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- 2021-06-19 发布
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1.两条异面直线所成角的求法
设 a,b 分别是两异面直线 l1,l2 的方向向量,则
l1 与 l2 所成的角 θ a 与 b 的夹角 β
范围 (0,π
2] [0,π]
求法 cos θ=|a· b|
|a||b| cos β= a·b
|a||b|
2.直线与平面所成角的求法
设直线 l 的方向向量为 a,平面 α 的法向量为 n,直线 l 与平面 α 所成的角为 θ,a 与 n 的夹
角为 β,则 sin θ=|cos β|=|a· n|
|a||n|.
3.求二面角的大小
(1)如图①,AB,CD 分别是二面角 α-l-β 的两个面内与棱 l 垂直的直线,则二面角的大小
θ=〈AB
→
,CD
→
〉.
(2)如图②③,n1,n2 分别是二面角 α-l-β 的两个半平面 α,β 的法向量,则二面角的大小 θ
满足|cos θ|=|cos〈n1,n2〉|,二面角的平面角大小是向量 n1 与 n2 的夹角(或其补角).
【知识拓展】
利用空间向量求距离(供选用)
(1)两点间的距离
设点 A(x1,y1,z1),点 B(x2,y2,z2),则|AB|=|AB
→
|= (x1-x2)2+(y1-y2)2+(z1-z2)2.
(2)点到平面的距离
如图所示,已知 AB 为平面 α 的一条斜线段,n 为平面 α 的法向量,则 B 到平面 α 的距离为
|BO
→
|=
|AB
→
·n|
|n| .
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.( × )
(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.( × )
(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.( × )
(4)两异面直线夹角的范围是(0,π
2],直线与平面所成角的范围是[0,π
2],二面角的范围是[0,
π].( √ )
(5)若二面角 α-a-β 的两个半平面 α,β 的法向量 n1,n2 所成角为 θ,则二面角 α-a-β 的
大小是 π-θ.( × )
1.(2017·烟台质检)已知两平面的法向量分别为 m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成的二
面角为( )
A.45° B.135°
C.45°或 135° D.90°
答案 C
解析 cos〈m,n〉= m·n
|m||n|= 1
1 × 2
= 2
2 ,
即〈m,n〉=45°.
∴两平面所成的二面角为 45°或 180°-45°=135°.
2.已知向量 m,n 分别是直线 l 和平面 α 的方向向量和法向量,若 cos〈m,n〉=-1
2,则
l 与 α 所成的角为( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
答案 A
解析 设 l 与 α 所成角为 θ,∵cos〈m,n〉=-1
2,
∴sin θ=|cos〈m,n〉|=1
2,∵0°≤θ≤90°,∴θ=30°.故选 A.
3.(2016·郑州模拟)如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱 ABC-A1B1C1,CA=CC1=2CB,
则直线 BC1 与直线 AB1 所成角的余弦值为( )
A.
5
5 B.
5
3
C.
5
6 D.
5
4
答案 A
解析 设 CA=2,则 C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,0,1),C1(0,2,0),B1(0,2,1),可得向量AB1→
=(-
2,2,1),BC1→
=(0,2,-1),由向量的夹角公式得 cos〈AB1→
,BC1→
〉= 0+4-1
4+4+1 × 0+4+1
=
1
5
= 5
5 ,故选 A.
4.(教材改编)如图,正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC-A1B1C1 的底面边长为 2,侧
棱长为 2 2,则 AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角为________.
答案 π
6
解析 以 A 为原点,以AB
→
,AE
→
(AE⊥AB),AA1→
所在直线为坐标轴(如图)建立空间直角坐标系,
设 D 为 A1B1 中点,
则 A(0,0,0),C1(1,3,2 2),D(1,0,2 2),∴AC1→
=(1,3,2 2),
AD
→
=(1,0,2 2).
∠C1AD 为 AC1 与平面 ABB1A1 所成的角,
cos∠C1AD=
AC1→
·AD
→
|AC1→
||AD
→
|
=
(1, 3,2 2) × (1,0,2 2)
12 × 9
= 3
2 ,
又∵∠C1AD∈[0,π
2 ],∴∠C1AD=π
6.
5.P 是二面角 α-AB-β 棱上的一点,分别在平面 α、β 上引射线 PM、PN,如果∠BPM=
∠BPN=45°,∠MPN=60°,那么二面角 α-AB-β 的大小为________.
