高中数学函数知识点梳理 3页

高中数学函数知识点梳理 1. .函数的单调性 (1)设   2121 ,, xxbaxx  那么  1 2 1 2( ) ( ) ( ) 0x x f x f x     baxfxx xfxf ,)(0)()( 21 21 在  上是增函数；  1 2 1 2( ) ( ) ( ) 0x x f x f x     baxfxx xfxf ,)(0)()( 21 21 在  上是减函数. (2)设函数 )(xfy  在某个区间内可导，如果 0)(  xf ，则 )(xf 为增函数；如果 0)(  xf ，则 为减函数. 注：如果函数 )(xf 和 )(xg 都是减函数,则在公共定义域内,和函数 )()( xgxf  也是减 函数;如果 函数 )(ufy  和 )(xgu  在 其对应 的定义域 上都是减函数 ,则复 合函数 )]([ xgfy  是增函数. 2. 奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称;反过来，如果一个函数的图 象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于 y 轴对称，那么这个函 数是偶函数． 注：若函数 )(xfy  是偶函数，则 )()( axfaxf  ；若函数 )( axfy  是偶 函数，则 )()( axfaxf  . 注：对于函数 ( Rx ), )()( xbfaxf  恒成立,则函数 )(xf 的对称轴是 函数 2 bax  ;两个函数 )( axfy  与 )( xbfy  的图象关于直线 2 bax  对称. 注：若 )()( axfxf  , 则 函 数 的 图 象 关 于 点 )0,2(a 对称; 若 )()( axfxf  ,则函数 为周期为 a2 的周期函数. 3. 多项式函数 1 10() nn nnP x a x a x a     的奇偶性 多项式函数 ()Px是奇函数  的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数 是偶函数 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数 ()y f x 的图象的对称性 (1)函数 的图象关于直线 xa 对称 ( ) ( )f a x f a x    (2 ) ( )f a x f x   . (2)函数 的图象关于直线 2 abx  对称 ( ) ( )f a mx f b mx    ( ) ( )f a b mx f mx    . 4. 两个函数图象的对称性 (1)函数 与函数 ()y f x的图象关于直线 0x  (即 y 轴)对称. (2)函数 ()y f mx a与函数 ()y f b mx的图象关于直线 2 abx m  对称. (3)函数 和 )(1 xfy  的图象关于直线 y=x 对称. 25.若将函数 的图象右移 a 、上移b 个单位，得到函数 baxfy  )( 的图 象；若将曲线 0),( yxf 的图象右移 a 、上移b 个单位，得到曲线 0),(  byaxf 的图 象. 5. 互为反函数的两个函数的关系 abfbaf   )()( 1 . 27.若 函 数 )( bkxfy  存 在 反 函 数 ,则 其 反 函 数 为 ])([1 1 bxfky   ,并 不 是 )([ 1 bkxfy   ,而函数 )([ 1 bkxfy   是 ])([1 bxfky  的反函数. 6. 几个常见的函数方程 (1)正比例函数 ()f x cx , ( ) ( ) ( ), (1)f x y f x f y f c    . (2)指数函数 () xf x a , ( ) ( ) ( ), (1) 0f x y f x f y f a    . (3)对数函数 ( ) logaf x x , ( ) ( ) ( ), ( ) 1( 0, 1)f xy f x f y f a a a     . (4)幂函数 ()f x x , '( ) ( ) ( ), (1)f xy f x f y f . (5)余弦函数 ( ) cosf x x ,正弦函数 ( ) sing x x ， ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x y f x f y g x g y   ， 0 ()(0) 1,lim 1 x gxf x . 7. 几个函数方程的周期(约定 a>0) （1） )()( axfxf  ，则 )(xf 的周期 T=a； （2） 0)()(  axfxf ， 或 )0)(()( 1)(  xfxfaxf ， 或 1() ()f x a fx   ( ( ) 0)fx , 或  21 ( ) ( ) ( ),( ( ) 0,1 )2 f x f x f x a f x     ,则 的周期 T=2a； (3) )0)(()( 11)(  xfaxfxf ，则 的周期 T=3a； (4) )()(1 )()()( 21 21 21 xfxf xfxfxxf   且 1 2 1 2( ) 1( ( ) ( ) 1,0 | | 2 )f a f x f x x x a      ，则 的周期 T=4a； (5) ( ) ( ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 )f x f x a f x a f x a f x a       ( ) ( ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 )f x f x a f x a f x a f x a     ,则 的周期 T=5a； (6) )()()( axfxfaxf  ，则 的周期 T=6a. 8. 分数指数幂 (1) 1m n n m a a  （ 0, ,a m n N，且 1n  ）. (2) 1m n m n a a   （ ，且 ）. 9. 根式的性质 （1）()nn aa . （2）当 n 为奇数时， n naa ； 当 n 为偶数时， ,0|| ,0 n n aaaa aa  . 10. 有理指数幂的运算性质 (1) ( 0, , )r s r sa a a a r s Q    . (2)( ) ( 0, , )r s rsa a a r s Q   . (3)( ) ( 0, 0, )r r rab a b a b r Q    . 注：若 a＞0，p 是一个无理数，则 ap 表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性 质，对于无理数指数幂都适用. 33.指数式与对数式的互化式 log b a N b a N   ( 0, 1, 0)a a N   . 34.对数的换底公式 loglog log m a m NN a ( 0a  ,且 1a  , 0m  ,且 1m  , 0N  ). 推论 log logm n aa nbbm ( ,且 1a  , ,0mn ,且 , 1n  , ). 11. 对数的四则运算法则 若 a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则 (1)log ( ) log loga a aMN M N; (2)log log loga a a M MNN ; (3)log log ( )n aaM n M n R. 注：设函数 )0)((log)( 2  acbxaxxf m ,记 acb 42  .若 )(xf 的定义域为 R ,则 0a ，且 0 ;若 的值域为 ,则 ，且 0 .对于 0a 的情形,需要 单独检验. 12. 对数换底不等式及其推论 若 , 0b  , 0x  , 1x a ,则函数 log ( )axy bx (1)当 ab 时,在 1(0, )a 和 1( , )a  上 为增函数. (2)(2)当 ab 时,在 和 上 为减函数. 推论:设 1nm， 0p  ， 0a  ，且 1a  ，则 （1）log ( ) logm p mn p n  . （2） 2log log log 2a a a mnmn  .