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高考大题专项练一 高考中的函数与导数
高考大题专项练第2页
1.(2016湖北武汉调研)已知函数f(x)=ax2+bx-ln x(a>0,b∈R).
(1)设a=1,b=-1,求f(x)的单调区间;
(2)若对任意的x>0,f(x)≥f(1),试比较ln a与-2b的大小.
解(1)由f(x)=ax2+bx-ln x,x∈(0,+∞),
得f'(x)=2ax2+bx-1x.
∵a=1,b=-1,
∴f'(x)=2x2-x-1x=(2x+1)(x-1)x(x>0).
令f'(x)=0,得x=1.
当01时,f'(x)>0,f(x)单调递增.
∴f(x)的单调递减区间是(0,1),f(x)的单调递增区间是(1,+∞).
(2)由题意可知,f(x)在x=1处取得最小值,即x=1是f(x)的极值点,
故f'(1)=0,可得2a+b=1,即b=1-2a.
令g(x)=2-4x+ln x(x>0),则g'(x)=1-4xx.
令g'(x)=0,得x=14.
当00,g(x)单调递增;
当x>14时,g'(x)<0,g(x)单调递减,
因此g(x)≤g14=1+ln 14=1-ln 4<0,
即g(a)<0,即2-4a+ln a=2b+ln a<0,
故ln a<-2b.〚导学号74920555〛
2.(2016贵州贵阳监测改编)已知函数f(x)=ax-aex(a<0).
(1)当a=-1时,求函数f(x)的极值;
(2)若函数F(x)=f(x)+1没有零点,求实数a的取值范围.
解(1)当a=-1时,f(x)=-x+1ex,f'(x)=x-2ex.
由f'(x)=0,得x=2.
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,2)
2
(2,+∞)
f'(x)
-
0
+
f(x)
↘
极小值
↗
所以函数f(x)的极小值为f(2)=-1e2,函数f(x)无极大值.
(2)F'(x)=f'(x)=aex-(ax-a)exe2x=-a(x-2)ex.
因为a<0,所以当x变化时,F'(x),F(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,2)
2
(2,+∞)
F'(x)
-
0
+
F(x)
↘
极小值
↗
若使函数F(x)没有零点,当且仅当F(2)=ae2+1>0,解得a>-e2,所以此时-e20,
由f'(x)>0,得02;
由f'(x)<0,得10)有唯一零点,求λ的值.
解(1)依题意,得f'(x)=1x+a,f'12=2+a=0.所以a=-2.
经检验,a=-2满足题意.
(2)由(1)知f(x)=ln x-2x+2,则F(x)=λx2-ln x-x.
所以F'(x)=2λx-1x-1=2λx2-x-1x.
令t(x)=2λx2-x-1.
因为λ>0,所以Δ=1+8λ>0.
方程2λx2-x-1=0有两个异号的实根,设两实根为x1,x2,且x1<0,x2>0,因为x>0,所以x1应舍去.
所以F(x)在(0,x2)上单调递减,在(x2,+∞)上单调递增,
且当x→0时,F(x)→+∞,当x→+∞时,F(x)→+∞.
所以当x=x2时,F'(x2)=0,F(x)取得最小值F(x2).
因为F(x)有唯一零点,所以F(x2)=0.
所以F(x2)=0,F'(x2)=0,即λx22-ln x2-x2=0,2λx22-x2-1=0.
所以F(x2)=λx22-ln x2-x2=x22+12-ln x2-x2=12-ln x2-x22=0.
令p(x)=12-ln x-x2,
则p'(x)=-1x-12<0(x>0).
所以p(x)在(0,+∞)上单调递减.
注意到p(1)=0,所以x2=1.所以λ=1.〚导学号74920558〛
5.(2016河北张家口考前模拟)设函数f(x)=ax+ln x,g(x)=a2x2.
(1)当a=-1时,在函数y=f(x)的图象上求一点P,使得点P到直线x-y+3=0的距离最小,求出距离的最小值;
(2)是否存在正实数a,使f(x)≤g(x)对一切正实数x都成立,若存在,求出a的取值范围,若不存在,请说明理由.
解(1)当a=-1时,f(x)=-x+ln x,定义域为(0,+∞),
f'(x)=-1+1x=1-xx,
显然x∈(0,1),f'(x)>0;x∈(1,+∞),f'(x)<0.
于是f(x)在(0,1)内是增函数,在(1,+∞)内是减函数,故f(x)max=f(1)=-1.
易知直线y=x+3的斜率k=1,
设f(x)的切线斜率为1时,切点P(x0,y0)距离y=x+3最近.
由k=1-x0x0=1,可知x0=12,
则y0=-12+ln 12,
故P12,-12+ln 12.
因此,d=12+12+ln2+312+(-1)2=4+ln22=(4+ln2)22.
(2)假设存在正实数a满足题中条件.
设F(x)=f(x)-g(x)(x>0),即F(x)=ax+ln x-a2x2,
则F'(x)=a+1x-2a2x=ax-2a2x2+1x
=-2a2x+12ax-1ax(x>0),
令F'(x)=0,得x=1a.
于是x∈0,1a时,F'(x)>0;x∈1a,+∞时,F'(x)<0.
