【数学】2020届一轮复习北师大版 参数方程 作业 8页

‎1.参数方程x=t-1,‎y=t+2‎(t为参数)的曲线与坐标轴的交点坐标为(　　)‎ ‎　 　　　　　　 　　　　　　 　　　‎ A.(1,0),(0,-2) B.(0,1),(-1,0)‎ C.(0,-1),(1,0) D.(0,3),(-3,0)‎ 解析:当x=t-1=0时,t=1,y=t+2=3;当y=t+2=0时,t=-2,x=t-1=-3.曲线与坐标轴的交点坐标为(0,3),(-3,0).‎ 答案:D ‎2.下列各点在方程x=sinθ,‎y=cos2θ(θ为参数)所表示的曲线上的是(　　)‎ A.(2,-7) B.‎‎1‎‎3‎‎,‎‎2‎‎3‎ C.‎1‎‎2‎‎,‎‎1‎‎2‎ D.(1,0)‎ 解析:由题意得x=sin θ∈[-1,1],y=cos 2θ∈[-1,1],故排除A.‎ 由y=cos 2θ=1-2sin2θ=1-2x2,验证知C项正确.‎ 答案:C ‎3.若t>0,则下列参数方程的曲线不过第二象限的是(　　)‎ A.x=-t,‎y=t B.‎x=1,‎y=t C.x=t-1,‎y=t‎2‎-1‎ D.‎x=1-‎1‎t,‎y=t 解析:由x=1,‎y=t(t>0),得该参数方程表示射线,且只在第一象限内,其余方程的曲线都过第二象限.‎ 答案:B ‎4.已知点O为原点,当θ=-π‎6‎时,参数方程x=3cosθ,‎y=9sinθ(θ为参数)上的点为A,则直线OA的倾斜角为(　　)‎ A.π‎6‎ B.‎π‎3‎ C.‎2π‎3‎ D.‎‎5π‎6‎ 解析:当θ=-π‎6‎时,参数方程x=3cosθ,‎y=9sinθ(θ为参数)上的点A的坐标为‎3‎‎3‎‎2‎‎,-‎‎9‎‎2‎,‎ kOA=tan α=yx=-‎3‎,0≤α<π,‎ 故直线OA的倾斜角α=‎2π‎3‎.‎ 答案:C ‎5.在方程x=sin2θ,‎y=sinθ+cosθ(θ为参数)所表示的曲线上的一点的坐标是(　　)‎ A.(1,‎3‎) B.(2,‎3‎)‎ C.‎1‎‎2‎‎,-2‎ D.‎‎-‎3‎‎4‎,‎‎1‎‎2‎ 解析:由题意知x=sin 2θ∈[-1,1],‎ y=sin θ+cos θ=‎2‎sinθ+‎π‎4‎∈[-‎2‎‎,‎‎2‎ ],故排除A,B,C.‎ 令y=sin θ+cos θ=‎1‎‎2‎,‎ 两边平方得1+2sin θcos θ=‎1‎‎4‎,‎ 故x=sin 2θ=-‎3‎‎4‎.‎ 答案:D ‎6.若点(-3,-3‎3‎)在参数方程x=6cosθ,‎y=6sinθ(θ为参数)的曲线上,则θ=　　　　　. ‎ 解析:将点(-3,-3‎3‎)的坐标代入参数方程x=6cosθ,‎y=6sinθ(θ为参数),‎ 得cosθ=-‎1‎‎2‎,‎sinθ=-‎3‎‎2‎,‎ 解得θ=‎4π‎3‎+2kπ,k∈Z.‎ 答案:‎4π‎3‎+2kπ,k∈Z ‎7.已知曲线C的参数方程为x=t+1,‎y=t‎2‎-4‎(t为参数),判断点A(3,0),B(-2,2)是否在曲线C上?若在曲线上,求出点A,B对应的参数的值.‎ 解将点A(3,0)的坐标代入x=t+1,‎y=t‎2‎-4,‎ 得t+1=3,‎t‎2‎‎-4=0,‎解得t=2,‎ 所以点A(3,0)在曲线C上,对应参数t=2.‎ 将点B(-2,2)的坐标代入x=t+1,‎y=t‎2‎-4,‎ 得t+1=-2,‎t‎2‎‎-4=2,‎即t=-3,‎t‎2‎‎=6,‎ 此方程组无解,所以点B(-2,2)不在曲线C上.