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  • 2021-06-19 发布

高考数学专题复习练习:8_8 立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离

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1.两条异面直线所成角的求法 设 a,b 分别是两异面直线 l1,l2 的方向向量,则 l1 与 l2 所成的角 θ a 与 b 的夹角 β 范围 (0,π 2] [0,π] 求法 cos θ=|a· b| |a||b| cos β= a·b |a||b| 2.直线与平面所成角的求法 设直线 l 的方向向量为 a,平面 α 的法向量为 n,直线 l 与平面 α 所成的角为 θ,a 与 n 的夹 角为 β,则 sin θ=|cos β|=|a· n| |a||n|. 3.求二面角的大小 (1)如图①,AB,CD 分别是二面角 α-l-β 的两个面内与棱 l 垂直的直线,则二面角的大小 θ=〈AB → ,CD → 〉. (2)如图②③,n1,n2 分别是二面角 α-l-β 的两个半平面 α,β 的法向量,则二面角的大小 θ 满足|cos θ|=|cos〈n1,n2〉|,二面角的平面角大小是向量 n1 与 n2 的夹角(或其补角). 【知识拓展】 利用空间向量求距离(供选用) (1)两点间的距离 设点 A(x1,y1,z1),点 B(x2,y2,z2),则|AB|=|AB → |= (x1-x2)2+(y1-y2)2+(z1-z2)2. (2)点到平面的距离 如图所示,已知 AB 为平面 α 的一条斜线段,n 为平面 α 的法向量,则 B 到平面 α 的距离为 |BO → |= |AB → ·n| |n| . 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.( × ) (2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.( × ) (3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.( × ) (4)两异面直线夹角的范围是(0,π 2],直线与平面所成角的范围是[0,π 2],二面角的范围是[0, π].( √ ) (5)若二面角 α-a-β 的两个半平面 α,β 的法向量 n1,n2 所成角为 θ,则二面角 α-a-β 的 大小是 π-θ.( × ) 1.(2017·烟台质检)已知两平面的法向量分别为 m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成的二 面角为(  ) A.45° B.135° C.45°或 135° D.90° 答案 C 解析 cos〈m,n〉= m·n |m||n|= 1 1 × 2 = 2 2 , 即〈m,n〉=45°. ∴两平面所成的二面角为 45°或 180°-45°=135°. 2.已知向量 m,n 分别是直线 l 和平面 α 的方向向量和法向量,若 cos〈m,n〉=-1 2,则 l 与 α 所成的角为(  ) A.30° B.60° C.120° D.150° 答案 A 解析 设 l 与 α 所成角为 θ,∵cos〈m,n〉=-1 2, ∴sin θ=|cos〈m,n〉|=1 2,∵0°≤θ≤90°,∴θ=30°.故选 A. 3.(2016·郑州模拟)如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱 ABC-A1B1C1,CA=CC1=2CB, 则直线 BC1 与直线 AB1 所成角的余弦值为(  ) A. 5 5 B. 5 3 C. 5 6 D. 5 4 答案 A 解析 设 CA=2,则 C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,0,1),C1(0,2,0),B1(0,2,1),可得向量AB1→ =(- 2,2,1),BC1→ =(0,2,-1),由向量的夹角公式得 cos〈AB1→ ,BC1→ 〉= 0+4-1 4+4+1 × 0+4+1 = 1 5 = 5 5 ,故选 A. 4.(教材改编)如图,正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC-A1B1C1 的底面边长为 2,侧 棱长为 2 2,则 AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角为________. 答案 π 6 解析 以 A 为原点,以AB → ,AE → (AE⊥AB),AA1→ 所在直线为坐标轴(如图)建立空间直角坐标系, 设 D 为 A1B1 中点, 则 A(0,0,0),C1(1,3,2 2),D(1,0,2 2),∴AC1→ =(1,3,2 2), AD → =(1,0,2 2). ∠C1AD 为 AC1 与平面 ABB1A1 所成的角, cos∠C1AD= AC1→ ·AD → |AC1→ ||AD → | = (1, 3,2 2) × (1,0,2 2) 12 × 9 = 3 2 , 又∵∠C1AD∈[0,π 2 ],∴∠C1AD=π 6. 