高考数学专题复习练习：5-1 专项基础训练 6页

‎ A组　专项基础训练 ‎(时间：35分钟)‎ ‎1．设O是正方形ABCD的中心，则向量，，，是(　　)‎ A．相等的向量　　　　　　　　B．平行的向量 C．有相同起点的向量 D．模相等的向量 ‎【解析】 这四个向量的模相等．‎ ‎【答案】 D ‎2．(2017·广西南宁质检)已知a，b是两个单位向量，下列命题中错误的是(　　)‎ A．|a|＝|b|＝1‎ B．a·b＝1‎ C．当a，b反向时，a＋b＝0‎ D．当a，b同向时，a＝b ‎【解析】 a，b是两个单位向量，即模为1的向量，对于A，|a|＝|b|＝1，正确；对于B，a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉＝cos〈a，b〉，错误；对于C，当a，b反向时，a＋b＝0，正确；对于D，当a，b同向时，a＝b，正确．故选B.‎ ‎【答案】 B ‎3．(2015·深圳调研)在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝3DC，E为BC的中点，则等于(　　)‎ A.＋ B.＋ C.＋ D.＋ ‎【解析】 ＝＋＋＝－＋，‎ ＝＋＝＋＝＋＝＋.‎ ‎【答案】 A ‎4．(2017·湖北黄冈调研)已知向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，a⊥b，(a－b)⊥c，M＝＋＋，则M＝(　　)‎ A．3 B．3 C．2＋ D．1＋ ‎【解析】 根据条件，作＝a，＝b，⊥.以OA，OB为邻边作矩形OACB，则＝－c，如图所示，则＝－＝a－b，∵(a－b)⊥c，＝－c，‎ ‎∴⊥，即BA⊥OC，‎ ‎∴矩形OACB为正方形，设其边长为1，则|a|＝1，|b|＝1，|c|＝，∴M＝＋＋＝1＋＋＝1＋.‎ ‎【答案】 D ‎5．(2017·河南登封调研)设a，b是两个非零的平面向量，给出下列说法：‎ ‎①若a·b＝0，则有|a＋b|＝|a－b|；②|a·b|＝|a||b|；③若存在实数λ，使a＝λb，则|a＋b|＝|a|＋|b|；④若|a＋b|＝|a|＋|b|，则存在实数λ，使得a＝λb.其中正确说法的个数是(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ ‎【解析】 ①若a·b＝0，则有|a＋b|＝|a－b|＝，正确；②因为|a·b|＝|a||b||cos〈a，b〉|≤|a||b|，所以不正确．③若存在实数λ，使a＝λb，则|a＋b|＝|λb＋b|＝|λ＋1||b|，|a|＋|b|＝|λb|＋|b|＝(|λ|＋1)|b|，当λ＜0时，|a＋b|≠|a|＋|b|，所以不正确；④因为|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a与b同向时，|a＋b|＝|a|＋|b|，所以存在实数λ，使得a＝λb，正确．所以正确说法的个数是2.故选B.‎ ‎【答案】 B ‎6．(2017·浙江杭州模拟)在梯形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，点P为梯形所在平面内一点，满足：＋＋＋＝＋，若△ABC的面积为1，则△PCD的面积为________．‎ ‎【解析】 由＋＋＋＝＋＝－＋－，得＋＝0，所以P点是AC的中点，所以h△PCD＝h△ABC.因为AB＝CD，AB∥CD，所以S△PCD＝S△ABC＝1.‎ ‎【答案】 1‎ ‎7．(2016·包头模拟)如图，在△ABC中，AH⊥BC交BC于H，M为AH的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________．