- 329.50 KB
- 2021-06-17 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
第2课时 等比数列的性质
1.掌握等比数列的性质及其应用.(重点)
2.熟练掌握等比数列与等差数列的综合应用.(难点、易错点)
3.能用递推公式求通项公式.(难点)
[基础·初探]
教材整理 等比数列的性质
阅读教材P47探索与研究及P48练习B第1题,完成下列问题.
1.“子数列”性质
对于无穷等比数列{an},若将其前k项去掉,剩余各项仍为等比数列,首项为ak+1,公比为q;若取出所有的k的倍数项,组成的数列仍为等比数列,首项为ak,公比为qk.
2.等比数列项的运算性质
在等比数列{an}中,若m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),则am·an=ap·aq.
①特别地,当m+n=2k(m,n,k∈N+)时,am·an=a.
②对有穷等比数列,与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积,即a1·an=a2·an-1=…=ak·an-k+1=….
3.两等比数列合成数列的性质
若数列{an},{bn}均为等比数列,c为不等于0的常数,则数列{can},{an·bn},也为等比数列.
1.等比数列{an}中,a4=4,则a2·a6=________.
【解析】 ∵{an}是等比数列,
∴a2a6=a=42=16.
【答案】 16
2.若a,b,c既成等差数列,又成等比数列,则它们的公比为________.
【解析】 只有非零常数列才满足题意,∴公比q=1.
【答案】 1
3.正项等比数列{an}中,a2a5=10,则lg a3+lg a4=________.
【解析】 lg a3+lg a4=lg(a3a4)
7
=lg(a2a5)
=lg 10=1.
【答案】 1
4.在等比数列{an}中,a2=2,a6=16,则a10=________.
【解析】 ∵数列{an}是等比数列,
∴a10·a2=a,
即a10===128.
【答案】 128
[小组合作型]
等比数列性质的应用
已知{an}为等比数列,
(1)等比数列{an}满足a2a4=,求a1aa5;
(2)若an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,求a3+a5;
(3)若an>0,a5a6=9,求log3a1+log3a2+…+log3a10的值.
【精彩点拨】 利用等比数列的性质,若m+n=p+q,则am·an=ap·aq求解.
【自主解答】 (1)等比数列{an}中,因为a2a4=,
所以a=a1a5=a2a4=,
所以a1aa5=.
(2)由等比中项,化简条件得
a+2a3a5+a=25,即(a3+a5)2=25,
∵an>0,∴a3+a5=5.
(3)由等比数列的性质知a5a6=a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=9,
∴log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1a2…a10)
=log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)]
=log395=10.
7
有关等比数列的计算问题,基本方法是运用方程思想列出基本量a1和q的方程组,先解出a1和q,然后利用通项公式求解.但有时运算稍繁,而利用等比数列的性质解题,却简便快捷,为了发现性质,要充分发挥项的“下标”的指导作用.
[再练一题]
1.已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8.求a1+a10.
【导学号:18082033】
【解】 因为数列{an}为等比数列,
所以a5a6=a4a7=-8,联立
解得或
所以q3=-或q3=-2,故a1+a10=+a7·q3=-7.
灵活设元求等比数列
有四个实数,前三个数成等比数列,且它们的乘积为216,后三个数成等差数列,且它们之和为12,求这四个数.
【精彩点拨】 根据前三项成等比数列,可对称性设为,a,aq,也可依据后三项成等差数列设为a-d,a,a+d,然后列方程组求解.
【自主解答】 法一:设前三个数为,a,aq,
则·a·aq=216,
所以a3=216,所以a=6.
因此前三个数为,6,6q.
由题意知第4个数为12q-6.
所以6+6q+12q-6=12,解得q=.
故所求的四个数为9,6,4,2.
法二:设后三个数为4-d,4,4+d,则第一个数为(4-d)2,由题意知(4-d)2×(4-d)×4=216,解得4-d=6,所以d=-2.
故所求得的四个数为9,6,4,2.
巧设等差数列、等比数列的方法:,(1)若三数成等差数列,常设成a-d,a,a+d
7
.若三数成等比数列,常设成,a,aq或a,aq,aq2.
(2)若四个数成等比数列,可设为,a,aq,aq2.若四个正数成等比数列,可设为,,aq,aq3.
[再练一题]
2.三个数成等比数列,其积为512,如果第一个数与第三个数各减去2,则这三个数成等差数列,求这三个数.
【解】 设三个数依次为,a,aq,
∵·a·aq=512,
∴a=8.
∵+(aq-2)=2a,
∴2q2-5q+2=0,∴q=2或q=,
∴这三个数为4,8,16或16,8,4.
[探究共研型]
由递推公式转化为等比数列求通项
探究1 如果数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1,(n∈N+),你能判断出{an}是等差数列,还是等比数列吗?
