高中数学必修5：2_备课资料（1_1_1　正弦定理） 3页

备课资料 一、知识总结 ‎1.判断三角形解的方法 ‎“已知两边和其中一边的对角”解三角形,这类问题分为一解、二解和无解三种情况.一方面,我们可以利用课本上的几何图形加以理解,另一方面,也可以利用正弦函数的有界性进行分析. ‎ 设已知A、B、A,则利用正弦定理 ‎, 如果sinB＞1,则问题无解. 如果sinB＝1,则问题有一解; 如果求出的sinB＜1,则可得B的两个值,但要通过“三角形内角和定理”或“大边对大角”等三角形有关性质进行判断.‎ ‎2.利用三角形面积证明正弦定理 已知△ABC,设BC＝A, CA＝B,AB＝C,作AD⊥BC,垂足为D. 则Rt△ADB中, , ‎∴AD=AB·sinB=csinB. ‎∴S△ABC=. 同理,可证 S△ABC=. ‎∴ S△ABC=. ‎∴absinc=bcsinA=acsinB, 在等式两端同除以ABC,可得. 即.‎ ‎3.利用正弦定理进行边角互换 对于三角形中的三角函数,在进行恒等变形时,常常将正弦定理写成 A=2RsinA,B=2RsinB,C=2RsinC或sinA=.（R为△ABC外接圆半径） 这样可以很方便地把边和角的正弦进行转换,我们将在以后具体应用. 二、典型例题 ‎1．若△ABC中(A2+B2)sin(A-B)=(A2-B2)sinC,则△ABC是（　　） A.等腰三角形　　　　　　　　　　 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 分析:运用正弦定理A=2RsinA,B=2RsinB以及结论sin2A-sin2B =sin(A+B)sin(A-B), 由（A2+ B2）sin(A-B) = (A2- B2)sinC, ‎∴(sin2A+sin2B)sin(A-B) =(sin2A-sin2B)sinC=sin(A+B)·sin(A-B)·sinC. 若sin(A-B)= 0,则 A = B. 若sin(A-B)≠0,则sin2A+sin2B=sin2CA2+B2=C2. ‎∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.故答案选D. ‎2.在△ABC中,A=45°，B∶C = 4∶5，最大边长为10，求角B、C,外接圆半径及面积S. 分析：由A+B+C=180°及B∶C=4∶5,可得B=4K,C=5K， 则9K=135°，故K=15°.那么B=60°，C =75°. 由正弦定理, 由面积公式. 点评：求面积时B未知但可转化为B=2RsinB,从而解决问题. ‎3.在△ABC中,已知A=30°，A、B分别为角A、B对边，且A=4，B=4，解此三角形. 分析：由正弦定理知. 那么B1=60°，C1=90°，C1=8或B2=120°，C2=30°，C2=4. 点评：若已知三角形两边和其中一边上的对角，如图可以看出满足条件的三角形有2个. ‎4.已知△ABC的三个内角成等差数列并且tanA·tanC =2+,（1）求A、B、C的度数;（2）若AB边上的高CD=4,求三边A、B、C的长．‎ 分析：（1）由2B=A+C，得B=60°，则A+C=120°， ‎. ‎ 即(2+3)COsA·COsC-sinA·sinC=0 ‎ (1+)COsA·COsC+ (COsA·COsC-sinA·sinC)=0‎ ‎ (1+)·［COs(A+C)+COs(A-C)］+COs(A+C)=0 ‎［- +COs(A-C)］+COs(A+C)=0.∴COs(A-C)=. 得|A-C|=30°.又∵A+C=120°.∴A=45°,C=75°或A=75°,C=45°. ‎（2）如图,若A＜B＜C,由正弦定理得 A=8，B=4，C=BCOsA+ACOsB=4(+1). 同理，若A＞B＞C时，则A=4(3+1)，B=46,，C =8. ‎ ‎ 点评：这类具有一定综合性的题目，恒等变形有一定的技巧.由三个角成等差得A+C=120°,恒等变形的目标就是寻找A与C的关系，用恒等变形的方法的观点对条件等式进行转化． 此题还可以由tanA·tanC =2+求出tanA+tanC =3+，运用韦达定理解出tanA和tanC,这对综合能力的训练大有益处．