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- 2021-06-17 发布
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模块综合试卷
(时间:120分钟,满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.(2016·四川)设i为虚数单位,则(x+i)6的展开式中含x4的项为( )
A.-15x4 B.15x4
C.-20ix4 D.20ix4
考点 二项展开式中的特定项问题
题点 求二项展开式的特定项
答案 A
解析 由题意可知,含x4的项为Cx4i2=-15x4.
2.已知集合A={5},B={1,2},C={1,3,4},若从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标,则确定的不同点的个数为( )
A.36 B.35 C.34 D.33
考点 分步乘法计数原理
题点 分步乘法计数原理的应用
答案 D
解析 不考虑限定条件确定的不同点的个数为CCA=36,
但集合B,C中有相同元素1,由5,1,1三个数确定的不同点的个数只有三个,故所求的个数为36-3=33.
3.抛掷一枚质地均匀的硬币两次,在第一次正面向上的条件下,第二次反面向上的概率为( )
A. B. C. D.
11
考点 条件概率的定义及计算公式
题点 直接利用公式求条件概率
答案 C
解析 记事件A表示“第一次正面向上”,事件B表示“第二次反面向上”,则P(AB)=,P(A)=,∴P(B|A)==.
4.已知随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2),且P(ξ<2)=0.6,则P(0<ξ<1)等于( )
A.0.4 B.0.3 C.0.2 D.0.1
考点 正态分布的概念及性质
题点 求正态分布的均值或方差
答案 D
解析 由已知可得曲线关于直线x=1对称,P(ξ<2)=0.6,所以P(ξ>2)=P(ξ<0)=0.4,故P(0<ξ<1)=P(0<ξ<2)=(1-0.4-0.4)=0.1.
5.给出以下四个说法:
①绘制频率分布直方图时,各小长方形的面积等于相应各组的组距;
②在刻画回归模型的拟合效果时,R2的值越大,说明拟合的效果越好;
③设随机变量ξ服从正态分布N(4,22),则P(ξ>4)=;
④对分类变量X与Y,若它们的随机变量K2的观测值k越小,则判断“X与Y有关系”的犯错误的概率越小.
其中正确的说法是( )
A.①④ B.②③ C.①③ D.②④
考点 独立性检验思想的应用
题点 独立性检验与线性回归方程、均值的综合应用
答案 B
解析 ①中各小长方形的面积等于相应各组的频率;②正确,相关指数R2越大,拟合效果越好,R2越小,拟合效果越差;③随机变量ξ服从正态分布N(4,22),正态曲线对称轴为x=4,所以P(ξ>4)=;④对分类变量X与Y,若它们的随机变量K2的观测值k越小,则说明“X与Y有关系”的犯错误的概率越大.
6.设某地区历史上从某次特大洪水发生以后,在30年内发生特大洪水的概率是0.8,在40年内发生特大洪水的概率是0.85.在过去的30年内该地区都未发生特大洪水,则在未来10年内该地区发生特大洪水的概率是( )
A.0.25 B.0.3 C.0.35 D.0.4
11
考点 互斥、对立、独立重复试验的概率问题
题点 互斥事件、对立事件、独立事件的概率问题
答案 A
解析 设在未来10年内该地区发生特大洪水的概率是P,根据条件可得,0.8×1+(1-0.8)×P=0.85,解得P=0.25.
7.某机构对儿童记忆能力x和识图能力y进行统计分析,得到如下数据:
记忆能力x
4
6
8
10
识图能力y
3
5
6
8
由表中数据,求得线性回归方程为=0.8x+,若某儿童记忆能力为12,则预测他的识图能力约为( )
A.9.5 B.9.8 C.9.2 D.10
考点 线性回归分析
题点 线性回归方程的应用
答案 A
解析 ∵=×(4+6+8+10)=7,=×(3+5+6+8)=5.5,∴样本点的中心为(7,5.5),
代入回归方程得5.5=0.8×7+,∴=-0.1,
∴=0.8x-0.1,
当x=12时,=0.8×12-0.1=9.5,故选A.
8.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五5天中参加某项志愿者活动,要求每人参加一天且每天至多安排一人,并要求甲安排在另外两位前面,则不同的安排方法共有( )
A.40种 B.30种 C.20种 D.60种
考点 排列的应用
题点 排列的简单应用
答案 C
解析 分类解决.甲排周一,乙,丙只能是周二至周五4天中选两天进行安排,有A=12(种)方法;甲排周二,乙,丙只能是周三至周五选两天安排,有A=6(种)方法;甲排周三,乙丙只能安排在周四和周五,有A=2(种)方法.由分类加法计数原理可知,共有12+6+2=20(种)方法.
9.如图所示,A,B,C表示3种开关,若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.7,那么此系统的可靠性为( )
11
A.0.504 B.0.994
C.0.496 D.0.06
考点 互斥、对立、独立重复试验的概率问题
题点 互斥事件、对立事件、独立事件的概率问题
答案 B
解析 1-P( )=1-P()·P()·P()
=1-0.1×0.2×0.3=1-0.006=0.994.
