2020-2021学年高二数学上学期期中测试卷01（人教A版）（文） 10页

‎2020-2021学年高二数学上学期期中测试卷01（人教A版）（文）‎ ‎（本卷满分150分，考试时间120分钟）‎ 测试范围：人教A版 必修5全册+选修1-1第一章 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知命题：，使成立，则为( )。‎ A、，使成立 B、，使成立 C、，使成立 D、，使成立 ‎【答案】C ‎【解析】为前不否后否，但前有量词必须改量词，故选C。‎ ‎2．在等比数列中，若、是方程的两根，则的值是( )。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】B ‎【解析】解方程可得或，故、或、，‎ 故，故，又、、同号，，故，故选B。‎ ‎3．锐角中，则的取值范围是( )。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】D ‎【解析】若，则，由余弦定理可得，‎ 则，又，则，故选D。‎ ‎4．设全集，集合，集合，那么点的充要条件是( )。‎ A、， B、， C、， D、，‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意可知满足，则，，‎ ‎ 由题意可知不满足，则，，故选A。‎ ‎5．已知等差数列的通项公式为()，当且仅当时，数列的前项和 最大，则当时，( )。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意可知，，解得，又，则，∴，‎ ‎∴，∴，‎ 即，或(舍)，故选A。‎ ‎6．在中，内角、、所对的边分别为、、，已知，且，则面积的最大值为( )。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵，∴，∴，‎ 又，∴，，又，则，‎ ‎∴，当且仅当时等号成立，故选C。‎ ‎7．若关于的不等式()的解集为空集，则的最小值为( )。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】D ‎【解析】，，得，∴，‎ 令，则，∴，故选D。‎ ‎8．已知首项均为的等差数列与等比数列满足，，且的各项均不相等，设为数列的前项和，则的最大值与最小值之和为( )。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】A ‎【解析】设等差数列的公差为()，等比数列的公比为()，‎ 则得，∴，令，则，‎ ‎∵，∴随着的增大而增大，‎ 当为奇数时，，随着的增大而减小，，；‎ 当为偶数时，，随着的增大而增大，，，‎ ‎∴，，即的最大值为，最小值为，‎ ‎∴的最大值与最小值之和等于，故选A。‎ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.‎ ‎9．对于任意实数、、，下列命题是真命题的是( )。‎ A、“”是“”的充要条件，‎ B、“是无理数”是“是无理数”的充要条件，‎ C、“”是“”的充分条件，‎ D、“”是“”的必要条件，‎ ‎【答案】BD ‎【解析】当时，、不为时，推不出，∴A是假命题，‎ 当、时，推不出，∴C是假命题，‎ BD显然正确，故选BD。‎ ‎10．已知是等差数列的前项和，且，则下列命题正确的是( )。‎ A、‎ B、‎ C、数列中最大项为 D、‎ ‎【答案】AD ‎【解析】∵等差数列中，且，则一定为的前项和的最大项，∴，，‎ ‎∵，∴，，，∴，，‎ A选项，，对，‎ B选项，，错，‎ C选项，数列中最大项为，错，‎ D选项，对，‎ 故选AD。‎ ‎11．已知的三个内角、、所对的边分别为、、，若、，且 ‎，则( )。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】AD ‎【解析】 ‎ ‎∴，又∵，∴，则，∴，‎ 简化得：，解得或，故选AD。‎ ‎12．等比数列中，，公比，前项和为，下列结论错误的是( )。‎ A、， B、，‎ C、， D、，‎ ‎【答案】ABD ‎【解析】，，‎ A选项，，，‎ 若，则，无解，错，‎ B选项，，，‎ 构造函数，易知在上单调递增，‎ 当时，，∴上不能保证恒成立，错，‎ C选项，恒成立，即恒成立，对，‎ D选项，，，‎ 若，则，显然不成立，错，‎ 故选ABD。