‎ ‎【解析】 ∵＝(＋)＝[＋x(－)]＝[(1＋x)－x]，又∵＝λ＋μ，∴1＋x＝2λ，2μ＝－x，∴λ＋μ＝.‎ ‎【答案】 ‎8．(2017·天水模拟)△ABC所在的平面内有一点P，满足＋＋＝，则△PBC与△ABC的面积之比是________．‎ ‎【解析】 因为＋＋＝，所以＋＋＝－，所以＝－2＝2，即P是AC边的一个三等分点，且PC＝AC，由三角形的面积公式可知，＝＝.‎ ‎【答案】 ‎9．在△ABC中，D、E分别为BC、AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设＝a，＝b，试用a，b表示，.‎ ‎【解析】 ＝(＋)＝a＋b.‎ ＝＋＝＋＝＋(＋)‎ ‎＝＋(－)‎ ‎＝＋ ‎＝a＋b.‎ ‎10．设两个非零向量e1和e2不共线．‎ ‎(1)如果＝e1－e2，＝3e1＋2e2，＝－8e1－2e2，求证：A、C、D三点共线；‎ ‎(2)如果＝e1＋e2，＝2e1－3e2，＝2e1－ke2，且A、C、D三点共线，求k的值．‎ ‎【解析】 (1)证明 ∵＝e1－e2，＝3e1＋2e2，‎ ＝－8e1－2e2，‎ ‎∴＝＋＝4e1＋e2‎ ‎＝－(－8e1－2e2)＝－，‎ ‎∴与共线．‎ 又∵与有公共点C，∴A、C、D三点共线．‎ ‎(2)＝＋＝(e1＋e2)＋(2e1－3e2)＝3e1－2e2，‎ ‎∵A、C、D三点共线，‎ ‎∴与共线，从而存在实数λ使得＝λ，‎ 即3e1－2e2＝λ(2e1－ke2)，‎ 得解得λ＝，k＝.‎ B组　专项能力提升 ‎(时间：15分钟)‎ ‎11．(2017·四川泸州检测)已知D为△ABC的边BC的中点，△ABC所在平面内有一个点P，满足＝＋，则的值为(　　)‎ A．1 B. C. D．2‎ ‎【解析】 因为＝＋，所以PA必为以PB，PC为邻边的平行四边形的对角线．因为D 为边BC的中点，所以D为PA的中点，所以的值为1.故选A.‎ ‎【答案】 A ‎12．(2017·宁夏银川九中模拟)设点M是线段BC上的点，点A在直线BC外，2＝16，|＋|＝|－|，＋＝2，则||＝(　　)‎ A．2 B．4‎ C．6 D．8‎ ‎【解析】 由|＋|＝|－|，＋＝2，得⊥，M为BC的中点．又2＝16，所以||＝4，所以||＝2，故选A.‎ ‎【答案】 A ‎13．(2017·安徽十校3月联考)已知A、B、C三点不共线，且＝－＋2，则＝(　　)‎ A. B. C．6 D. ‎【解析】 如图，取＝－，＝2，以AM，AN为邻边作平行四边形AMDN，‎ 此时＝－＋2.‎ 由图可知S△ABD＝3S△AMD，S△ACD＝S△AND，‎ 而S△AMD＝S△AND，‎ ‎∴＝6，故选C.‎ ‎【答案】 C ‎14．在▱ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝________．(用a，b表示)‎ ‎【解析】 由＝3得＝＝(a＋b)，‎ ＝a＋b，所以＝－ ‎＝(a＋b)－＝－a＋b.‎ ‎【答案】 －a＋b ‎15．(2017·山西晋中四校联考)在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________．‎ ‎【解析】 方法一 如图．‎ ‎∵四边形ABCD为平行四边形，且E、F分别为CD、BC的中点，‎ ‎∴＝＋＝(－)＋(－)‎ ‎＝(＋)－(＋)＝(＋)－，‎ ‎∴＝(＋)，∴λ＝μ＝，∴λ＋μ＝.‎ 方法二 (回路法)：连接EF交AC于M.‎ 因为E、F分别为CD、BC的中点，‎ 所以点M为AC的四等分点，且＝，‎ 又＝λ＋μ，‎ 所以＝λ＋μ.‎ 因为M、E、F三点共线，所以(λ＋μ)＝1，‎ 所以λ＋μ＝.‎ ‎【答案】