5.P 是二面角 α-AB-β 棱上的一点,分别在平面 α、β 上引射线 PM、PN,如果∠BPM= ∠BPN=45°,∠MPN=60°,那么二面角 α-AB-β 的大小为________. 答案 90° 解析 不妨设 PM=a,PN=b,如图, 作 ME⊥AB 于 E,NF⊥AB 于 F, ∵∠EPM=∠FPN=45°, ∴PE= 2 2 a,PF= 2 2 b, ∴EM → ·FN → =(PM → -PE → )·(PN → -PF → ) =PM → ·PN → -PM → ·PF → -PE → ·PN → +PE → ·PF → =abcos 60°-a× 2 2 bcos 45°- 2 2 a×bcos 45°+ 2 2 a× 2 2 b =ab 2 -ab 2 -ab 2 +ab 2 =0, ∴EM → ⊥FN → , ∴二面角 α-AB-β 的大小为 90°. 题型一 求异面直线所成的角 例 1 (2015·课标全国Ⅰ)如图,四边形 ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E,F 是平面 ABCD 同一侧的两点,BE⊥平面 ABCD,DF⊥平面 ABCD,BE=2DF,AE⊥EC. (1)证明:平面 AEC⊥平面 AFC; (2)求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值. (1)证明 如图所示,连接 BD,设 BD∩AC=G,连接 EG,FG,EF. 在菱形 ABCD 中,不妨设 GB=1. 由∠ABC=120°,可得 AG=GC= 3. 由 BE⊥平面 ABCD,AB=BC=2,可知 AE=EC. 又 AE⊥EC,所以 EG= 3,且 EG⊥AC. 在 Rt△EBG 中,可得 BE= 2,故 DF= 2 2 . 在 Rt△FDG 中,可得 FG= 6 2 . 在直角梯形 BDFE 中,由 BD=2,BE= 2,DF= 2 2 ,可得 EF=3 2 2 ,从而 EG2+FG2= EF2,所以 EG⊥FG. 又 AC∩FG=G,可得 EG⊥平面 AFC. 因为 EG⊂平面 AEC,所以平面 AEC⊥平面 AFC. (2)解 如图,以 G 为坐标原点,分别以GB → ,GC → 的方向为 x 轴,y 轴正方向,|GB → |为单位长 度,建立空间直角坐标系 Gxyz,由(1)可得 A(0,- 3,0),E(1,0, 2), F(-1,0, 2 2 ),C(0,3,0), 所以AE → =(1,3, 2),CF → =(-1,- 3, 2 2 ). 故 cos〈AE → ,CF → 〉= AE → ·CF → |AE → ||CF → | =- 3 3 . 所以直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值为 3 3 . 思维升华 用向量法求异面直线所成角的一般步骤(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直 角坐标系;(2)确定异面直线上两个点的坐标,从而确定异面直线的方向向量;(3)利用向量 的夹角公式求出向量夹角的余弦值;(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值 的绝对值.  如图所示正方体 ABCD-A′B′C′D′,已知点 H 在 A′B′C′D′的对角 线 B′D′上,∠HDA=60°.求 DH 与 CC′所成的角的大小. 解 如图所示,以 D 为原点,DA 为单位长度,建立空间直角坐标系 Dxyz, 则DA → =(1,0,0),CC′→ =(0,0,1). 设DH → =(m,m,1)(m>0), 由已知,〈DH → ,DA → 〉=60°, 由DA → ·DH → =|DA → |·|DH → |·cos〈DH → ,DA → 〉, 可得 2m= 2m2+1,解得 m= 2 2 , ∴DH → =( 2 2 ,2 2 ,1), ∵cos〈DH → ,CC′→ 〉 = 2 2 × 0+ 2 2 × 0+1 × 1 1 × 2 = 2 2 , 又∵〈DH → ,CC′→ 〉∈[0°,180°], ∴〈DH → ,CC′→ 〉=45°, 即 DH 与 CC′所成的角为 45°. 题型二 求直线与平面所成的角 例 2 (2016·全国丙卷)如图,四棱锥 PABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC =3,PA=BC=4,M 为线段 AD 上一点,AM=2MD,N 为 PC 的中点. (1)证明 MN∥平面 PAB; (2)求直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值. (1)证明 由已知得 AM=2 3AD=2. 取 BP 的中点 T,连接 AT,TN,由 N 为 PC 中点知 TN∥BC,TN=1 2BC=2. 