1,a2,4成等差数列,‎ ‎∴3(a2-a1)=4-1,∴a2-a1=1.‎ 又∵1,b1,b2,b3,4成等比数列,设其公比为q,则b=1×4=4,且b2=1×q2>0,‎ 7‎ ‎∴b2=2,∴==-.‎ ‎【答案】 A ‎3.已知在等比数列{an}中,an+1<an,a2·a8=6,a4+a6=5,则等于(  )‎ A.    B.   C.   D. ‎【解析】 由a2·a8=a4·a6=6,a4+a6=5,a6<a4,得a6=2,a4=3,==,故选D.‎ ‎【答案】 D ‎4.在等比数列{an}中,各项都是正数,a‎6a10+a‎3a5=41,a‎4a8=4,则a4+a8=________.‎ ‎【解析】 ∵a‎6a10=a,a‎3a5=a,∴a+a=41.‎ 又a‎4a8=4,∴(a4+a8)2=a+a+‎2a4a8=41+8=49.‎ ‎∵数列各项都是正数,∴a4+a8=7.‎ ‎【答案】 7‎ 7‎