故F(x)在0,1a内是增函数,在1a,+∞内是减函数.
故F(x)max=F1a=a·1a+ln 1a-a2·1a2=1-ln a-1=-ln a.
要使f(x)≤g(x)对一切正实数x都成立,只需F(x)max≤0,即-ln a≤0,即a≥1.
故存在正实数a∈[1,+∞),使f(x)≤g(x)恒成立.〚导学号74920559〛
6.定义在实数集上的函数f(x)=x2+x,g(x)=13x3-2x+m.
(1)求函数f(x)的图象在x=1处的切线方程;
(2)若f(x)≥g(x)对任意的x∈[-4,4]恒成立,求实数m的取值范围.
解(1)∵f(x)=x2+x,∴当x=1时,f(1)=2,
∵f'(x)=2x+1,∴f'(1)=3,
∴所求切线方程为y-2=3(x-1),即3x-y-1=0.
(2)令h(x)=g(x)-f(x)=13x3-x2-3x+m,
则h'(x)=(x-3)(x+1).
∴当-40;
当-10.
要使f(x)≥g(x)恒成立,即h(x)max≤0,
由上知h(x)的最大值在x=-1或x=4处取得,而h(-1)=m+53,h(4)=m-203,
故m+53≤0,即m≤-53,
故实数m的取值范围为-∞,-53.〚导学号74920560〛
7.已知函数f(x)=12ax2-(2a+1)x+2ln x(a∈R).
(1)求f(x)的单调区间;
(2)设g(x)=x2-2x,若对任意x1∈(0,2],均存在x2∈(0,2],使得f(x1)0).
(1)f'(x)=(ax-1)(x-2)x(x>0).
①当a≤0时,x>0,ax-1<0,在区间(0,2)上,f'(x)>0,在区间(2,+∞)上,f'(x)<0,故f(x)的单调递增区间是(0,2),单调递减区间是(2,+∞).
②当02,在区间(0,2)和1a,+∞上,f'(x)>0,在区间2,1a上,f'(x)<0,故f(x)的单调递增区间是(0,2)和1a,+∞,单调递减区间是2,1a.
③当a=12时,f'(x)=(x-2)22x,故f(x)的单调递增区间是(0,+∞).
④当a>12时,0<1a<2,在区间0,1a和(2,+∞)上,f'(x)>0,在区间1a,2上,f'(x)<0,
故f(x)的单调递增区间是0,1a和(2,+∞),单调递减区间是1a,2.
(2)对任意x1∈(0,2],均存在x2∈(0,2],使得f(x1)ln 2-1.
故ln 2-112时,f(x)在0,1a上单调递增,在1a,2上单调递减,
故f(x)max=f1a=12a-(2a+1)1a+2ln 1a=-12a-2-2ln a<0
因为当a>12时,12a+2lna>12a+2ln e-1=12a-2>-2.故a>12时满足题意.
综上,a的取值范围为(ln 2-1,+∞).〚导学号74920561〛
8.(2016江苏,19)已知函数f(x)=ax+bx(a>0,b>0,a≠1,b≠1).
(1)设a=2,b=12.
①求方程f(x)=2的根;
②若对于任意x∈R,不等式f(2x)≥mf(x)-6恒成立,求实数m的最大值;
(2)若01,函数g(x)=f(x)-2有且只有1个零点,求ab的值.
解(1)因为a=2,b=12,所以f(x)=2x+2-x.
①方程f(x)=2,即2x+2-x=2,亦即(2x)2-2×2x+1=0,
所以(2x-1)2=0,于是2x=1,解得x=0.
②由条件知f(2x)=22x+2-2x=(2x+2-x)2-2=(f(x))2-2.
因为f(2x)≥mf(x)-6对于x∈R恒成立,且f(x)>0,
所以m≤(f(x))2+4f(x)对于x∈R恒成立.
而(f(x))2+4f(x)=f(x)+4f(x)
≥2f(x)·4f(x)=4,且(f(0))2+4f(0)=4,
所以m≤4,故实数m的最大值为4.
(2)因为函数g(x)=f(x)-2有且只有1个零点,
而g(0)=f(0)-2=a0+b0-2=0,
所以0是函数g(x)的唯一零点.
因为g'(x)=axln a+bxln b,
又由01知ln a<0,ln b>0,
所以g'(x)=0有唯一解x0=logba-lnalnb.
令h(x)=g'(x),则h'(x)=(axln a+bxln b)'=ax(ln a)2+bx(ln b)2,
从而对任意x∈R,h'(x)>0,
所以g'(x)=h(x)是(-∞,+∞)上的增函数.
于是当x∈(-∞,x0)时,g'(x)g'(x0)=0.
因而函数g(x)在(-∞,x0)上是减函数,在(x0,+∞)上是增函数.
下证x0=0.
若x0<0,则x0aloga2-2=0,且函数g(x)在以x02和loga2为端点的闭区间上的图象不间断,所以在x02和loga2之间存在g(x)的零点,记为x1.
因为00,同理可得,在x02和logb2之间存在g(x)的非0的零点,矛盾.因此,x0=0.
于是-lnalnb=1,故ln a+ln b=0,所以ab=1.〚导学号74920562〛
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