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- 2021-06-17 发布
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模块综合测评
(时间120分钟,满分150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.cos(-2 640°)+sin 1 665°等于( )
A. B.-
C. D.-
B [cos(-2 640°)=cos 2 640°
=cos(7×360°+120°)
=cos 120°=-,
sin 1 665°=sin(4×360°+225°)
=sin 225°=sin(180°+45°)
=-sin 45°=-,
∴cos(-2 640°)+sin 1 665°=--=-.]
2.已知扇形的圆心角为弧度,半径为2,则扇形的面积是( )
【导学号:84352374】
A. B.
C.2π D.
D [此扇形的面积S=××22=.]
3.log2sin+log2cos的值为( )
A.-4 B.4
C.-2 D.2
C [log2sin+log2cos=log2=log2=log2=-2.]
4.设向量a=(2tan α,tan β),向量b=(4,-3),且a+b=0,则tan(α+β)=( )
【导学号:84352375】
11
A. B.-
C. D.-
A [∵a+b=(2tan α+4,tan β-3)=0,
∴
∴tan α=-2,tan β=3,
∴tan(α+β)===.]
5.函数y=sin(ωx+φ)(x∈R,且ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图1所示,则
( )
图1
A.ω=,φ=
B.ω=,φ=
C.ω=,φ=
D.ω=,φ=
C [∵T=4×2=8,∴ω=,
又×1+φ=,∴φ=.]
6.已知tan=,则的值为( )
A. B.-
C. D.-
A [
=
11
=tan=.]
7.若函数f(x)=2sin(-2<x<10)的图象与x轴交于点A,过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点,则(+)·等于( )
【导学号:84352376】
A.-32 B.-16
C.16 D.32
D [由f(x)=0,解得x=4,即A(4,0),过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点,根据对称性可知,A是BC的中点,所以+=2,所以(+)·=2·=2||2=2×42=32,
]
8.函数y=sin xcos x+cos2x-的图象的一个对称中心为( )
A. B.
C. D.
B [y=sin 2x+(1+cos 2x)-=sin-,令2x+=kπ,(k∈Z),
x=-(k∈Z),当k=2时,x=,
∴函数图象的一个对称中心为.]
9.设向量a=(cos 55°,sin 55°),b=(cos 25°,sin 25°),若t为实数,则|a-tb|的最小值是( )
A. B.1
C. D.1+
A [|a-tb|=
=
11
=
=
=
==,
即|a-tb|的最小值为.]
10.已知f(x)=,若a=f(lg 5),b=f(lg 0.2),则下列正确的是( )
【导学号:84352377】
A.a+b=0 B.a-b=0
C.a+b=1 D.a-b=1
C [∵b=f(lg 0.2)=f(-lg 5),
∴f(x)+f(-x)=+=1,
∴a+b=f(lg 5)+f(-lg 5)=1.]
11.如图2,设P为△ABC内一点,且=+,=,=,则△PMB的面积与△ABC的面积之比等于( )
图2
A.1∶5 B.2∶5
C.3∶20 D.7∶20
C [由题可知=,=,则=+,由平行四边形法则可知∥,∥,所以==×=.]
12.在△ABC中,A,B,C是其三个内角,设f(B)=4sin B·cos2+cos 2B,当f(B)-m<2恒成立时,实数m的取值范围是( )
【导学号:84352378】
A.m<1 B.m>-3
C.m<3 D.m>1
11
D [f(B)=4sin Bcos2+cos 2B
=4sin B·+cos 2B
=2sin B(1+sin B)+(1-2sin2B)
=2sin B+1.
∵f(B)-m<2恒成立,
∴2sin B+1-m<2恒成立,
即m>2sin B-1恒成立.
∵0<B<π,
∴0<sin B≤1,
∴-1<2sin B-1≤1,故m>1.]
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)
13.已知O=(-2,1),O=(0,2),且A∥O,B⊥A,则点C的坐标是________.
(-2,6) [设C(x,y),则A=(x+2,y-1),
B=(x,y-2),A=(2,1).
由A∥O,B⊥A,得
解得
∴点C的坐标为(-2,6).]
14.将函数y=sin的图象上的所有点向右平移个单位,再将图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变),则所得的图象的函数解析式为________.
【导学号:84352379】
y=sin 4x [y=sin的图象上的所有点向右平移个单位得y=sin=sin 2x,
再将图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)得y=sin 4x.]