答案 90°
解析 不妨设 PM=a,PN=b,如图,
作 ME⊥AB 于 E,NF⊥AB 于 F,
∵∠EPM=∠FPN=45°,
∴PE= 2
2 a,PF= 2
2 b,
∴EM
→
·FN
→
=(PM
→
-PE
→
)·(PN
→
-PF
→
)
=PM
→
·PN
→
-PM
→
·PF
→
-PE
→
·PN
→
+PE
→
·PF
→
=abcos 60°-a× 2
2 bcos 45°- 2
2 a×bcos 45°+ 2
2 a× 2
2 b
=ab
2 -ab
2 -ab
2 +ab
2 =0,
∴EM
→
⊥FN
→
,
∴二面角 α-AB-β 的大小为 90°.
题型一 求异面直线所成的角
例 1 (2015·课标全国Ⅰ)如图,四边形 ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E,F 是平面 ABCD
同一侧的两点,BE⊥平面 ABCD,DF⊥平面 ABCD,BE=2DF,AE⊥EC.
(1)证明:平面 AEC⊥平面 AFC;
(2)求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值.
(1)证明 如图所示,连接 BD,设 BD∩AC=G,连接 EG,FG,EF.
在菱形 ABCD 中,不妨设 GB=1.
由∠ABC=120°,可得 AG=GC= 3.
由 BE⊥平面 ABCD,AB=BC=2,可知 AE=EC.
又 AE⊥EC,所以 EG= 3,且 EG⊥AC.
在 Rt△EBG 中,可得 BE= 2,故 DF= 2
2 .
在 Rt△FDG 中,可得 FG= 6
2 .
在直角梯形 BDFE 中,由 BD=2,BE= 2,DF= 2
2 ,可得 EF=3 2
2 ,从而 EG2+FG2=
EF2,所以 EG⊥FG.
又 AC∩FG=G,可得 EG⊥平面 AFC.
因为 EG⊂平面 AEC,所以平面 AEC⊥平面 AFC.
(2)解 如图,以 G 为坐标原点,分别以GB
→
,GC
→
的方向为 x 轴,y 轴正方向,|GB
→
|为单位长
度,建立空间直角坐标系 Gxyz,由(1)可得 A(0,- 3,0),E(1,0, 2),
F(-1,0, 2
2 ),C(0,3,0),
所以AE
→
=(1,3, 2),CF
→
=(-1,- 3, 2
2 ).
故 cos〈AE
→
,CF
→
〉=
AE
→
·CF
→
|AE
→
||CF
→
|
=- 3
3 .
所以直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值为 3
3 .
思维升华 用向量法求异面直线所成角的一般步骤(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直
角坐标系;(2)确定异面直线上两个点的坐标,从而确定异面直线的方向向量;(3)利用向量
的夹角公式求出向量夹角的余弦值;(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值
的绝对值.
如图所示正方体 ABCD-A′B′C′D′,已知点 H 在 A′B′C′D′的对角
线 B′D′上,∠HDA=60°.求 DH 与 CC′所成的角的大小.
解 如图所示,以 D 为原点,DA 为单位长度,建立空间直角坐标系 Dxyz,
则DA
→
=(1,0,0),CC′→
=(0,0,1).
设DH
→
=(m,m,1)(m>0),
由已知,〈DH
→
,DA
→
〉=60°,
由DA
→
·DH
→
=|DA
→
|·|DH
→
|·cos〈DH
→
,DA
→
〉,
可得 2m= 2m2+1,解得 m= 2
2 ,
∴DH
→
=(
2
2 ,2
2 ,1),
∵cos〈DH
→
,CC′→
〉
=
2
2 × 0+ 2
2 × 0+1 × 1
1 × 2
= 2
2 ,
又∵〈DH
→
,CC′→
〉∈[0°,180°],
∴〈DH
→
,CC′→
〉=45°,
即 DH 与 CC′所成的角为 45°.
题型二 求直线与平面所成的角
例 2 (2016·全国丙卷)如图,四棱锥 PABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC
=3,PA=BC=4,M 为线段 AD 上一点,AM=2MD,N 为 PC 的中点.
(1)证明 MN∥平面 PAB;
(2)求直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值.
(1)证明 由已知得 AM=2
3AD=2.
取 BP 的中点 T,连接 AT,TN,由 N 为 PC 中点知 TN∥BC,TN=1
2BC=2.
又 AD∥BC,故 TN 綊 AM,四边形 AMNT 为平行四边形,于是 MN∥AT.
因为 AT⊂平面 PAB,MN⊄平面 PAB,所以 MN∥平面 PAB.
(2)解 取 BC 的中点 E,连接 AE.
由 AB=AC 得 AE⊥BC,
从而 AE⊥AD,AE= AB2-BE2= AB2-(BC
2 )2= 5.
以 A 为坐标原点,AE
→
的方向为 x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz.
由 题 意 知 , P(0,0,4) , M(0,2,0) , C( 5, 2,0) , N( 5
2 ,1,2), PM
→
= (0,2 , - 4) , PN
→
=
( 5
2 ,1,-2),AN
→
=( 5
2 ,1,2).