又 AD∥BC,故 TN 綊 AM,四边形 AMNT 为平行四边形,于是 MN∥AT. 因为 AT⊂平面 PAB,MN⊄平面 PAB,所以 MN∥平面 PAB. (2)解 取 BC 的中点 E,连接 AE. 由 AB=AC 得 AE⊥BC, 从而 AE⊥AD,AE= AB2-BE2= AB2-(BC 2 )2= 5. 以 A 为坐标原点,AE → 的方向为 x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz. 由 题 意 知 , P(0,0,4) , M(0,2,0) , C( 5, 2,0) , N( 5 2 ,1,2), PM → = (0,2 , - 4) , PN → = ( 5 2 ,1,-2),AN → =( 5 2 ,1,2). 设 n=(x,y,z)为平面 PMN 的法向量,则 Error!即Error!可取 n=(0,2,1). 于是|cos〈n,AN → 〉|= |n·AN → | |n||A N → | =8 5 25 . 设 AN 与平面 PMN 所成的角为 θ,则 sin θ=8 5 25 , ∴直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值为8 5 25 . 思维升华 利用向量法求线面角的方法 (1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其 补角); (2)通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角,取其余角 就是斜线和平面所成的角.  在平面四边形 ABCD 中,AB=BD=CD=1,AB⊥BD,CD⊥BD.将△ABD 沿 BD 折起,使得平面 ABD⊥平面 BCD,如图所示. (1)求证:AB⊥CD; (2)若 M 为 AD 中点,求直线 AD 与平面 MBC 所成角的正弦值. (1)证明 ∵平面 ABD⊥平面 BCD,平面 ABD∩平面 BCD=BD,AB⊂平面 ABD,AB⊥BD, ∴AB⊥平面 BCD. 又 CD⊂平面 BCD,∴AB⊥CD. (2)解 过点 B 在平面 BCD 内作 BE⊥BD,如图. 由(1)知 AB⊥平面 BCD,BE⊂平面 BCD,BD⊂平面 BCD. ∴AB⊥BE,AB⊥BD. 以 B 为坐标原点,分别以BE → ,BD → ,BA → 的方向为 x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标 系. 依题意,得 B(0,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A(0,0,1),M(0,1 2,1 2), 则BC → =(1,1,0),BM → =(0,1 2,1 2),AD → =(0,1,-1). 设平面 MBC 的法向量 n=(x0,y0,z0), 则Error!即Error! 取 z0=1,得平面 MBC 的一个法向量 n=(1,-1,1). 设直线 AD 与平面 MBC 所成角为 θ, 则 sin θ=|cos〈n,AD → 〉|= |n·AD → | |n||AD → | = 6 3 , 即直线 AD 与平面 MBC 所成角的正弦值为 6 3 . 题型三 求二面角 例 3 (2016·山东)在如图所示的圆台中,AC 是下底面圆 O 的直径,EF 是上底面圆 O′的直 径,FB 是圆台的一条母线. (1)已知 G,H 分别为 EC,FB 的中点,求证:GH∥平面 ABC; (2)已知 EF=FB=1 2AC=2 3,AB=BC,求二面角 FBCA 的余弦值. (1)证明 设 FC 的中点为 I,连接 GI,HI, 在△CEF 中,因为点 G 是 CE 的中点,所以 GI∥EF. 又 EF∥OB,所以 GI∥OB. 在△CFB 中,因为 H 是 FB 的中点,所以 HI∥BC,又 HI∩GI=I, 所以平面 GHI∥平面 ABC. 因为 GH⊂平面 GHI,所以 GH∥平面 ABC. (2)解 连接 OO′,则 OO′⊥平面 ABC.又 AB=BC,且 AC 是圆 O 的直径,所以 BO⊥AC. 以 O 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz. 由题意得 B(0,2 3,0), C(-2 3,0,0).过点 F 作 FM 垂直 OB 于点 M, 所以 FM= FB2-BM2=3,可得 F(0,3,3). 故BC → =(-2 3,-2 3,0),BF → =(0,- 3,3). 设 m=(x,y,z)是平面 BCF 的一个法向量. 由Error!可得Error! 可得平面 BCF 的一个法向量 m=(-1,1, 3 3 ), 因为平面 ABC 的一个法向量 n=(0,0,1), 所以 cos〈m,n〉= m·n |m||n|= 7 7 . 所以二面角 FBCA 的余弦值为 7 7 . 