‎ ‎8.已知曲线C的参数方程为x=2cosθ,‎y=3sinθ(θ为参数,0≤θ<2π),判断点A(2,0),B‎-‎3‎,‎‎3‎‎2‎是否在曲线C上?若在曲线上,求出点A,B对应的参数的值.‎ 解将点A(2,0)的坐标代入x=2cosθ,‎y=3sinθ,‎得cosθ=1,‎sinθ=0,‎ 因为0≤θ<2π,所以θ=0,‎ 所以点A(2,0)在曲线C上,对应θ=0.‎ 将点B‎-‎3‎,‎‎3‎‎2‎的坐标代入x=2cosθ,‎y=3sinθ,‎ 得‎-‎3‎=2cosθ,‎‎3‎‎2‎‎=3sinθ,‎即cosθ=‎-‎‎3‎‎2‎,‎sinθ=‎1‎‎2‎.‎ 因为0≤θ<2π,所以θ=‎5π‎6‎,‎ 所以点B‎-‎3‎,‎‎3‎‎2‎在曲线C上,对应θ=‎5π‎6‎.‎ ‎9.经过原点作圆x2-2ax+y2=0(a>0)的弦,求这些弦的中点的轨迹的参数方程.‎ 解如图,设OQ是经过原点的任意一条弦,OQ的中点是M(x,y),设弦OQ和x轴的夹角为θ,取θ作为参数,已知圆的圆心是O'(a,0),连接O'M,则O'M⊥OQ,过点M作MM'⊥OO',则|OM|=acos θ.‎ 所以x=|OM'|=|OM|cosθ=acos‎2‎θ,‎y=|MM'|=|OM|sinθ=acosθsinθ‎ ‎θ为参数,-π‎2‎<θ<π‎2‎‎ ‎.‎ 这就是所求轨迹的参数方程.‎ ‎10.导学号73144022求椭圆x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=1中斜率是m的平行弦的中点的轨迹的参数方程.‎ 解如图,设P1P2是斜率为m的平行弦中的任意一条弦,它所在直线的方程是y=mx+k,这里k是参数,把上式代入椭圆方程,得b2x2+a2(mx+k)2=a2b2,‎ 整理得,(a2m2+b2)x2+2a2mkx+a2k2-a2b2=0,①‎ 这个方程的两个根就是P1和P2的横坐标x1和x2,设P1P2的中点是点P'(x',y'),则x'=x‎1‎‎+‎x‎2‎‎2‎.‎ ‎∵由①得x1+x2=‎-2a‎2‎mka‎2‎m‎2‎‎+‎b‎2‎,‎ ‎∴x'=-a‎2‎mka‎2‎m‎2‎‎+‎b‎2‎.②‎ ‎∵点P'在P1P2上,∴y'=mx'+k,‎ 即y'=b‎2‎ka‎2‎m‎2‎‎+‎b‎2‎.③‎ 方程②③是用参数k表示所求轨迹上任意一点P'的坐标x'和y',把(x',y')换成(x,y),就得到所求轨迹的参数方程:x=-a‎2‎mka‎2‎m‎2‎‎+‎b‎2‎,‎y=‎b‎2‎ka‎2‎m‎2‎‎+‎b‎2‎(k为参数).‎ B组 ‎1.参数方程x=2cosθ,‎y=2sinθ(θ为参数)表示的曲线是(　　)‎ A.直线 B.圆 C.椭圆 D.双曲线 解析:∵x=2cosθ,‎y=2sinθ,‎∴x2+y2=4cos2θ+4sin2θ=4.‎ 故表示的曲线是圆.‎ 答案:B ‎2.在参数方程x=‎2‎sin2θ,‎y=tanθ-‎‎1‎tanθ(θ为参数)所表示的曲线上的点是(　　)‎ A.‎4,‎‎2‎‎3‎‎3‎ B.‎‎2‎‎3‎‎3‎‎,4‎ C.‎2‎‎3‎‎3‎‎,‎‎4‎‎3‎‎3‎ D.‎‎4‎‎3‎‎3‎‎,‎‎2‎‎3‎‎3‎ 答案:D ‎3.