设 n=(x,y,z)为平面 PMN 的法向量,则
Error!即Error!可取 n=(0,2,1).
于是|cos〈n,AN
→
〉|=
|n·AN
→
|
|n||A N
→
|
=8 5
25 .
设 AN 与平面 PMN 所成的角为 θ,则 sin θ=8 5
25 ,
∴直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值为8 5
25 .
思维升华 利用向量法求线面角的方法
(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其
补角);
(2)通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角,取其余角
就是斜线和平面所成的角.
在平面四边形 ABCD 中,AB=BD=CD=1,AB⊥BD,CD⊥BD.将△ABD 沿 BD
折起,使得平面 ABD⊥平面 BCD,如图所示.
(1)求证:AB⊥CD;
(2)若 M 为 AD 中点,求直线 AD 与平面 MBC 所成角的正弦值.
(1)证明 ∵平面 ABD⊥平面 BCD,平面 ABD∩平面 BCD=BD,AB⊂平面 ABD,AB⊥BD,
∴AB⊥平面 BCD.
又 CD⊂平面 BCD,∴AB⊥CD.
(2)解 过点 B 在平面 BCD 内作 BE⊥BD,如图.
由(1)知 AB⊥平面 BCD,BE⊂平面 BCD,BD⊂平面 BCD.
∴AB⊥BE,AB⊥BD.
以 B 为坐标原点,分别以BE
→
,BD
→
,BA
→
的方向为 x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标
系.
依题意,得 B(0,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A(0,0,1),M(0,1
2,1
2),
则BC
→
=(1,1,0),BM
→
=(0,1
2,1
2),AD
→
=(0,1,-1).
设平面 MBC 的法向量 n=(x0,y0,z0),
则Error!即Error!
取 z0=1,得平面 MBC 的一个法向量 n=(1,-1,1).
设直线 AD 与平面 MBC 所成角为 θ,
则 sin θ=|cos〈n,AD
→
〉|=
|n·AD
→
|
|n||AD
→
|
= 6
3 ,
即直线 AD 与平面 MBC 所成角的正弦值为 6
3 .
题型三 求二面角
例 3 (2016·山东)在如图所示的圆台中,AC 是下底面圆 O 的直径,EF 是上底面圆 O′的直
径,FB 是圆台的一条母线.
(1)已知 G,H 分别为 EC,FB 的中点,求证:GH∥平面 ABC;
(2)已知 EF=FB=1
2AC=2 3,AB=BC,求二面角 FBCA 的余弦值.
(1)证明 设 FC 的中点为 I,连接 GI,HI,
在△CEF 中,因为点 G 是 CE 的中点,所以 GI∥EF.
又 EF∥OB,所以 GI∥OB.
在△CFB 中,因为 H 是 FB 的中点,所以 HI∥BC,又 HI∩GI=I,
所以平面 GHI∥平面 ABC.
因为 GH⊂平面 GHI,所以 GH∥平面 ABC.
(2)解 连接 OO′,则 OO′⊥平面 ABC.又 AB=BC,且 AC 是圆 O 的直径,所以 BO⊥AC.
以 O 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz.
由题意得 B(0,2 3,0),
C(-2 3,0,0).过点 F 作 FM 垂直 OB 于点 M,
所以 FM= FB2-BM2=3,可得 F(0,3,3).
故BC
→
=(-2 3,-2 3,0),BF
→
=(0,- 3,3).
设 m=(x,y,z)是平面 BCF 的一个法向量.
由Error!可得Error!
可得平面 BCF 的一个法向量 m=(-1,1, 3
3 ),
因为平面 ABC 的一个法向量 n=(0,0,1),
所以 cos〈m,n〉= m·n
|m||n|= 7
7 .
所以二面角 FBCA 的余弦值为 7
7 .
思维升华 利用向量法计算二面角大小的常用方法
(1)找法向量法:分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量,然后通过两个平面的法
向量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际图形判断所求角的大小.
(2)找与棱垂直的方向向量法:分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点
的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.
(2016·天津)如图,正方形 ABCD 的中心为 O,四边形 OBEF 为矩形,平面
OBEF⊥平面 ABCD,点 G 为 AB 的中点,AB=BE=2.
(1)求证:EG∥平面 ADF;
(2)求二面角 O—EF—C 的正弦值;
(3)设 H 为线段 AF 上的点,且 AH=2
3HF,求直线 BH 和平面 CEF 所成角的正弦值.
(1)证明 依题意,OF⊥平面 ABCD,
如图,以 O 为原点,分别以AD
→
,BA
→
,OF
→
的方向为 x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐
标系,依题意可得
O(0,0,0),A(-1,1,0),B(-1,-1,0),C(1,-1,0),
D(1,1,0),E(-1,-1,2),F(0,0,2),G(-1,0,0).
