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  • 2021-06-19 发布

高考数学专题复习练习第7讲 离散型随机变量的均值与方差

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第 7 讲 离散型随机变量的均值与方差 一、选择题 1.某班有1 4 的学生数学成绩优秀,如果从班中随机地找出 5 名同学,那么其中数 学成绩优秀的学生数 X~B 5,1 4 ,则 E(2X+1)等于( ) A.5 4 B.5 2 C.3 D.7 2 解析 因为 X~B 5,1 4 ,所以 E(X)=5 4 ,所以 E(2X+1)=2E(X)+1=2×5 4 +1 =7 2. 答案 D 2.某种种子每粒发芽的概率都为 0.9,现播种了 1 000 粒,对于没有发芽的种 子,每粒需要再补种 2 粒,补种的种子数记为 X,则 X 的数学期望为( ). A.100 B.200 C.300 D.400 解析 种子发芽率为 0.9,不发芽率为 0.1,每粒种子发芽与否相互独立,故 设没有发芽的种子数为ξ,则ξ~B(1 000,0.1),∴E(ξ)=1 000×0.1=100, 故需补种的期望为 E(X)=2·E(ξ)=200. 答案 B 3.若 p 为非负实数,随机变量ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P 1 2 -p p 1 2 则 E(ξ)的最大值为 ( ). A.1 B.3 2 C.2 3 D.2 解析 由 p≥0,1 2 -p≥0,则 0≤p≤1 2 ,E(ξ)=p+1≤3 2. 答案 B 4.已知随机变量 X+η=8,若 X~B(10,0.6),则 E(η),D(η)分别是( ). A.6 和 2.4 B.2 和 2.4 C.2 和 5.6 D.6 和 5.6 解析 由已知随机变量 X+η=8,所以有η=8-X.因此,求得 E(η)=8-E(X) =8-10×0.6=2,D(η)=(-1)2D(X)=10×0.6×0.4=2.4. 答案 B 5.一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a,得 2 分的概率为 b,不得分的概 率为 c(a、b、c∈(0,1)),已知他投篮一次得分的均值为 2,则2 a + 1 3b 的最小值 为 ( ). A.32 3 B.28 3 C.14 3 D.16 3 解析 由已知得,3a+2b+0×c=2, 即 3a+2b=2,其中 0D(ξ2) B.D(ξ1)=D(ξ2) C.D(ξ1)D(ξ2). 答案 A 二、填空题 7.某射手射击所得环数ξ的分布列如下: ξ 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 已知ξ的期望 E(ξ)=8.9,则 y 的值为________. 解析 x+0.1+0.3+y=1,即 x+y=0.6. ① 又 7x+0.8+2.7+10y=8.9,化简得 7x+10y=5.4. ② 由①②联立解得 x=0.2,y=0.4. 答案 0.4 8.马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表: ξ 1 2 3 P ? ! ? 请小牛同学计算ξ的数学期望.尽管“!”处完全无法看清,且两个“?” 处字迹模糊,但能断定这两个“?”处的数值相同.据此,小牛给出了正确 答案 E(ξ)=________. 解析 令“?”为 a,“!”为 b,则 2a+b=1.又 E(ξ)=a+2b+3a=2(2a +b)=2. 答案 2 9.袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个,每次摸取一个球记下颜色后放回, 现连续取球 8 次,记取出红球的次数为 X,则 X 的方差 D(X)=________. 解析 每次取球时,红球被取出的概率为1 2 ,8 次取球看做 8 次独立重复试验, 红球出现的次数 X~B 1 2 ,8 ,故 D(X)=8×1 2 ×1 2 =2. 答案 2 10.罐中有 6 个红球,4 个白球,从中任取 1 球,记住颜色后再放回,连续摸取 4 次,设ξ为取得红球的次数,则ξ的期望 E(ξ)=________. 解析 因为是有放回地摸球,所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率均 为3 5 ,连续摸 4 次(做 4 次试验),ξ为取得红球(成功)的次数,则ξ~B 4,3 5 , 从而有 E(ξ)=np=4×3 5 =12 5 . 答案 12 5 三、解答题 11.袋中有 20 个大小相同的球,其中记上 0 号的有 10 个,记上 n 号的有 n 个(n =1,2,3,4).现从袋中任取一球,X 表示所取球的标号. (1)求 X 的分布列、期望和方差; (2)若η=aX+b,E(η)=1,D(η)=11,试求 a,b 的值. 解 (1)X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 1 2 1 20 1 10 3 20 1 5 ∴E(X)=0×1 2 +1× 1 20 +2× 1 10 +3× 3 20 +4×1 5 =1.5. D(X)=(0-1.5)2×1 2 +(1-1.5)2× 1 20 +(2-1.5)2× 1 10 +(3-1.5)2× 3 20 +(4- 1.5)2×1 5 =2.75. (2)由 D(η)=a2D(X),得 a2×2.75=11,即 a=±2. 又 E(η)=aE(X)+b, 所以当 a=2 时,由 1=2×1.5+b,得 b=-2. 当 a=-2 时,由 1=-2×1.5+b,得 b=4. ∴ a=2, b=-2 或 a=-2, b=4, 即为所求. 12.甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为1 2 ,a,a(0