高考数学专题复习练习：第四章 4_7仰角和俯角 16页

‎1．仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)．‎ ‎2．方向角 相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等．‎ ‎3．方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．‎ ‎【知识拓展】‎ ‎1．三角形的面积公式：‎ S＝ (p＝)，‎ S＝＝rp(R为三角形外接圆半径，r为三角形内切圆半径，p＝)．‎ ‎2．坡度(又称坡比)：坡面的垂直高度与水平长度之比．‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(　×　)‎ ‎(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为[0，]．(　×　)‎ ‎(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．(　√　)‎ ‎(4)方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围一般是[0，)．(　√　)‎ ‎1．(教材改编)如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为(　　)‎ A．50 m B．50 m C．25 m D. m 答案　A 解析　由正弦定理得＝，‎ 又∵B＝30°，‎ ‎∴AB＝＝＝50(m)．‎ ‎2．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的(　　)‎ A．北偏东15° B．北偏西15°‎ C．北偏东10° D．北偏西10°‎ 答案　B 解析　如图所示，∠ACB＝90°，‎ 又AC＝BC，‎ ‎∴∠CBA＝45°，而β＝30°，‎ ‎∴α＝90°－45°－30°＝15°，‎ ‎∴点A在点B的北偏西15°.‎ ‎3．(教材改编)海面上有A，B，C三个灯塔，AB＝10 n mile，从A望C和B成60°视角，从B望C和A成75°视角，则BC等于(　　)‎ A．10 n mile B. n mile C．5 n mile D．5 n mile 答案　D 解析　如图，在△ABC中，‎ AB＝10，A＝60°，B＝75°，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴BC＝5.‎ ‎4.如图所示，D，C，B三点在地面的同一直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点的仰角分别为60°，30°，则A点离地面的高度AB＝________.‎ 答案　a 解析　由已知得∠DAC＝30°，△ADC为等腰三角形，AD＝a，又在Rt△ADB中，AB＝AD＝a.‎ ‎5．在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东30°，风速是20 km/h；水的流向是正东，流速是20 km/h，若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的速度的方向为北偏东________，速度的大小为________ km/h.‎ 答案　60°　20 解析　如图，‎ ‎∠AOB＝60°，由余弦定理知OC2＝202＋202－800cos 120°＝1 200，故OC＝20，∠COY＝30°＋‎ ‎30°＝60°.‎ 题型一　求距离、高度问题 例1　(1)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高AD是60 m，则河流的宽度BC等于(　　)‎ A．240(－1) m B．180(－1) m C．120(－1) m D．30(＋1) m ‎(2)(2016·三明模拟)在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高是______ m.‎ 答案　(1)C　(2) 解析　(1)如图，在△ACD中，∠CAD＝90°－30°＝60°，AD＝60 m，所以CD＝AD·tan 60°＝60(m)．‎ 在△ABD中，∠BAD＝90°－75°＝15°，‎ 所以BD＝AD·tan 15°＝60(2－)(m)．‎ 所以BC＝CD－BD＝60－60(2－)‎ ‎＝120(－1) (m)．‎ ‎(2)如图，设塔AB高为h，‎ 在Rt△CDB中，CD＝200 m，∠BCD＝90°－60°＝30°，‎ ‎∴BC＝＝(m)．‎ 在△ABC中，∠ABC＝∠BCD＝30°，‎ ‎∠ACB＝60°－30°＝30°，‎ ‎∴∠BAC＝120°.‎ 在△ABC中，由正弦定理得＝，‎ ‎∴AB＝＝(m)．‎ 思维升华　求距离、高度问题应注意 ‎(1)理解俯角、仰角的概念，它们都是视线与水平线的夹角；理解方向角的概念．‎ ‎(2)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．‎ ‎(3)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．‎ ‎　(1)一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°，行驶4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔的距离为________ km.‎ ‎(2)如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点间的距离为60 m，则树的高度为________m.‎ 答案　(1)30　(2)30＋30 解析　(1)如图，由题意，∠BAC＝30°，∠ACB＝105°，‎ ‎∴B＝45°，AC＝60 km，‎ 由正弦定理＝，‎ ‎∴BC＝30 km.‎ ‎(2)在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB＝15°，AB＝60，‎ sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝×－×＝，‎ 由正弦定理得＝，‎ ‎∴PB＝＝30(＋)，‎ ‎∴树的高度为PB·sin 45°＝30(＋)× ‎＝(30＋30)(m)．