10.已知5的展开式中含的项的系数为30,则a等于( )
A. B.- C.6 D.-6
考点 二项展开式中的特定项问题
题点 由特定项或特定项的系数求参数
答案 D
解析 5的展开式通项Tk+1=C·(-1)kak·=(-1)kakC,
令-k=,则k=1,
∴T2=-aC,∴-aC=30,∴a=-6,故选D.
11.假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障的概率为1-p,且各引擎是否有故障是独立的,已知4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行,飞机就可成功飞行;2引擎飞机要2个引擎全部正常运行,飞机才可以成功飞行.要使4引擎飞机更安全,则p的取值范围是( )
A. B.
C. D.
考点 独立重复试验的计算
题点 用独立重复试验的概率公式求概率
答案 B
解析 4引擎飞机成功飞行的概率为Cp3(1-p)+p4,2引擎飞机成功飞行的概率为p2,要使Cp3(1-p)+p4>p2,必有<p<1.
12.若在二项式n
11
的展开式中前三项的系数成等差数列,则把展开式中所有的项重新排成一列,有理项都互不相邻的概率为( )
A. B. C. D.
考点 排列与组合的应用
题点 排列、组合在古典概型中的应用
答案 D
解析 注意到二项式n的展开式的通项是Tk+1=C·()n-k·k=C·2-k·.依题意有C+C·2-2=2C·2-1=n,即n2-9n+8=0,(n-1)(n-8)=0(n≥2),解得n=8.∴二项式8的展开式的通项是Tk+1=C·2-k·,展开式中的有理项共有3项,所求的概率为=.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.任意选择四个日期,设X表示取到的四个日期中星期天的个数,则E(X)=________,D(X)=________.
考点 二项分布、两点分布的均值
题点 二项分布的均值
答案
解析 由题意得,X~B,所以E(X)=,D(X)=.
14.围棋盒子中有多粒黑子和白子,已知从中取出2粒都是黑子的概率为,都是白子的概率是.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是________.
考点 排列与组合的应用
题点 排列、组合在古典概型中的应用
答案
解析 设“从中取出2粒都是黑子”为事件A,“从中取出2粒都是白子”为事件B,“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C,则C=A∪B,且事件A与B互斥.所以P(C)=P(A)+P(B)=+=.即任意取出2粒恰好是同一色的概率为.
15.某数学老师身高为176 cm,他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm,170 cm和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关,该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________ cm.
11
考点 线性回归分析
题点 线性回归方程的应用
答案 183.5
解析 记从爷爷起向下各代依次为1,2,3,4,5用变量x表示,其中5代表孙子.各代人的身高为变量y,则有
x
1
2
3
4
y
173
170
176
182
计算知=2.5,=175.25.由回归系数公式得=3.3,
=-=175.25-3.3×2.5=167,∴线性回归方程为=3.3x+167,当x=5时,y=3.3×5+167=183.5,故预测其孙子的身高为183.5 cm.
16.某城市新修建的一条道路上有12盏路灯,为了节省用电而又不能影响正常的照明,可以熄灭其中的3盏灯,但两端的灯不能熄灭,也不能熄灭相邻的两盏灯,则熄灯的方法有________种.(填数字)
考点 组合的应用
题点 有限制条件的组合问题
答案 56
解析 分析题意可知,最终剩余的亮着的灯共有9盏,且两端的必须亮着,所以可用插空的方法,共有8个空可选,所以应为C=56(种).
三、简答题(本大题共6小题,共70分)
17.(10分)已知(a2+1)n展开式中的各项系数之和等于5的展开式的常数项,而(a2+1)n的展开式的系数最大的项等于54,求a的值.
考点 二项式定理的应用
题点 二项式定理的简单应用
解 5的展开式的通项为Tk+1=C5-kk=5-kC,
令20-5k=0,得k=4,
故常数项T5=C×=16.
又(a2+1)n展开式的各项系数之和等于2n,
由题意知2n=16,得n=4,
由二项式系数的性质知,(a2+1)n展开式中系数最大的项是中间项T3,
故有Ca4=54,解得a=±.
11
18.(12分)从7名男生和5名女生中选出5人,分别求符合下列条件的选法数.
(1)A,B必须被选出;
(2)至少有2名女生被选出;
(3)让选出的5人分别担任体育委员、文娱委员等5种不同职务,但体育委员由男生担任,文娱委员由女生担任.
考点 排列与组合的应用
题点 排列组合的综合应用
解 (1)除选出A,B外,从其他10个人中再选3人,选法数为C=120.
(2)按女生的选取情况分类:选2名女生、3名男生,选3名女生、2名男生,选4名女生、1名男生,选5名女生.所有选法数为CC+CC+CC+C=596.
(3)选出1名男生担任体育委员,再选出1名女生担任文娱委员,从剩下的10人中任选3人担任其他3种职务.根据分步乘法计数原理,所有选法数为C·C·A=25 200.