思维升华 利用向量法计算二面角大小的常用方法 (1)找法向量法:分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量,然后通过两个平面的法 向量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际图形判断所求角的大小. (2)找与棱垂直的方向向量法:分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点 的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.  (2016·天津)如图,正方形 ABCD 的中心为 O,四边形 OBEF 为矩形,平面 OBEF⊥平面 ABCD,点 G 为 AB 的中点,AB=BE=2. (1)求证:EG∥平面 ADF; (2)求二面角 O—EF—C 的正弦值; (3)设 H 为线段 AF 上的点,且 AH=2 3HF,求直线 BH 和平面 CEF 所成角的正弦值. (1)证明 依题意,OF⊥平面 ABCD, 如图,以 O 为原点,分别以AD → ,BA → ,OF → 的方向为 x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐 标系,依题意可得 O(0,0,0),A(-1,1,0),B(-1,-1,0),C(1,-1,0), D(1,1,0),E(-1,-1,2),F(0,0,2),G(-1,0,0). 依题意,AD → =(2,0,0),AF → =(1,-1,2). 设 n1=(x1,y1,z1)为平面 ADF 的法向量, 则Error! 即Error! 不妨取 z1=1,可得 n1=(0,2,1), 又EG → =(0,1,-2),可得EG → ·n1=0, 又因为直线 EG⊄平面 ADF,所以 EG∥平面 ADF. (2)解 易证 OA → =(-1,1,0)为平面 OEF 的一个法向量,依题意, EF → =(1,1,0), CF → =(- 1,1,2). 设 n2=(x2,y2,z2)为平面 CEF 的法向量, 则Error! 即Error! 不妨取 x2=1,可得 n2=(1,-1,1). 因此有 cos〈OA → ,n2〉= OA → ·n2 |OA → |·|n2| =- 6 3 , 于是 sin〈OA → ,n2〉= 3 3 . 所以二面角 O—EF—C 的正弦值为 3 3 . (3)解 由 AH=2 3HF,得 AH=2 5AF. 因为AF → =(1,-1,2), 所以AH → =2 5AF → =(2 5,-2 5,4 5), 进而有 H(-3 5,3 5,4 5),从而BH → =(2 5,8 5,4 5). 因此 cos〈BH → ,n2〉= BH → ·n2 |BH → ||n2| =- 7 21. 所以直线 BH 和平面 CEF 所成角的正弦值为 7 21. 题型四 求空间距离(供选用) 例 4 如图,△BCD 与△MCD 都是边长为 2 的正三角形,平面 MCD⊥平面 BCD,AB⊥平 面 BCD,AB=2 3,求点 A 到平面 MBC 的距离. 解 如图,取 CD 的中点 O,连接 OB,OM,因为△BCD 与△MCD 均为正三角形,所以 OB⊥CD,OM⊥CD,又平面 MCD⊥平面 BCD,所以 MO⊥平面 BCD. 以 O 为坐标原点,直线 OC,BO,OM 分别为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系 Oxyz. 因为△BCD 与△MCD 都是边长为 2 的正三角形, 所以 OB=OM= 3, 则 O(0,0,0),C(1,0,0),M(0,0, 3),B(0,- 3,0),A(0,- 3,2 3), 所以BC → =(1,3,0),BM → =(0,3, 3). 设平面 MBC 的法向量为 n=(x,y,z), 由Error!得Error!即Error! 取 x= 3,可得平面 MBC 的一个法向量为 n=( 3,-1,1). 又BA → =(0,0,2 3), 所以所求距离为 d= |BA → ·n| |n| =2 15 5 . 思维升华 求点面距一般有以下三种方法: (1)作点到面的垂线,点到垂足的距离即为点到平面的距离; (2)等体积法; (3)向量法.其中向量法在易建立空间直角坐标系的规则图形中较简便.  (2016·四川成都外国语学校月考)如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,侧面 PAD⊥底面 ABCD,侧棱 PA=PD= 2,PA⊥PD,底面 ABCD 为直角梯形,其中 BC∥AD, AB⊥AD,AB=BC=1,O 为 AD 中点. (1)求直线 PB 与平面 POC 所成角的余弦值; (2)求 B 点到平面 PCD 的距离; (3)线段 PD 上是否存在一点 Q,使得二面角 Q-AC-D 的余弦值为 6 3 ?若存在,求出PQ QD的 值;若不存在,请说明理由. 解 (1)在△PAD 中,PA=PD,O 为 AD 中点, ∴PO⊥AD. 又∵侧面 PAD⊥底面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD,PO⊂平面 PAD, ∴PO⊥平面 ABCD. 