动点M做匀速直线运动,它在x轴和y轴方向的分速度分别为3 m/s和4 m/s,直角坐标系的长度单位是1 m,点M的起始位置在点M0(2,1)处,则点M的轨迹的参数方程是(　　)‎ A.x=3t,‎y=4t(t为参数,t≥0)‎ B.x=2+3t,‎y=1+4t(t为参数,t≥0)‎ C.x=2t,‎y=t(t为参数,t≥0)‎ D.x=3+2t,‎y=4+t(t为参数,t≥0)‎ 解析:设在时刻t时,点M的坐标为M(x,y),则x=2+3t,‎y=1+4t(t为参数,t≥0).‎ 答案:B ‎4.导学号73144023若点E(x,y)在曲线x=1+5cosθ,‎y=2+5sinθ(θ为参数)上,则x2+y2的最大值与最小值分别为　　　　　　　　　　. ‎ 解析:x2+y2=(1+5cos θ)2+(2+5sin θ)2=30+(10cos θ+20sin θ)=30+10‎5‎sin(θ+α),其中tan α=‎1‎‎2‎,α为锐角,故x2+y2的最大值与最小值分别为30+10‎5‎,30-10‎5‎.‎ 答案:30+10‎5‎,30-10‎‎5‎ ‎5.设飞机以匀速v=150 m/s做水平飞行,若在飞行高度h=588 m处投弹(设炸弹的初速度等于飞机的速度).‎ ‎(1)求炸弹离开飞机后的轨迹方程.‎ ‎(2)试问飞机在离目标多远(水平距离)处投弹才能命中目标?‎ 分析这是物理学中的平抛运动,选择合适的参变量将炸弹(看作质点)的水平方向和竖直方向的运动表示出来.‎ 解(1)如图,A为投弹点,坐标为(0,588),B为目标,坐标为(x0,0).‎ 记炸弹飞行的时间为t,在A点t=0.‎ 设M(x,y)为飞行曲线上的任一点,它对应时刻t,炸弹初速度v0=150 m/s,用物理学知识,分别计算水平、竖直方向上的路程,得x=v‎0‎t,‎y=588-‎1‎‎2‎gt‎2‎(g=9.8m/s‎2‎),‎ 即x=150t,‎y=588-4.9t‎2‎.‎ 这是炸弹飞行曲线的参数方程.‎ ‎(2)炸弹飞行到地面目标B处的时间t0满足方程y=0,即588-4.9t2=0,解得t0=2‎30‎.‎ 由此得x0=150×2‎30‎=300‎30‎≈1 643(m).‎ 即飞机在离目标1 643 m(水平距离)处投弹才能击中目标.‎ ‎6.已知动点P,Q都在曲线C:x=2cost,‎y=2sint(t为参数)上,对应参数分别为t=α与t=2α(0<α<2π),点M为PQ的中点.‎ ‎(1)求点M的轨迹的参数方程;‎ ‎(2)将点M到坐标原点的距离d表示为α的函数,并判断点M的轨迹是否过坐标原点.‎ 解(1)依题意有P(2cos α,2sin α),Q(2cos 2α,2sin 2α),‎ 因此M(cos α+cos 2α,sin α+sin 2α).‎ M的轨迹的参数方程为x=cosα+cos2α,‎y=sinα+sin2α(α为参数,0<α<2π).‎ ‎(2)点M到坐标原点的距离 d=x‎2‎‎+‎y‎2‎‎=‎‎2+2cosα(0<α<2π).‎ 当α=π时,d=0,故点M的轨迹过坐标原点.‎ ‎7.边长为a的等边三角形ABC的两个端点A,B分别在x轴、y轴两正半轴上移动,顶点C和原点O分别在AB两侧,记∠CAx=α,求顶点C的轨迹的参数方程.‎ 解如图,过点C作CD⊥x轴于点D,设点C的坐标为(x,y).‎ 则由x=OA+AD,‎y=DC,‎ 得x=acos‎2π‎3‎‎-α+acosα,‎y=asinα(α为参数),即为顶点C的轨迹方程.‎