依题意,AD
→
=(2,0,0),AF
→
=(1,-1,2).
设 n1=(x1,y1,z1)为平面 ADF 的法向量,
则Error! 即Error!
不妨取 z1=1,可得 n1=(0,2,1),
又EG
→
=(0,1,-2),可得EG
→
·n1=0,
又因为直线 EG⊄平面 ADF,所以 EG∥平面 ADF.
(2)解 易证 OA
→
=(-1,1,0)为平面 OEF 的一个法向量,依题意, EF
→
=(1,1,0), CF
→
=(-
1,1,2).
设 n2=(x2,y2,z2)为平面 CEF 的法向量,
则Error!
即Error!
不妨取 x2=1,可得 n2=(1,-1,1).
因此有 cos〈OA
→
,n2〉=
OA
→
·n2
|OA
→
|·|n2|
=- 6
3 ,
于是 sin〈OA
→
,n2〉= 3
3 .
所以二面角 O—EF—C 的正弦值为 3
3 .
(3)解 由 AH=2
3HF,得 AH=2
5AF.
因为AF
→
=(1,-1,2),
所以AH
→
=2
5AF
→
=(2
5,-2
5,4
5),
进而有 H(-3
5,3
5,4
5),从而BH
→
=(2
5,8
5,4
5).
因此 cos〈BH
→
,n2〉=
BH
→
·n2
|BH
→
||n2|
=- 7
21.
所以直线 BH 和平面 CEF 所成角的正弦值为 7
21.
题型四 求空间距离(供选用)
例 4 如图,△BCD 与△MCD 都是边长为 2 的正三角形,平面 MCD⊥平面 BCD,AB⊥平
面 BCD,AB=2 3,求点 A 到平面 MBC 的距离.
解 如图,取 CD 的中点 O,连接 OB,OM,因为△BCD 与△MCD 均为正三角形,所以
OB⊥CD,OM⊥CD,又平面 MCD⊥平面 BCD,所以 MO⊥平面 BCD.
以 O 为坐标原点,直线 OC,BO,OM 分别为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系 Oxyz.
因为△BCD 与△MCD 都是边长为 2 的正三角形,
所以 OB=OM= 3,
则 O(0,0,0),C(1,0,0),M(0,0, 3),B(0,- 3,0),A(0,- 3,2 3),
所以BC
→
=(1,3,0),BM
→
=(0,3, 3).
设平面 MBC 的法向量为 n=(x,y,z),
由Error!得Error!即Error!
取 x= 3,可得平面 MBC 的一个法向量为 n=( 3,-1,1).
又BA
→
=(0,0,2 3),
所以所求距离为 d=
|BA
→
·n|
|n| =2 15
5 .
思维升华 求点面距一般有以下三种方法:
(1)作点到面的垂线,点到垂足的距离即为点到平面的距离;
(2)等体积法;
(3)向量法.其中向量法在易建立空间直角坐标系的规则图形中较简便.
(2016·四川成都外国语学校月考)如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,侧面
PAD⊥底面 ABCD,侧棱 PA=PD= 2,PA⊥PD,底面 ABCD 为直角梯形,其中 BC∥AD,
AB⊥AD,AB=BC=1,O 为 AD 中点.
(1)求直线 PB 与平面 POC 所成角的余弦值;
(2)求 B 点到平面 PCD 的距离;
(3)线段 PD 上是否存在一点 Q,使得二面角 Q-AC-D 的余弦值为 6
3 ?若存在,求出PQ
QD的
值;若不存在,请说明理由.
解 (1)在△PAD 中,PA=PD,O 为 AD 中点,
∴PO⊥AD.
又∵侧面 PAD⊥底面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD,PO⊂平面 PAD,
∴PO⊥平面 ABCD.
在△PAD 中,PA⊥PD,PA=PD= 2,∴AD=2.
在直角梯形 ABCD 中,O 为 AD 的中点,AB⊥AD,
∴OC⊥AD.
以 O 为坐标原点,OC 为 x 轴,OD 为 y 轴,OP 为 z 轴建立空间直角坐标系,如图所示,
则 P(0,0,1),A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),
∴PB
→
=(1,-1,-1).
易证 OA⊥平面 POC,
∴OA
→
=(0,-1,0)为平面 POC 的法向量,
cos〈PB
→
,OA
→
〉=
PB
→
·OA
→
|PB
→
||OA
→
|
= 3
3 ,
∴PB 与平面 POC 所成角的余弦值为 6
3 .
(2)∵PB
→
=(1,-1,-1),
设平面 PCD 的法向量为 u=(x,y,z),
则Error!