19.(12分)近年来,随着以煤炭为主的能源消耗大幅攀升、机动车持有量急剧增加,某市空气中的PM2.5(直径小于等于2.5微米的颗粒物)的含量呈逐年上升的趋势,如图是根据该市环保部门提供的2011年至2015年该市PM2.5年均浓度值画成的散点图.(为便于计算,把2011年编号为1,2012年编号为2,…,2015年编号为5)
(1)以PM2.5年均浓度值为因变量,年份的编号为自变量,利用散点图提供的数据,用最小二乘法求出该市PM2.5年均浓度值与年份编号之间的线性回归方程=x+;
(2)按世界卫生组织(WHO)过渡期-1的标准,空气中的PM2.5的年均浓度限值为35微克/立方米,该市若不采取措施,试预测到哪一年该市空气中PM2.5的年均浓度值将超过世界卫生组织(WHO)过渡期-1设定的限制.
参考公式:=,=-.
考点 线性回归分析
题点 线性回归方程的应用
解 (1)由散点图可得,变量xi,yi
11
组成的几组数据为(1,13),(2,15),(3,20),(4,22),(5,25),
则=3,=19,
所以==3.1.
=-=19-3.1×3=9.7.
所以所求线性回归方程为=3.1x+9.7.
(2)由3.1x+9.7>35,得x>8.16,
因为x∈N,所以x=9.
故可预测到2019年该市空气中PM2.5的年均浓度值将超过世界卫生组织(WHO)过渡期-1设定的限值.
20.(12分)将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处,小球将自由下落.小球在下落过程中,将3次遇到黑色障碍物,最后落入A袋或B袋中.已知小球每次遇到黑色障碍物时向左、右两边下落的概率都是.
(1)求小球落入A袋中的概率P(A);
(2)在容器入口处依次放入4个小球,记ξ为落入A袋中小球的个数,试求ξ=3的概率与ξ的均值E(ξ).
考点 常见的几种均值
题点 二项分布的均值
解 (1)方法一 记小球落入B袋中的概率为P(B),则P(A)+P(B) =1.
由于小球每次遇到黑色障碍物时一直向左或者一直向右下落,小球将落入B袋,
∴P(B)=3+3=,
∴P(A)=1-=.
方法二 由于小球每次遇到黑色障碍物时,有一次向左和两次向右或两次向左和一次向右下落时小球将落入A袋,∴P(A)=C3+C3=.
11
(2)由题意,ξ~B,
∴P(ξ=3)=C31=,
∴E(ξ)=4×=3.
21.(12分)“中国式过马路”存在很大的交通安全隐患.某调查机构为了解路人对“中国式过马路”的态度是否与性别有关,从马路旁随机抽取30名路人进行了问卷调查,得到了如下列联表:
男性
女性
总计
反感
10
不反感
8
总计
30
已知在这30人中随机抽取1人抽到反感“中国式过马路”的路人的概率是.
(1)请将上面的列联表补充完整(直接写结果,不需要写求解过程),并据此资料分析反感“中国式过马路”与性别是否有关?
(2)若从这30人中的女性路人中随机抽取2人参加一活动,记反感“中国式过马路”的人数为X,求X的分布列和均值.
附:K2=.
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.010
0.005
k0
2.706
3.841
6.635
7.879
考点 独立性检验思想的应用
题点 独立性检验与线性回归方程、均值的综合应用
解 (1)
男性
女性
总计
反感
10
6
16
不反感
6
8
14
总计
16
14
30
由已知数据得K2的观测值k=≈1.158<2.706.
所以,没有充足的理由认为反感“中国式过马路”与性别有关.
11
(2)X的可能取值为0,1,2,
P(X=0)==,
P(X=1)==,
P(X=2)==.
所以X的分布列为
X
0
1
2
P
X的均值为E(X)=0×+1×+2×=.
22.(12分)设袋子中装有a个红球、b个黄球、c个蓝球,且规定:取出1个红球得1分,取出1个黄球得2分,取出1个蓝球得3分.
(1)当a=3,b=2,c=1时,从该袋子中依次任取(有放回,且每个球取到的机会均等)2个球,记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和,求ξ的分布列;
(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球,记随机变量η为取出此球所得分数.若E(η)=,D(η)=,求a∶b∶c.
考点 均值与方差的应用
题点 均值与方差的综合应用
解 (1)根据题意,得ξ的所有可能取值为2,3,4,5,6.
故P(ξ=2)==,P(ξ=3)==,
P(ξ=4)==,
P(ξ=5)==,
P(ξ=6)==.
所以ξ的分布列为
ξ
2
3
4
5
6
P
(2)根据题意,知η的分布列为
11
η
1
2
3
P
所以E(η)=++=,
D(η)=2·+2·+2·=,
化简
解得a=3c,b=2c,故a∶b∶c=3∶2∶1.
11
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