在△PAD 中,PA⊥PD,PA=PD= 2,∴AD=2. 在直角梯形 ABCD 中,O 为 AD 的中点,AB⊥AD, ∴OC⊥AD. 以 O 为坐标原点,OC 为 x 轴,OD 为 y 轴,OP 为 z 轴建立空间直角坐标系,如图所示, 则 P(0,0,1),A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0), ∴PB → =(1,-1,-1). 易证 OA⊥平面 POC, ∴OA → =(0,-1,0)为平面 POC 的法向量, cos〈PB → ,OA → 〉= PB → ·OA → |PB → ||OA → | = 3 3 , ∴PB 与平面 POC 所成角的余弦值为 6 3 . (2)∵PB → =(1,-1,-1), 设平面 PCD 的法向量为 u=(x,y,z), 则Error! 取 z=1,得 u=(1,1,1). 则 B 点到平面 PCD 的距离 d= |PB → ·u| |u| = 3 3 . (3)假设存在,且设PQ → =λPD → (0≤λ≤1). ∵PD → =(0,1,-1),∴OQ → -OP → =PQ → =(0,λ,-λ), ∴OQ → =(0,λ,1-λ), ∴Q(0,λ,1-λ). 设平面 CAQ 的法向量为 m=(x,y,z), 则Error! 取 z=1+λ,得 m=(1-λ,λ-1,λ+1). 平面 CAD 的一个法向量为 n=(0,0,1), ∵二面角 Q-AC-D 的余弦值为 6 3 , ∴|cos〈m,n〉|=|m·n| |m||n|= 6 3 . 整理化简,得 3λ2-10λ+3=0. 解得 λ=1 3或 λ=3(舍去), ∴存在,且PQ QD=1 2. 6.利用空间向量求解空间角 典例 (12 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC =AP=2,AB=1,点 E 为棱 PC 的中点. (1)证明:BE⊥DC; (2)求直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值; (3)若 F 为棱 PC 上一点,满足 BF⊥AC,求二面角 F-AB-P 的余弦值. 规范解答 (1)证明 依题意,以点 A 为原点建立空间直角坐标系如图,可得 B(1,0,0),C(2,2,0), D(0,2,0),P(0,0,2).[1 分] 由 E 为棱 PC 的中点,得 E(1,1,1). BE → =(0,1,1),DC → =(2,0,0), 故BE → ·DC → =0,所以 BE⊥DC.[3 分] (2)解 BD → =(-1,2,0), PB → =(1,0,-2). 设 n=(x,y,z)为平面 PBD 的一个法向量, 则Error!即Error!不妨令 y=1,[5 分] 可得 n=(2,1,1). 于是有 cos〈n,BE → 〉= n·BE → |n||BE → | = 2 6 × 2 = 3 3 , 所以,直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值为 3 3 .[7 分] (3)解 BC → =(1,2,0),CP → =(-2,-2,2),AC → =(2,2,0),AB → =(1,0,0). 由点 F 在棱 PC 上,设CF → =λCP → ,0≤λ≤1, 故BF → =BC → +CF → =BC → +λCP → =(1-2λ,2-2λ,2λ). 由 BF⊥AC,得BF → ·AC → =0, 因此,2(1-2λ)+2(2-2λ)=0,解得 λ=3 4, 即BF → =(-1 2,1 2,3 2).[9 分] 设 n1=(x,y,z)为平面 FAB 的一个法向量, 则Error! 即Error! 不妨令 z=1,可得 n1=(0,-3,1). 取平面 ABP 的法向量 n2=(0,1,0), 则 cos〈n1,n2〉= n1·n2 |n1||n2|= -3 10 × 1 =-3 10 10 . 易知,二面角 F-AB-P 是锐角, 所以其余弦值为3 10 10 .[12 分] 利用向量求空间角的步骤: 第一步:建立空间直角坐标系; 第二步:确定点的坐标; 第三步:求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标; 第四步:计算向量的夹角(或函数值); 第五步:将向量夹角转化为所求的空间角; 第六步:反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范. 1.若直线 l 的方向向量与平面 α 的法向量的夹角等于 120°,则直线 l 与平面 α 所成的角等 于(  ) A.120° B.60° C.30° D.60°或 30° 答案 C 解析 设直线 l 与平面 α 所成的角为 β,直线 l 与平面 α 的法向量的夹角为 γ. 则 sin β=|cos γ|=|cos 120°|=1 2. 又∵β∈[0°,90°],∴β=30°,故选 C. 2.