取 z=1,得 u=(1,1,1).
则 B 点到平面 PCD 的距离 d=
|PB
→
·u|
|u| = 3
3 .
(3)假设存在,且设PQ
→
=λPD
→
(0≤λ≤1).
∵PD
→
=(0,1,-1),∴OQ
→
-OP
→
=PQ
→
=(0,λ,-λ),
∴OQ
→
=(0,λ,1-λ),
∴Q(0,λ,1-λ).
设平面 CAQ 的法向量为 m=(x,y,z),
则Error!
取 z=1+λ,得 m=(1-λ,λ-1,λ+1).
平面 CAD 的一个法向量为 n=(0,0,1),
∵二面角 Q-AC-D 的余弦值为 6
3 ,
∴|cos〈m,n〉|=|m·n|
|m||n|= 6
3 .
整理化简,得 3λ2-10λ+3=0.
解得 λ=1
3或 λ=3(舍去),
∴存在,且PQ
QD=1
2.
6.利用空间向量求解空间角
典例 (12 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC
=AP=2,AB=1,点 E 为棱 PC 的中点.
(1)证明:BE⊥DC;
(2)求直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值;
(3)若 F 为棱 PC 上一点,满足 BF⊥AC,求二面角 F-AB-P 的余弦值.
规范解答
(1)证明 依题意,以点 A 为原点建立空间直角坐标系如图,可得 B(1,0,0),C(2,2,0),
D(0,2,0),P(0,0,2).[1 分]
由 E 为棱 PC 的中点,得 E(1,1,1).
BE
→
=(0,1,1),DC
→
=(2,0,0),
故BE
→
·DC
→
=0,所以 BE⊥DC.[3 分]
(2)解 BD
→
=(-1,2,0),
PB
→
=(1,0,-2).
设 n=(x,y,z)为平面 PBD 的一个法向量,
则Error!即Error!不妨令 y=1,[5 分]
可得 n=(2,1,1).
于是有 cos〈n,BE
→
〉=
n·BE
→
|n||BE
→
|
= 2
6 × 2
= 3
3 ,
所以,直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值为 3
3 .[7 分]
(3)解 BC
→
=(1,2,0),CP
→
=(-2,-2,2),AC
→
=(2,2,0),AB
→
=(1,0,0).
由点 F 在棱 PC 上,设CF
→
=λCP
→
,0≤λ≤1,
故BF
→
=BC
→
+CF
→
=BC
→
+λCP
→
=(1-2λ,2-2λ,2λ).
由 BF⊥AC,得BF
→
·AC
→
=0,
因此,2(1-2λ)+2(2-2λ)=0,解得 λ=3
4,
即BF
→
=(-1
2,1
2,3
2).[9 分]
设 n1=(x,y,z)为平面 FAB 的一个法向量,
则Error! 即Error!
不妨令 z=1,可得 n1=(0,-3,1).
取平面 ABP 的法向量 n2=(0,1,0),
则 cos〈n1,n2〉= n1·n2
|n1||n2|=
-3
10 × 1
=-3 10
10 .
易知,二面角 F-AB-P 是锐角,
所以其余弦值为3 10
10 .[12 分]
利用向量求空间角的步骤:
第一步:建立空间直角坐标系;
第二步:确定点的坐标;
第三步:求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标;
第四步:计算向量的夹角(或函数值);
第五步:将向量夹角转化为所求的空间角;
第六步:反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范.
1.若直线 l 的方向向量与平面 α 的法向量的夹角等于 120°,则直线 l 与平面 α 所成的角等
于( )
A.120° B.60°
C.30° D.60°或 30°
答案 C
解析 设直线 l 与平面 α 所成的角为 β,直线 l 与平面 α 的法向量的夹角为 γ.
则 sin β=|cos γ|=|cos 120°|=1
2.
又∵β∈[0°,90°],∴β=30°,故选 C.
2.(2016·广州模拟)二面角的棱上有 A,B 两点,直线 AC,BD 分别在这个二面角的两个半
平面内,且都垂直于 AB.已知 AB=4,AC=6,BD=8,CD=217,则该二面角的大小为( )
A.150° B.45°
C.60° D.120°
答案 C
解析 如图所示,二面角的大小就是〈AC
→
,BD
→
〉.
∵CD
→
=CA
→
+AB
→
+BD
→
,
∴CD
→
2=CA
→
2+AB
→
2+BD
→
2+2(CA
→
·AB
→
+CA
→
·BD
→
+AB
→
·BD
→
)=CA
→
2+AB
→
2+BD
→
2+2CA
→
·BD
→
.
∴CA
→
·BD
→
=1
2[(2 17)2-62-42-82]=-24.