‎ 题型二　求角度问题 例2　如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cos θ的值为________．‎ 答案　 解析　在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，‎ 由余弦定理得 BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800⇒BC＝20.‎ 由正弦定理，得＝ ‎⇒sin∠ACB＝·sin∠BAC＝.‎ 由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，则cos∠ACB＝.‎ 由θ＝∠ACB＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB＋30°)‎ ‎＝cos∠ACBcos 30°－sin∠ACBsin 30°＝.‎ 思维升华　解决测量角度问题的注意事项：‎ ‎(1)首先应明确方位角或方向角的含义；‎ ‎(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步；‎ ‎(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用．‎ ‎　如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小．若AB＝15 m，AC＝25 m，∠BCM＝30°，则tan θ 的最大值是______(仰角θ为直线AP与平面ABC所成角)．‎ 答案　 解析　如图，过点P作PO⊥BC于点O，‎ 连接AO，则∠PAO＝θ.‎ 设CO＝x m，则OP＝x m.‎ 在Rt△ABC中，AB＝15 m，AC＝25 m，‎ 所以BC＝20 m.‎ 所以cos∠BCA＝.‎ 所以AO＝ ‎＝(m)．‎ 所以tan θ＝＝ ‎＝.‎ 当＝，即x＝时，tan θ取得最大值为＝.‎ 题型三　三角形与三角函数的综合问题 例3　(2016·长春质检)已知函数f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x－.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期和单调减区间；‎ ‎(2)已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中a＝7，若锐角A满足f(－)＝，且sin B＋sin C＝，求bc的值．‎ 解　(1)f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x－ ‎＝sin 2x＋cos 2x＝2sin(2x＋)，‎ 因此f(x)的最小正周期为T＝＝π.‎ 由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，‎ 即f(x)的单调递减区间为[kπ＋，kπ＋](k∈Z)．‎ ‎(2)由f(－)＝2sin[2(－)＋]＝2sin A＝，‎ 又A为锐角，则A＝，‎ 由正弦定理可得2R＝＝＝，‎ sin B＋sin C＝＝，‎ 则b＋c＝·＝13，‎ 由余弦定理可知，‎ cos A＝＝＝，‎ 可求得bc＝40.‎ 思维升华　三角形与三角函数的综合问题，要借助三角函数性质的整体代换思想，数形结合思想，还要结合三角形中角的范围，充分利用正弦定理、余弦定理解题．‎ ‎　设f(x)＝sin xcos x－cos2.‎ ‎(1)求f(x)的单调区间；‎ ‎(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f＝0，a＝1，求△ABC面积的最大值．‎ 解　(1)由题意知f(x)＝－ ‎＝－＝sin 2x－.‎ 由－＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z, 可得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z；‎ 由＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z, 可得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.‎ 所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z)；‎ 单调递减区间是(k∈Z)．‎ ‎(2)由f＝sin A－＝0，得sin A＝，‎ 由题意知A为锐角，所以cos A＝.‎ 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，‎ 可得1＋bc＝b2＋c2≥2bc，‎ 即bc≤2＋，当且仅当b＝c时等号成立．‎ 因此bcsin A≤.‎ 所以△ABC面积的最大值为.‎ ‎10．函数思想在解三角形中的应用 典例　(12分)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．‎ ‎(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？‎ ‎(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．‎ 思想方法指导　已知两边和其中一边的对角解三角形时，可以设出第三边，利用余弦定理列方程求解；对于三角形中的最值问题，可建立函数模型，转化为函数最值问题解决．‎ 规范解答 解　(1)设相遇时小艇航行的距离为S海里，则[1分]‎ S＝ ‎＝＝ .[3分]‎ 故当t＝时，Smin＝10，v＝＝30.‎ 即小艇以30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．[6分]‎ ‎(2)设小艇与轮船在B处相遇．‎ 则v2t2＝400＋900t2－2·20·30t·cos(90°－30°)，[8分]‎ 故v2＝900－＋.∵0