(2016·广州模拟)二面角的棱上有 A,B 两点,直线 AC,BD 分别在这个二面角的两个半 平面内,且都垂直于 AB.已知 AB=4,AC=6,BD=8,CD=217,则该二面角的大小为(  ) A.150° B.45° C.60° D.120° 答案 C 解析 如图所示,二面角的大小就是〈AC → ,BD → 〉. ∵CD → =CA → +AB → +BD → , ∴CD → 2=CA → 2+AB → 2+BD → 2+2(CA → ·AB → +CA → ·BD → +AB → ·BD → )=CA → 2+AB → 2+BD → 2+2CA → ·BD → . ∴CA → ·BD → =1 2[(2 17)2-62-42-82]=-24. 因此AC → ·BD → =24, cos〈AC → ,BD → 〉= AC → ·BD → |AC → ||BD → | =1 2, ∴〈AC → ,BD → 〉=60°,故二面角为 60°. 3.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 E 为 BB1 的中点,则平面 A1ED 与平面 ABCD 所成的 锐二面角的余弦值为(  ) A.1 2 B.2 3 C. 3 3 D. 2 2 答案 B 解析 以 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz,设棱长为 1, 则 A1(0,0,1),E(1,0,1 2),D(0,1,0), ∴A1D → =(0,1,-1),A1E → =(1,0,-1 2). 设平面 A1ED 的一个法向量为 n1=(1,y,z), 则有Error! 即Error!∴Error!∴n1=(1,2,2). ∵平面 ABCD 的一个法向量为 n2=(0,0,1), ∴cos〈n1,n2〉= 2 3 × 1=2 3, 即所成的锐二面角的余弦值为2 3. 4.(2016·长春模拟)在三棱锥 P-ABC 中,PA⊥平面 ABC,∠BAC=90°,D,E,F 分别是 棱 AB,BC,CP 的中点,AB=AC=1,PA=2,则直线 PA 与平面 DEF 所成角的正弦值为(  ) A.1 5 B.2 5 5 C. 5 5 D.2 5 答案 C 解析 以 A 为原点,AB,AC,AP 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示的空间直 角坐标系, 由 AB=AC=1,PA=2, 得 A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,2),D(1 2,0,0),E(1 2,1 2,0),F(0,1 2,1). ∴PA → =(0,0,-2),DE → =(0,1 2,0),DF → =(-1 2,1 2,1). 设平面 DEF 的法向量为 n=(x,y,z), 则由Error!得Error! 取 z=1,则 n=(2,0,1), 设直线 PA 与平面 DEF 所成的角为 θ, 则 sin θ= |PA → ·n| |PA → ||n| = 5 5 , ∴直线 PA 与平面 DEF 所成角的正弦值为 5 5 .故选 C. 5.已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,CC1=2 2,E 为 CC1 的中点,则直线 AC1 到平面 BDE 的距离为(  ) A.2 B. 3 C. 2 D.1 答案 D 解析 以 D 为原点,DA,DC,DD1 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系(如 图), 则 D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),C1(0,2,2 2),E(0,2, 2),易知 AC1∥平面 BDE. 设 n=(x,y,z)是平面 BDE 的法向量, 则Error! 取 y=1,则 n=(-1,1,- 2)为平面 BDE 的一个法向量, 又DA → =(2,0,0), ∴点 A 到平面 BDE 的距离是 d= |n·DA → | |n| = |-1 × 2+0+0| (-1)2+12+(- 2)2 =1. 故直线 AC1 到平面 BDE 的距离为 1. 6.如图所示,三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱长为 3,底面边长 A1C1=B1C1=1,且∠A1C1B1=90°, D 点在棱 AA1 上且 AD=2DA1,P 点在棱 C1C 上,则PD → ·PB1→ 的最小值为(  ) A.5 2 B.-1 4 C.1 4 D.-5 2 答案 B 解析 建立如图所示的空间直角坐标系,则 D(1,0,2),B1(0,1,3), 设 P(0,0,z),则PD → =(1,0,2-z),PB1→ =(0,1,3-z), ∴PD → ·PB1→ =0+0+(2-z)(3-z)=(z-5 2)2-1 4, 故当 z=5 2时,PD → ·PB1→ 取得最小值为-1 4. 7.