高考数学复习练习试题12_3合情推理与演绎推理 4页

‎ §12.3　合情推理与演绎推理 一、填空题(本大题共8小题，每小题7分，共56分)‎ ‎1．(2010·山东)观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝________.‎ ‎2．古希腊人常用小石头在沙滩上摆成各种形状来研究数，比如：‎ 他们研究过图(1)中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图(2)中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数．‎ 下列数中既是三角形数又是正方形数的是______．‎ ‎3．定义A*B，B*C，C*D，D*A的运算分别对应图中的(1)(2)(3)(4)，那么下图中(A)(B)所对应的运算结果可能是_____________．‎ ‎4.给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：‎ ‎①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＝0⇒a＝b”；‎ ‎②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则a＋b＝c＋d⇒a＝c，b＝d”；‎ ‎③若“a，b∈R，则a－b>0⇒a>b”类比推出“若a，b∈C，则a－b>0⇒a>b”．其中类比结论正确的个数是________．‎ ‎5．(2010·浙江)在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，‎ 第1列 第2列 第3列 ‎…‎ 第1行 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎…‎ 第2行 ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎…‎ 第3行 ‎3‎ ‎6‎ ‎9‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ 那么位于表中的第n行第n＋1列的数是______．‎ ‎6．(2010·台州一模)观察下列等式： ‎ ‎(1＋x＋x2)1＝1＋x＋x2，‎ ‎(1＋x＋x2)2＝1＋2x＋3x2＋2x3＋x4，‎ ‎(1＋x＋x2)3＝1＋3x＋6x2＋7x3＋6x4＋3x5＋x6，‎ ‎(1＋x＋x2)4＝1＋4x＋10x2＋16x3＋19x4＋16x5＋10x6＋4x7＋x8，‎ ‎……‎ 由以上等式推测：对于n∈N*，若(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则a2＝__________.‎ ‎7．(2010·福建)观察下列等式：‎ ‎①cos 2α＝2cos2α－1；‎ ‎②cos 4α＝8cos4α－8cos2α＋1；‎ ‎③cos 6α＝32cos6α－48cos4α＋18cos2α－1；‎ ‎④cos 8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1；‎ ‎⑤cos 10α＝mcos10α－1 280cos8α＋1 120cos6α＋ncos4α＋pcos2α－1.‎ 可以推测，m－n＋p＝________.‎ ‎8．现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为.类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________．‎ 二、解答题(本大题共3小题，共44分)‎ ‎9．(14分)已知：sin230°＋sin290°＋sin2150°＝，‎ sin25°＋sin265°＋sin2125°＝.‎ 通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出证明．‎ ‎10．(14分)用三段论的形式写出下列演绎推理．‎ ‎(1)若两角是对顶角，则两角相等，所以若两角不相等，则两角不是对顶角；‎ ‎(2)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以，正方形的对角线相等；‎ ‎(3)0.是有理数；‎ ‎(4)y＝sin x(x∈R)是周期函数．‎ ‎11．(16分)观察下表：‎ ‎1‎ ‎2,3‎ ‎4,5,6,7‎ ‎8,9,10,11,12,13,14,15‎ ‎……‎ 问：(1)此表第n行的最后一个数是多少？‎ ‎(2)此表第n行的各个数之和是多少？‎ ‎(3)2 010是第几行的第几个数？‎ 答案 ‎1．－g(x) 2．1 225 3．B*D，A*C 4．2 5．n2＋n 6. 7．962 8.9．解　一般性的命题为sin2(α－60°)＋sin2α＋sin2(α＋60°)＝.‎ ‎ 证明如下：‎ ‎ 左边＝＋＋ ‎ ＝－[cos(2α－120°)＋cos 2α＋cos(2α＋120°)]‎ ‎ ＝－(－cos 2α＋sin 2α＋cos 2α－cos 2α－sin 2α)＝＝右边 ‎ ．∴结论正确．‎ ‎10．解　(1)若两个角是对顶角，则两角相等，(大前提)‎ ‎ ∠1和∠2不相等，(小前提)‎ ‎ 所以∠1和∠2不是对顶角．(结论)‎ ‎ (2)每一个矩形的对角线相等，(大前提)‎ ‎ 正方形是矩形，(小前提)‎ ‎ 所以正方形的对角线相等．(结论)‎ ‎ (3)所有的循环小数是有理数，(大前提)‎ ‎ 0.是循环小数，(小前提)‎ ‎ 所以0.是有理数．(结论)‎ ‎ (4)三角函数是周期函数，(大前提)‎ ‎ y＝sin x是三角函数，(小前提)‎ ‎ 所以y＝sin x是周期函数．(结论)‎ ‎11．解　(1)∵第n＋1行的第一个数是2n，‎ ‎ ∴第n行的最后一个数是2n－1.‎ ‎ (2)2n－1＋(2n－1＋1)＋(2n－1＋2)＋…＋(2n－1)‎ ‎＝＝3×22n－3－2n－2为所求．‎ ‎ (3)∵210＝1 024,211＝2 048,1 024<2 010<2 048，‎ ‎ ∴2 010在第11行，该行第1个数是210＝1 024.‎ ‎ 由2 010－1 024＋1＝987，知2 010是第11行的第987个数．‎