高中数学人教a版必修二 第一章 空间几何体 学业分层测评5 word版含答案 7页

学业分层测评(五) (建议用时：45 分钟) [达标必做] 一、选择题 1．圆台 OO′的母线长为 6，两底面半径分别为 2,7，则圆台 OO′ 的侧面积是( ) A．54π B．8π C．4π D．16π 【解析】 S 圆台侧＝π(r＋r′)l＝π(7＋2)×6＝54π. 【答案】 A 2．(2015·烟台高一检测)如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是 4π，那么圆柱的体积等于( ) A．π B．2π C．4π D．8π 【解析】 设轴截面正方形的边长为 a， 由题意知 S 侧＝πa·a＝πa2. 又∵S 侧＝4π，∴a＝2. ∴V 圆柱＝π×2＝2π. 【答案】 B 3．如图 137，某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方 形，且体积为1 2 ，则该几何体的俯视图可以是( ) 图 137 【解析】 由三视图的概念可知，此几何体高为 1，其体积 V＝Sh ＝S＝1 2 ，即底面积 S＝1 2 ，结合选项可知，俯视图为三角形． 【答案】 C 4．(2016·天津高一检测)一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方 形，其正(主)视图如图 138 所示，该四棱锥的侧面积和体积分别是 ( ) 图 138 A．4 5，8 B．4 5，8 3 C．4( 5＋1)，8 3 D．8,8 【解析】 由题图知，此棱锥高为 2，底面正方形的边长为 2，V ＝ 1 3 ×2×2×2 ＝ 8 3 ， 侧 面 三 角 形 的 高 h ＝ 22＋12 ＝ 5 ， S 侧 ＝ 4× 1 2 ×2× 5 ＝4 5. 【答案】 B 5．(2015·安徽高考)一个四面体的三视图如图 139 所示，则该四 面体的表面积是( ) 图 139 A．1＋ 3 B．2＋ 3 C．1＋2 2 D．2 2 【解析】 根据三视图还原几何体如图所示，其中侧面 ABD⊥底面 BCD，另 两个侧面 ABC，ACD 为等边三角形，则有 S 表 面 积 ＝2×1 2 ×2×1＋ 2× 3 4 ×( 2)2＝2＋ 3.故选 B. 【答案】 B 二、填空题 6．一个棱柱的侧面展开图是三个全等的矩形，矩形的长和宽分别 为 6 cm,4 cm，则该棱柱的侧面积为________cm2. 【导学号：09960026】 【解析】 棱柱的侧面积 S 侧＝3×6×4＝72(cm2)． 【答案】 72 7．(2015·天津高考)一个几何体的三视图如图 1310 所示(单位： m)，则该几何体的体积为________m3. 图 1310 【解析】 由几何体的三视图可知该几何体由两个圆锥和一个圆 柱构成，其中圆锥的底面半径和高均为 1，圆柱的底面半径为 1 且其高 为 2，故所求几何体的体积为 V＝1 3π×12×1×2＋π×12×2＝8 3π. 【答案】 8 3π 三、解答题 8．一个三棱柱的底面是边长为 3 的正三角形，侧棱垂直于底面， 它的三视图如图 1311 所示，AA1＝3. (1)请画出它的直观图； (2)求这个三棱柱的表面积和体积． 图 1311 【解】 (1)直观图如图所示． (2)由题意可知， S△ABC＝1 2 ×3×3 3 2 ＝9 3 4 . S 侧＝3×AC×AA1＝3×3×3＝27. 故这个三棱柱的表面积为 27＋2×9 3 4 ＝27＋9 3 2 . 这个三棱柱的体积为9 3 4 ×3＝27 3 4 . 9．已知圆台的高为 3，在轴截面中，母线 AA1 与底面圆直径 AB 的夹角为 60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，求圆台的体积. 【导学号：09960027】 【解】 如图所示，作轴截面 A1ABB1，设圆台的上、下底面半径 和母线长分别为 r、R，l，高为 h. 作 A1D⊥AB 于点 D，则 A1D＝3. 又∵∠A1AB＝60°，∴AD＝ A1D tan 60° ， 即 R－r＝3× 3 3 ，∴R－r＝ 3. 又∵∠BA1A＝90°，∴∠BA1D＝60°. ∴BD＝A1D·tan 60°，即 R＋r＝3× 3， ∴R＋r＝3 3，∴R＝2 3，r＝ 3，而 h＝3， ∴V 圆台＝1 3πh(R2＋Rr＋r2) ＝1 3π×3×[(2 3)2＋2 3× 3＋( 3)2] ＝21π. 所以圆台的体积为 21π. [自我挑战] 10．(2016·蚌埠市高二检测)圆锥的侧面展开图是圆心角为 120°、 半径为 2 的扇形，则圆锥的表面积是________. 【导学号：09960028】 【解析】 因为圆锥的侧面展开图是圆心角为 120°、半径为 2 的 扇形， 所以圆锥的侧面积等于扇形的面积＝120×π×22 360 ＝4 3π， 设圆锥的底面圆的半径为 r， 因为扇形的弧长为2π 3 ×2＝4 3π， 所以 2πr＝4 3π，所以 r＝2 3 ， 所以底面圆的面积为4 9π.所以圆锥的表面积为16 9 π. 【答案】 16 9 π 11．若 E，F 是三棱柱 ABCA1B1C1 侧棱 BB1 和 CC1 上的点，且 B1E ＝CF，三棱柱的体积为 m，求四棱锥 ABEFC 的体积． 【解】 如图所示， 连接 AB1，AC1. ∵B1E＝CF， ∴梯形 BEFC 的面积等于梯形 B1EFC1 的面积． 又四棱锥 ABEFC 的高与四棱锥 AB1EFC1 的高相等， ∴VABEFC＝VAB1EFC1＝1 2VABB1C1C， 又 VAA1B1C1＝1 3S△A1B1C1·h， VABCA1B1C1＝S△A1B1C1·h＝m， ∴VAA1B1C1＝m 3 ， ∴VABB1C1C＝VABCA1B1C1－VAA1B1C1＝2 3m， ∴VABEFC＝1 2 ×2 3m＝m 3. 即四棱锥 ABEFC 的体积是m 3.