(2016·合肥模拟)在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,BC=AA1=1,则直线 D1C1 与平 面 A1BC1 所成角的正弦值为________. 答案 1 3 解析 如图,建立空间直角坐标系 Dxyz, 则 D1(0,0,1),C1(0,2,1),A1(1,0,1),B(1,2,0). ∴D1C1→ =(0,2,0), A1C1→ =(-1,2,0),A1B → =(0,2,-1), 设平面 A1BC1 的一个法向量为 n=(x,y,z), 由Error! 得Error!令 y=1,得 n=(2,1,2), 设直线 D1C1 与平面 A1BC1 所成角为 θ,则 sin θ=|cos〈D1C1→ ,n〉|= |D1C1→ ·n| |D1C1→ ||n| = 2 2 × 3=1 3, 即直线 D1C1 与平面 A1BC1 所成角的正弦值为1 3. 8.在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=2AB,则直线 CD 与平面 BDC1 所成角的正弦值 等于________. 答案 2 3 解析 以 D 为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图,设 AA1=2AB=2,则 D(0,0,0), C(0,1,0),B(1,1,0),C1(0,1,2),则DC → =(0,1,0),DB → =(1,1,0),DC1→ =(0,1,2). 设平面 BDC1 的法向量为 n=(x,y,z),则 n⊥DB → ,n⊥DC1→ , 所以有Error!令 y=-2,得平面 BDC1 的一个法向量为 n=(2,-2,1). 设 CD 与平面 BDC1 所成的角为 θ, 则 sin θ=|cos〈n,DC → 〉|= |n·DC → | |n||DC → | =2 3. 9.(2016·石家庄模拟)已知点 E,F 分别在正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 BB1,CC1 上,且 B1E =2EB,CF=2FC1,则平面 AEF 与平面 ABC 所成的二面角的正切值为________. 答案  2 3 解析 如图,建立空间直角坐标系 Dxyz, 设 DA=1,由已知条件得 A(1,0,0),E(1,1,1 3),F(0,1,2 3),AE → =(0,1,1 3),AF → =(-1,1,2 3), 设平面 AEF 的法向量为 n=(x,y,z), 平面 AEF 与平面 ABC 所成的二面角为 θ,由图知 θ 为锐角, 由Error!得Error! 令 y=1,z=-3,x=-1,则 n=(-1,1,-3), 取平面 ABC 的法向量为 m=(0,0,-1), 则 cos θ=|cos〈n,m〉|=3 11 11 ,tan θ= 2 3 . 10.(2016·南昌模拟)如图(1),在边长为 4 的菱形 ABCD 中,∠DAB=60°,点 E,F 分别是 边 CD,CB 的中点,AC∩EF=O,沿 EF 将△CEF 翻折到△PEF,连接 PA,PB,PD,得 到如图(2)的五棱锥 P-ABFED,且 PB= 10. (1)求证:BD⊥平面 POA; (2)求二面角 B-AP-O 的正切值. (1)证明 ∵点 E,F 分别是边 CD,CB 的中点, ∴BD∥EF. ∵菱形 ABCD 的对角线互相垂直, ∴BD⊥AC,∴EF⊥AC, ∴EF⊥AO,EF⊥PO. ∵AO⊂平面 POA, PO⊂平面 POA,AO∩PO=O, ∴EF⊥平面 POA,∴BD⊥平面 POA. (2)解 设 AO∩BD=H,连接 BO. ∵∠DAB=60°,∴△ABD 为等边三角形, ∴BD=4,BH=2,HA=2 3,HO=PO= 3, 在 Rt△BHO 中,BO= HB2+HO2= 7. 在△PBO 中,BO2+PO2=10=PB2, ∴PO⊥BO. ∵PO⊥EF,EF∩BO=O,EF⊂平面 BFED,BO⊂平面 BFED, ∴PO⊥平面 BFED. 以 O 为原点,OF 所在直线为 x 轴,AO 所在直线为 y 轴,OP 所在直线为 z 轴,建立空间直 角坐标系 Oxyz,如图所示, 则 A(0,-3 3,0),B(2,- 3,0),P(0,0, 3),H(0,- 3,0), ∴AP → =(0,3 3, 3),AB → =(2,2 3,0). 设平面 PAB 的法向量为 n=(x,y,z), 由 n⊥AP → ,n⊥AB → , 得Error! 令 y=1,得 z=-3,x=- 3. ∴平面 PAB 的一个法向量为 n=(- 3,1,-3). 由(1)知平面 PAO 的一个法向量为BH → =(-2,0,0), 设二面角 B-AP-O 的平面角为 θ, 则 cos θ=|cos〈n,BH → 〉|= n·BH → |n||BH → | = 2 3 13 × 2 = 39 13 , ∴sin θ= 1-cos2θ= 130 13 , tan θ=sin θ cos θ= 30 3 , ∴二面角 B-AP-O 的正切值为 30 3 . 11.