因此AC
→
·BD
→
=24,
cos〈AC
→
,BD
→
〉=
AC
→
·BD
→
|AC
→
||BD
→
|
=1
2,
∴〈AC
→
,BD
→
〉=60°,故二面角为 60°.
3.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 E 为 BB1 的中点,则平面 A1ED 与平面 ABCD 所成的
锐二面角的余弦值为( )
A.1
2 B.2
3 C.
3
3 D.
2
2
答案 B
解析 以 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz,设棱长为 1,
则 A1(0,0,1),E(1,0,1
2),D(0,1,0),
∴A1D
→
=(0,1,-1),A1E
→
=(1,0,-1
2).
设平面 A1ED 的一个法向量为 n1=(1,y,z),
则有Error!
即Error!∴Error!∴n1=(1,2,2).
∵平面 ABCD 的一个法向量为 n2=(0,0,1),
∴cos〈n1,n2〉= 2
3 × 1=2
3,
即所成的锐二面角的余弦值为2
3.
4.(2016·长春模拟)在三棱锥 P-ABC 中,PA⊥平面 ABC,∠BAC=90°,D,E,F 分别是
棱 AB,BC,CP 的中点,AB=AC=1,PA=2,则直线 PA 与平面 DEF 所成角的正弦值为( )
A.1
5 B.2 5
5 C.
5
5 D.2
5
答案 C
解析 以 A 为原点,AB,AC,AP 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示的空间直
角坐标系,
由 AB=AC=1,PA=2,
得 A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,2),D(1
2,0,0),E(1
2,1
2,0),F(0,1
2,1).
∴PA
→
=(0,0,-2),DE
→
=(0,1
2,0),DF
→
=(-1
2,1
2,1).
设平面 DEF 的法向量为 n=(x,y,z),
则由Error!得Error!
取 z=1,则 n=(2,0,1),
设直线 PA 与平面 DEF 所成的角为 θ,
则 sin θ=
|PA
→
·n|
|PA
→
||n|
= 5
5 ,
∴直线 PA 与平面 DEF 所成角的正弦值为 5
5 .故选 C.
5.已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,CC1=2 2,E 为 CC1 的中点,则直线 AC1
到平面 BDE 的距离为( )
A.2 B. 3 C. 2 D.1
答案 D
解析 以 D 为原点,DA,DC,DD1 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系(如
图),
则 D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),C1(0,2,2 2),E(0,2, 2),易知 AC1∥平面 BDE.
设 n=(x,y,z)是平面 BDE 的法向量,
则Error!
取 y=1,则 n=(-1,1,- 2)为平面 BDE 的一个法向量,
又DA
→
=(2,0,0),
∴点 A 到平面 BDE 的距离是
d=
|n·DA
→
|
|n| = |-1 × 2+0+0|
(-1)2+12+(- 2)2
=1.
故直线 AC1 到平面 BDE 的距离为 1.
6.如图所示,三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱长为 3,底面边长 A1C1=B1C1=1,且∠A1C1B1=90°,
D 点在棱 AA1 上且 AD=2DA1,P 点在棱 C1C 上,则PD
→
·PB1→
的最小值为( )
A.5
2 B.-1
4
C.1
4 D.-5
2
答案 B
解析 建立如图所示的空间直角坐标系,则 D(1,0,2),B1(0,1,3),
设 P(0,0,z),则PD
→
=(1,0,2-z),PB1→
=(0,1,3-z),
∴PD
→
·PB1→
=0+0+(2-z)(3-z)=(z-5
2)2-1
4,
故当 z=5
2时,PD
→
·PB1→
取得最小值为-1
4.
7.(2016·合肥模拟)在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,BC=AA1=1,则直线 D1C1 与平
面 A1BC1 所成角的正弦值为________.
答案 1
3
解析 如图,建立空间直角坐标系 Dxyz,
则 D1(0,0,1),C1(0,2,1),A1(1,0,1),B(1,2,0).
∴D1C1→
=(0,2,0),
A1C1→
=(-1,2,0),A1B
→
=(0,2,-1),
设平面 A1BC1 的一个法向量为 n=(x,y,z),
由Error!
得Error!令 y=1,得 n=(2,1,2),
设直线 D1C1 与平面 A1BC1 所成角为 θ,则
sin θ=|cos〈D1C1→
,n〉|=
|D1C1→
·n|
|D1C1→
||n|
= 2
2 × 3=1
3,
即直线 D1C1 与平面 A1BC1 所成角的正弦值为1
3.
8.在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=2AB,则直线 CD 与平面 BDC1 所成角的正弦值
等于________.
答案 2
3
解析 以 D 为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图,设 AA1=2AB=2,则 D(0,0,0),
C(0,1,0),B(1,1,0),C1(0,1,2),则DC
→
=(0,1,0),DB
→
=(1,1,0),DC1→
=(0,1,2).