【提示】 由等差数列与等比数列的递推关系,可知数列{an}既不是等差数列,也不是等比数列.
探究2 在探究1中,若将an+1=2an+1两边都加1,再观察等式的特点,你能构造出一个等比数列吗?
【提示】 在an+1=2an+1两边都加1得
an+1+1=2(an+1),显然数列{an+1}是以a1+1=2为首项,以q=2为公比的等比数列.
探究3 在探究1中,若将an+1=2an+1改为an+1=3an+5,又应如何构造出一个等比数列?你能求出an吗?
【提示】 设将an+1=3an+5变形为an+1+x=3(an+x).将该式整理为an+1=3an+2x与an+1=3an+5对比可知2x=5,即x=;所以在an+1=3an+5两边都加
7
,可构造出等比数列{an+}.利用等比数列求出an+即可求出an.
已知数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}中,b1=a1,bn=an-an-1(n≥2),且an+Sn=n.
(1)设cn=an-1,求证:{cn}是等比数列;
(2)求数列{bn}的通项公式.
【精彩点拨】 (1)先由an+Sn=n,利用Sn与an的关系得{an}的递推关系式,然后构造出数列{an-1},利用定义证明即可.
(2)由(1)求出an代入bn=an-an-1(n≥2)即可.
【自主解答】 (1)证明:∵an+Sn=n,①
∴an+1+Sn+1=n+1.②
②-①得an+1-an+an+1=1.
∴2an+1=an+1,∴2(an+1-1)=an-1,
∴=.∵首项c1=a1-1,
又a1+a1=1,∴a1=,∴c1=-,
又cn=an-1,∴q=.
∴{cn}是以-为首项,公比为的等比数列.
(2)由(1)可知cn=·
=-,
∴an=cn+1=1-.
∴当n≥2时,bn=an-an-1=1--1--1=-1-=.
又b1=a1=,代入上式也符合,
∴bn=.
1.已知数列的前n项和,或前n项和与通项的关系求通项,常用an与Sn的关系求解.
2.由递推关系an+1=Aan+B(A,B为常数,且A≠0,A≠1)求an时,由待定系数法设an
7
+1+λ=A(an+λ)可得λ=,这样就构造了等比数列{an+λ}.
[再练一题]
3.已知数列{an}中,a1=1,an+1=-,bn=,求数列{bn}的通项公式.
【导学号:18082034】
【解】 an+1-2=--2=,==+2,
即bn+1=4bn+2,bn+1+=4(bn+).
又a1=1,故b1==-1,
所以是首项为-,公比为4的等比数列,
所以bn+=-×4n-1,bn=--.
1.将公比为q的等比数列{an}依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2,a2a3,a3a4,….此数列是( )
A.公比为q的等比数列 B.公比为q2的等比数列
C.公比为q3的等比数列 D.不一定是等比数列
【解析】 由于=×=q·q=q2,n≥2且n∈N+,
∴{anan+1}是以q2为公比的等比数列,故选B.
【答案】 B
2.若1,a1,a2,4成等差数列;1,b1,b2,b3,4成等比数列,则的值等于( )
A.- B. C.± D.
【解析】 ∵1,a1,a2,4成等差数列,
∴3(a2-a1)=4-1,∴a2-a1=1.
又∵1,b1,b2,b3,4成等比数列,设其公比为q,则b=1×4=4,且b2=1×q2>0,
7
∴b2=2,∴==-.
【答案】 A
3.已知在等比数列{an}中,an+1<an,a2·a8=6,a4+a6=5,则等于( )
A. B. C. D.
【解析】 由a2·a8=a4·a6=6,a4+a6=5,a6<a4,得a6=2,a4=3,==,故选D.
【答案】 D
4.在等比数列{an}中,各项都是正数,a6a10+a3a5=41,a4a8=4,则a4+a8=________.
【解析】 ∵a6a10=a,a3a5=a,∴a+a=41.
又a4a8=4,∴(a4+a8)2=a+a+2a4a8=41+8=49.
∵数列各项都是正数,∴a4+a8=7.
【答案】 7
7
相关文档
- 高中数学必修2同步练习:空间中直线2021-06-176页
- 人教版高中数学选修1-1课件:2_3_1《2021-06-1718页
- 全国高中数学联赛一试题(二)2021-06-174页
- 2018-2019学年吉林省东辽市普通高2021-06-178页
- 2020高中数学 第一章“杨辉三角”2021-06-177页
- 2020年高中数学 第二章 解三角形章2021-06-179页
- 人教A高中数学必修三算法的概念时2021-06-173页
- 高中数学选修2-3公开课课件2_3离散2021-06-1712页
- 高中数学必修5:4_备课资料(1_1_3 解2021-06-172页
- 名师解读高考真题系列-高中数学(理数2021-06-1714页