(2016·四川)如图,在四棱锥 PABCD 中,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD=1 2 AD.E 为棱 AD 的中点,异面直线 PA 与 CD 所成的角为 90°. (1)在平面 PAB 内找一点 M,使得直线 CM∥平面 PBE,并说明理由; (2)若二面角 PCDA 的大小为 45°,求直线 PA 与平面 PCE 所成角的正弦值. 解 (1)在梯形 ABCD 中,AB 与 CD 不平行.延长 AB,DC,相交于点 M(M∈平面 PAB), 点 M 即为所求的一个点.理由如下: 由已知,BC∥ED 且 BC=ED. 所以四边形 BCDE 是平行四边形, 从而 CM∥EB. 又 EB⊂平面 PBE,CM⊄平面 PBE, 所以 CM∥平面 PBE. (说明:延长 AP 至点 N,使得 AP=PN,则所找的点可以是直线 MN 上任意一点) (2)方法一 由已知,CD⊥PA,CD⊥AD,PA∩AD=A, 所以 CD⊥平面 PAD,从而 CD⊥PD. 所以∠PDA 是二面角 PCDA 的平面角, 所以∠PDA=45°, 设 BC=1,则在 Rt△PAD 中,PA=AD=2. 过点 A 作 AH⊥CE,交 CE 的延长线于点 H,连接 PH, 易知 PA⊥平面 ABCD, 从而 PA⊥CE,且 PA∩AH=A,于是 CE⊥平面 PAH. 又 CE⊂平面 PCE, 所以平面 PCE⊥平面 PAH. 过 A 作 AQ⊥PH 于 Q,则 AQ⊥平面 PCE, 所以∠APH 是 PA 与平面 PCE 所成的角. 在 Rt△AEH 中,∠AEH=45°,AE=1, 所以 AH= 2 2 . 在 Rt△PAH 中,PH= PA2+AH2=3 2 2 . 所以 sin∠APH=AH PH=1 3. 方法二 由已知,CD⊥PA,CD⊥AD,PA∩AD=A, 所以 CD⊥平面 PAD. 于是 CD⊥PD. 从而∠PDA 是二面角 PCDA 的平面角.所以∠PDA=45°. 由∠PAB=90°,且 PA 与 CD 所成的角为 90°,可得 PA⊥平面 ABCD. 设 BC=1,则在 Rt△PAD 中,PA=AD=2. 作 Ay⊥AD,以 A 为原点,以AD → ,AP → 的方向分别为 x 轴,z 轴的正方向,建立如图所示的空 间直角坐标系 Axyz, 则 A(0,0,0),P(0,0,2),C(2,1,0),E(1,0,0). 所以PE → =(1,0,-2),EC → =(1,1,0),AP → =(0,0,2). 设平面 PCE 的法向量为 n=(x,y,z). 由Error!得Error!设 x=2,解得 n=(2,-2,1). 设直线 PA 与平面 PCE 所成角为 α, 则 sin α=|cos〈n,AP → 〉|= |n·AP → | |n||AP → | = 2 2 × 22+(-2)2+12 =1 3. 所以直线 PA 与平面 PCE 所成角的正弦值为1 3. *12.(2017·潍坊月考)如图,边长为 2的正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在的平面互相垂直.已 知 AB∥CD,AB⊥BC,DC=BC=1 2AB=1,点 M 在线段 EC 上. (1)证明:平面 BDM⊥平面 ADEF; (2)判断点 M 的位置,使得平面 BDM 与平面 ABF 所成的锐二面角为π 3. (1)证明 ∵DC=BC=1,DC⊥BC,∴BD= 2, 又 AD= 2,AB=2,∴AD2+BD2=AB2, ∴∠ADB=90°,∴AD⊥BD. 又平面 ADEF⊥平面 ABCD,平面 ADEF∩平面 ABCD=AD, ∴BD⊥平面 ADEF, 又 BD⊂平面 BDM, ∴平面 BDM⊥平面 ADEF. (2)解 在平面 DAB 内过点 D 作 DN⊥AB,垂足为 N, ∵AB∥CD,∴DN⊥CD, 又平面 ADEF⊥平面 ABCD,平面 ADEF∩平面 ABCD=AD,DE⊥AD, ∴ED⊥平面 ABCD,∴DN⊥ED, 以 D 为坐标原点,DN 所在的直线为 x 轴,DC 所在的直线为 y 轴,DE 所在的直线为 z 轴, 建立空间直角坐标系如图所示. ∴B(1,1,0),C(0,1,0),E(0,0, 2),N(1,0,0), 设 M(x0,y0,z0),EM → =λEC → (0≤λ<1), ∴(x0,y0,z0- 2)=λ(0,1,- 2), ∴x0=0,y0=λ,z0= 2(1-λ), ∴M(0,λ, 2(1-λ)). 设平面 BDM 的法向量为 n1=(x,y,z), 则Error! 又DM → =(0,λ, 2(1-λ)),DB → =(1,1,0), ∴Error! 令 x=1,得 y=-1,z= λ 2(1-λ), 故 n1=(1,-1, λ 2(1-λ))是平面 BDM 的一个法向量. ∵平面 ABF 的一个法向量为DN → =(1,0,0), ∴|cos〈n1,DN → 〉|= 1 1+1+ λ2 2(1-λ)2 =1 2,得 λ=2 3, ∴M(0,2 3, 2 3 ), ∴点 M 在线段 CE 的三等分点且靠近点 C 处.