15.如图3,在平行四边形OPQR中,S是对角线的交点,若=2e1,=3e2,以e1,e2
11
为基底,表示=________,=________.
图3
e2-e1,-e1-e2 [∵平行四边形OPQR中,=+=2e1+3e2,
=-=3e2-2e1.
S是OQ,PR的中点,
∴==e2-e1,
=-=-e1-e2.]
16.定义运算=ad-bc.若cos α=,=,0<β<α<,则β等于________.
【导学号:84352380】
[由题意得,
sin αcos β-cos αsin β=,
∴sin(α-β)=.
∵0<β<α<,
∴cos(α-β)==.
又cos α=得sin α=.
cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=×+×=,
∴β=.]
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知角α的终边过点P.
11
(1)求sin α的值;
(2)求式子·的值.
[解] (1)∵|OP|==1,
∴点P在单位圆上,由正弦函数定义得sin α=-.
(2)原式=·
==.
由(1)得sin α=-,P在单位圆上,
∴cos α=,∴原式=.
18.(本小题满分12分)已知=-1,求下列各式的值:
(1);
(2)sin2α+sin αcos α+2.
【导学号:84352381】
[解] 由已知得tan α=.
(1)===-.
(2)sin2α+sin αcos α+2
=3sin2α+sin αcos α+2cos2α
=
=
=
=.
19.(本小题满分12分)如图4,在△ABC中,已知AB=2,AC=6,∠BAC=60°,点D,
11
E分别在边AB,AC上,且=2,=5,
图4
(1)若=-+,求证:点F为DE的中点;
(2)在(1)的条件下,求·的值.
[解] (1)证明:因为=-+,
所以=-=+,
又=2,=5,所以=+,所以F为DE的中点.
(2)由(1)可得==(-),
因为=2,=5,
所以=-,
所以·=-·
=-+·
=-×4+×2×6×cos 60°=-.
20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=+cos2x-sin2x.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间;
(2)在所给坐标系中画出函数在区间的图象(只作图不写过程).
【导学号:84352382】
11
图5
[解] f(x)=+cos 2x
=sin 2x+cos 2x=sin.
(1)函数f(x)的最小正周期T==π,
令2kπ+≤2x+≤2kπ+,k∈Z,则2kπ+≤2x≤2kπ+,k∈Z,故kπ+≤x≤kπ+,k∈Z,
所以函数f(x)的单调递减区间为
(k∈Z).
(2)图象如下:
21.(本小题满分12分)如图6,已知=(2,1),=(1,7),=(5,1),设Z是直线OP上的一动点.
图6
(1)求使·取最小值时的;
11
(2)对(1)中求出的点Z,求cos∠AZB的值.
[解] (1)∵Z是直线OP上的一点,
∴∥.
设实数t,使=t,
∴=t(2,1)=(2t,t),
则=-=(1,7)-(2t,t)
=(1-2t,7-t),
=-=(5,1)-(2t,t)
=(5-2t,1-t),
∴·=(1-2t)(5-2t)+(7-t)(1-t)
=5t2-20t+12=5(t-2)2-8.
当t=2时,·有最小值-8,
此时=(2t,t)=(4,2).
(2)当t=2时,=(1-2t,7-t)=(-3,5),
||=,=(5-2t,1-t)=(1,-1),||=.
故cos∠AZB==
=-=-.
22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=(ω>0).
(1)若f=-f(x),求f(x)的单调增区间;
(2)若f(-x)=f(0<ω<2),求ω的值;
(3)若y=f(x)在上单调递增,则ω的最大值为多少?
【导学号:84352383】
11
[解] f(x)=
=
=sin ωxcos ωx+cos2ωx
=sin 2ωx+
=sin 2ωx+cos 2ωx+
=sin+.
(1)因为f=-f(x),
所以f(x+π)=f(x),
所以T=π,=π.
又ω>0,所以ω=1.
所以f(x)=sin+,又因当2kπ-≤2x+≤2kπ+时f(x)单调递增即f(x)的单调增区间为k∈Z.
(2)因为f(-x)=f,
所以函数f(x)关于直线x=对称,
所以sin=±1,
所以ω=+(k∈Z).
又ω∈(0,2),
所以k=0,ω=.
(3)由题意知ω>0,y=f(x)在上单调递增,所以=,
所以解得ω∈,
所以ωmax=.
11
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