设平面 BDC1 的法向量为 n=(x,y,z),则 n⊥DB
→
,n⊥DC1→
,
所以有Error!令 y=-2,得平面 BDC1 的一个法向量为 n=(2,-2,1).
设 CD 与平面 BDC1 所成的角为 θ,
则 sin θ=|cos〈n,DC
→
〉|=
|n·DC
→
|
|n||DC
→
|
=2
3.
9.(2016·石家庄模拟)已知点 E,F 分别在正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 BB1,CC1 上,且 B1E
=2EB,CF=2FC1,则平面 AEF 与平面 ABC 所成的二面角的正切值为________.
答案 2
3
解析 如图,建立空间直角坐标系 Dxyz,
设 DA=1,由已知条件得
A(1,0,0),E(1,1,1
3),F(0,1,2
3),AE
→
=(0,1,1
3),AF
→
=(-1,1,2
3),
设平面 AEF 的法向量为 n=(x,y,z),
平面 AEF 与平面 ABC 所成的二面角为 θ,由图知 θ 为锐角,
由Error!得Error!
令 y=1,z=-3,x=-1,则 n=(-1,1,-3),
取平面 ABC 的法向量为 m=(0,0,-1),
则 cos θ=|cos〈n,m〉|=3 11
11 ,tan θ= 2
3 .
10.(2016·南昌模拟)如图(1),在边长为 4 的菱形 ABCD 中,∠DAB=60°,点 E,F 分别是
边 CD,CB 的中点,AC∩EF=O,沿 EF 将△CEF 翻折到△PEF,连接 PA,PB,PD,得
到如图(2)的五棱锥 P-ABFED,且 PB= 10.
(1)求证:BD⊥平面 POA;
(2)求二面角 B-AP-O 的正切值.
(1)证明 ∵点 E,F 分别是边 CD,CB 的中点,
∴BD∥EF.
∵菱形 ABCD 的对角线互相垂直,
∴BD⊥AC,∴EF⊥AC,
∴EF⊥AO,EF⊥PO.
∵AO⊂平面 POA,
PO⊂平面 POA,AO∩PO=O,
∴EF⊥平面 POA,∴BD⊥平面 POA.
(2)解 设 AO∩BD=H,连接 BO.
∵∠DAB=60°,∴△ABD 为等边三角形,
∴BD=4,BH=2,HA=2 3,HO=PO= 3,
在 Rt△BHO 中,BO= HB2+HO2= 7.
在△PBO 中,BO2+PO2=10=PB2,
∴PO⊥BO.
∵PO⊥EF,EF∩BO=O,EF⊂平面 BFED,BO⊂平面 BFED,
∴PO⊥平面 BFED.
以 O 为原点,OF 所在直线为 x 轴,AO 所在直线为 y 轴,OP 所在直线为 z 轴,建立空间直
角坐标系 Oxyz,如图所示,
则 A(0,-3 3,0),B(2,- 3,0),P(0,0, 3),H(0,- 3,0),
∴AP
→
=(0,3 3, 3),AB
→
=(2,2 3,0).
设平面 PAB 的法向量为 n=(x,y,z),
由 n⊥AP
→
,n⊥AB
→
,
得Error!
令 y=1,得 z=-3,x=- 3.
∴平面 PAB 的一个法向量为 n=(- 3,1,-3).
由(1)知平面 PAO 的一个法向量为BH
→
=(-2,0,0),
设二面角 B-AP-O 的平面角为 θ,
则 cos θ=|cos〈n,BH
→
〉|=
n·BH
→
|n||BH
→
|
= 2 3
13 × 2
= 39
13 ,
∴sin θ= 1-cos2θ= 130
13 ,
tan θ=sin θ
cos θ= 30
3 ,
∴二面角 B-AP-O 的正切值为 30
3 .
11.(2016·四川)如图,在四棱锥 PABCD 中,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD=1
2
AD.E 为棱 AD 的中点,异面直线 PA 与 CD 所成的角为 90°.
(1)在平面 PAB 内找一点 M,使得直线 CM∥平面 PBE,并说明理由;
(2)若二面角 PCDA 的大小为 45°,求直线 PA 与平面 PCE 所成角的正弦值.
解 (1)在梯形 ABCD 中,AB 与 CD 不平行.延长 AB,DC,相交于点 M(M∈平面 PAB),
点 M 即为所求的一个点.理由如下:
由已知,BC∥ED 且 BC=ED.
所以四边形 BCDE 是平行四边形,
从而 CM∥EB.
又 EB⊂平面 PBE,CM⊄平面 PBE,
所以 CM∥平面 PBE.