‎ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是 。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】若命题“，”是假命题，则命题“，”是真命题，‎ 当时，有，可取，‎ 当时，则有且，解得，‎ 综上，实数的取值范围是。‎ ‎14．若数列，的通项公式分别是，，且恒成立，则实数的取值范围是 。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】当()时由恒成立得恒成立，∴，‎ 当()时由恒成立得恒成立，‎ ‎∴，又不能等于，，‎ 综上，，填。‎ ‎15．某观测站在城的南偏西的方向，由城出发的一条公路，走向是南偏东，在处测得公路上处有一个人，距为千米，正沿公路向城走去，走了千米后到达处，此时间的距离为千米，则这人达到城还要走 千米。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∴令，，在中，‎ 由余弦定理得，‎ ‎∴，‎ 又，‎ 在中，，∴(千米)，‎ ‎∴这人还要再走千米才能到达城。‎ ‎16．设数列满足，，且满足，若表示不超过的最大整数，则 。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】构造，则，由题意可得：，‎ 故数列是为首项，为公差的等差数列，∴，‎ ‎∴，，，…，，‎ 以上个式子相加可得，‎ 解得，∴，‎ 则 ‎，‎ 则。‎ 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 设等差数列公差为，前项和为，等比数列公比为，已知，，，。‎ ‎(1)求数列、的通项公式；‎ ‎(2)当时，记，求数列的前项和。‎ ‎【解析】(1)由题意有，即，解得或， 2分 ‎ 故或； 4分 ‎(2)由，知，，故， 5分 于是，① 6分 ‎ ，② 7分 ‎①-②可得， 9分 故。 10分 ‎18．（本小题满分12分）‎ 已知数列满足，。‎ ‎(1)求的通项公式；‎ ‎(2)若，求的前项和。‎ ‎【解析】(1)由两边同时除以得，∴， 2分 ‎∴数列是首项为，公差为的等差数列，∴，4分 ‎∴； 5分 ‎(2)由题意得， 7分 ‎ 8分 ‎ 9分 ‎ 10分 ‎。 12分 ‎19．（本小题满分12分）‎ 在中，，是的平分线，点在线段上，且。‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)若，求的面积。‎ ‎【解析】(1)在中，由正弦定理得：，即， 1分 在中，由正弦定理得：， 2分 则，即，‎ ‎∴，即， 4分 又，∴； 5分 ‎ (2)由(1)知，又，∴是锐角，∴， 6分 ‎∴，‎ ‎， 8分 在中，由正弦定理可得，‎ ‎∴， 10分 ‎∴。 12分 ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知正项数列的前项和为，且()，。‎ ‎(1)证明数列是等差数列，并求其前项和。‎ ‎(2)若，试求数列的前项和。‎ ‎【解析】(1)当时，由得：‎ ‎， 1分 ‎ ∴， 2分 ‎∴， 3分 ‎∵数列是正项数列，∴，∴， 4分 ‎∴数列是等差数列，首项为，公差为，∴， 5分 ‎∴； 6分 ‎(2)由(1)知，， 8分 ‎ ∴ 9分 ‎ 。 12分 ‎21．（本小题满分12分）‎ ‎(1)求角的大小；‎ ‎(2)如图，设为内一点，，，且，求的最大值。‎ ‎【解析】(1)在中，，∵，‎ ‎∴由正弦定理得：， 2分 ‎∴，‎ ‎∴，‎ 即， 4分 又，，∴，又，∴； 5分 ‎(2)由(1)与得， 6分 由余弦定理得：，8分 又 ‎， 10分 ‎∴，(当且仅当时取等号)，‎ ‎∴的最大值为。 12分 ‎22．（本小题满分12分）‎ 已知数列满足，。‎ ‎(1)试确定的值，使得为等差数列；‎ ‎(2)若，求数列的前项和。‎ ‎【解析】(1)由，可得，， 1分 ‎ 若数列为等差数列，则， 2分 即，解得， 3分 此时，，，‎ ‎∴， 4分 ‎∴，‎ 故当时，数列为等差数列； 5分 ‎ (2)当时，由，可得：‎ ‎ 当为偶数时， 6分 ‎ ‎ ‎， 8分 当为奇数时， 9分 ‎， 11分 ‎ 综上，。 12分