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- 2021-06-19 发布
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第 7 讲 离散型随机变量的均值与方差
一、选择题
1.某班有1
4
的学生数学成绩优秀,如果从班中随机地找出 5 名同学,那么其中数
学成绩优秀的学生数 X~B
5,1
4 ,则 E(2X+1)等于( )
A.5
4 B.5
2
C.3 D.7
2
解析 因为 X~B
5,1
4 ,所以 E(X)=5
4
,所以 E(2X+1)=2E(X)+1=2×5
4
+1
=7
2.
答案 D
2.某种种子每粒发芽的概率都为 0.9,现播种了 1 000 粒,对于没有发芽的种
子,每粒需要再补种 2 粒,补种的种子数记为 X,则 X 的数学期望为( ).
A.100 B.200 C.300 D.400
解析 种子发芽率为 0.9,不发芽率为 0.1,每粒种子发芽与否相互独立,故
设没有发芽的种子数为ξ,则ξ~B(1 000,0.1),∴E(ξ)=1 000×0.1=100,
故需补种的期望为 E(X)=2·E(ξ)=200.
答案 B
3.若 p 为非负实数,随机变量ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P 1
2
-p p 1
2
则 E(ξ)的最大值为 ( ).
A.1 B.3
2 C.2
3 D.2
解析 由 p≥0,1
2
-p≥0,则 0≤p≤1
2
,E(ξ)=p+1≤3
2.
答案 B
4.已知随机变量 X+η=8,若 X~B(10,0.6),则 E(η),D(η)分别是( ).
A.6 和 2.4 B.2 和 2.4 C.2 和 5.6 D.6 和 5.6
解析 由已知随机变量 X+η=8,所以有η=8-X.因此,求得 E(η)=8-E(X)
=8-10×0.6=2,D(η)=(-1)2D(X)=10×0.6×0.4=2.4.
答案 B
5.一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a,得 2 分的概率为 b,不得分的概
率为 c(a、b、c∈(0,1)),已知他投篮一次得分的均值为 2,则2
a
+ 1
3b
的最小值
为 ( ).
A.32
3 B.28
3 C.14
3 D.16
3
解析 由已知得,3a+2b+0×c=2,
即 3a+2b=2,其中 0D(ξ2)
B.D(ξ1)=D(ξ2)
C.D(ξ1)D(ξ2).
答案 A
二、填空题
7.某射手射击所得环数ξ的分布列如下:
ξ 7 8 9 10
P x 0.1 0.3 y
已知ξ的期望 E(ξ)=8.9,则 y 的值为________.
解析 x+0.1+0.3+y=1,即 x+y=0.6. ①
又 7x+0.8+2.7+10y=8.9,化简得 7x+10y=5.4. ②
由①②联立解得 x=0.2,y=0.4.
答案 0.4
8.马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表:
ξ 1 2 3
P ? ! ?
请小牛同学计算ξ的数学期望.尽管“!”处完全无法看清,且两个“?”
处字迹模糊,但能断定这两个“?”处的数值相同.据此,小牛给出了正确
答案 E(ξ)=________.
解析 令“?”为 a,“!”为 b,则 2a+b=1.又 E(ξ)=a+2b+3a=2(2a
+b)=2.
答案 2
9.袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个,每次摸取一个球记下颜色后放回,
现连续取球 8 次,记取出红球的次数为 X,则 X 的方差 D(X)=________.
解析 每次取球时,红球被取出的概率为1
2
,8 次取球看做 8 次独立重复试验,
红球出现的次数 X~B
1
2
,8
,故 D(X)=8×1
2
×1
2
=2.
答案 2
10.罐中有 6 个红球,4 个白球,从中任取 1 球,记住颜色后再放回,连续摸取
4 次,设ξ为取得红球的次数,则ξ的期望 E(ξ)=________.
解析 因为是有放回地摸球,所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率均
为3
5
,连续摸 4 次(做 4 次试验),ξ为取得红球(成功)的次数,则ξ~B
4,3
5 ,
从而有 E(ξ)=np=4×3
5
=12
5
.
答案 12
5
三、解答题
11.袋中有 20 个大小相同的球,其中记上 0 号的有 10 个,记上 n 号的有 n 个(n
=1,2,3,4).现从袋中任取一球,X 表示所取球的标号.
(1)求 X 的分布列、期望和方差;
(2)若η=aX+b,E(η)=1,D(η)=11,试求 a,b 的值.
解 (1)X 的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 1
2
1
20
1
10
3
20
1
5
∴E(X)=0×1
2
+1× 1
20
+2× 1
10
+3× 3
20
+4×1
5
=1.5.
D(X)=(0-1.5)2×1
2
+(1-1.5)2× 1
20
+(2-1.5)2× 1
10
+(3-1.5)2× 3
20
+(4-
1.5)2×1
5
=2.75.
(2)由 D(η)=a2D(X),得 a2×2.75=11,即 a=±2.
又 E(η)=aE(X)+b,
所以当 a=2 时,由 1=2×1.5+b,得 b=-2.
当 a=-2 时,由 1=-2×1.5+b,得 b=4.
∴ a=2,
b=-2
或 a=-2,
b=4,
即为所求.
12.甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为1
2
,a,a(0
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