(说明:延长 AP 至点 N,使得 AP=PN,则所找的点可以是直线 MN 上任意一点)
(2)方法一 由已知,CD⊥PA,CD⊥AD,PA∩AD=A,
所以 CD⊥平面 PAD,从而 CD⊥PD.
所以∠PDA 是二面角 PCDA 的平面角,
所以∠PDA=45°,
设 BC=1,则在 Rt△PAD 中,PA=AD=2.
过点 A 作 AH⊥CE,交 CE 的延长线于点 H,连接 PH,
易知 PA⊥平面 ABCD,
从而 PA⊥CE,且 PA∩AH=A,于是 CE⊥平面 PAH.
又 CE⊂平面 PCE,
所以平面 PCE⊥平面 PAH.
过 A 作 AQ⊥PH 于 Q,则 AQ⊥平面 PCE,
所以∠APH 是 PA 与平面 PCE 所成的角.
在 Rt△AEH 中,∠AEH=45°,AE=1,
所以 AH= 2
2 .
在 Rt△PAH 中,PH= PA2+AH2=3 2
2 .
所以 sin∠APH=AH
PH=1
3.
方法二 由已知,CD⊥PA,CD⊥AD,PA∩AD=A,
所以 CD⊥平面 PAD.
于是 CD⊥PD.
从而∠PDA 是二面角 PCDA 的平面角.所以∠PDA=45°.
由∠PAB=90°,且 PA 与 CD 所成的角为 90°,可得 PA⊥平面 ABCD.
设 BC=1,则在 Rt△PAD 中,PA=AD=2.
作 Ay⊥AD,以 A 为原点,以AD
→
,AP
→
的方向分别为 x 轴,z 轴的正方向,建立如图所示的空
间直角坐标系 Axyz,
则 A(0,0,0),P(0,0,2),C(2,1,0),E(1,0,0).
所以PE
→
=(1,0,-2),EC
→
=(1,1,0),AP
→
=(0,0,2).
设平面 PCE 的法向量为 n=(x,y,z).
由Error!得Error!设 x=2,解得 n=(2,-2,1).
设直线 PA 与平面 PCE 所成角为 α,
则 sin α=|cos〈n,AP
→
〉|=
|n·AP
→
|
|n||AP
→
|
= 2
2 × 22+(-2)2+12
=1
3.
所以直线 PA 与平面 PCE 所成角的正弦值为1
3.
*12.(2017·潍坊月考)如图,边长为 2的正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在的平面互相垂直.已
知 AB∥CD,AB⊥BC,DC=BC=1
2AB=1,点 M 在线段 EC 上.
(1)证明:平面 BDM⊥平面 ADEF;
(2)判断点 M 的位置,使得平面 BDM 与平面 ABF 所成的锐二面角为π
3.
(1)证明 ∵DC=BC=1,DC⊥BC,∴BD= 2,
又 AD= 2,AB=2,∴AD2+BD2=AB2,
∴∠ADB=90°,∴AD⊥BD.
又平面 ADEF⊥平面 ABCD,平面 ADEF∩平面 ABCD=AD,
∴BD⊥平面 ADEF,
又 BD⊂平面 BDM,
∴平面 BDM⊥平面 ADEF.
(2)解 在平面 DAB 内过点 D 作 DN⊥AB,垂足为 N,
∵AB∥CD,∴DN⊥CD,
又平面 ADEF⊥平面 ABCD,平面 ADEF∩平面 ABCD=AD,DE⊥AD,
∴ED⊥平面 ABCD,∴DN⊥ED,
以 D 为坐标原点,DN 所在的直线为 x 轴,DC 所在的直线为 y 轴,DE 所在的直线为 z 轴,
建立空间直角坐标系如图所示.
∴B(1,1,0),C(0,1,0),E(0,0, 2),N(1,0,0),
设 M(x0,y0,z0),EM
→
=λEC
→
(0≤λ<1),
∴(x0,y0,z0- 2)=λ(0,1,- 2),
∴x0=0,y0=λ,z0= 2(1-λ),
∴M(0,λ, 2(1-λ)).
设平面 BDM 的法向量为 n1=(x,y,z),
则Error!
又DM
→
=(0,λ, 2(1-λ)),DB
→
=(1,1,0),
∴Error!
令 x=1,得 y=-1,z= λ
2(1-λ),
故 n1=(1,-1, λ
2(1-λ))是平面 BDM 的一个法向量.
∵平面 ABF 的一个法向量为DN
→
=(1,0,0),
∴|cos〈n1,DN
→
〉|= 1
1+1+ λ2
2(1-λ)2
=1
2,得 λ=2
3,
∴M(0,2
3, 2
3 ),
∴点 M 在线段 CE 的三等分点且靠近点 C 处.