高考数学专题复习练习第5讲 两角和与差的正弦、余弦和正切 8页

第5讲 两角和与差的正弦、余弦和正切 一、选择题 ‎1. 已知锐角α满足cos 2α＝cos ，则sin 2α等于(　　)‎ A.　　　　　　　　　　　 B．－ C. D．－ 解析 由cos 2α＝cos 得(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝(cos α＋sin α)‎ 由α为锐角知cos α＋sin α≠0.‎ ‎∴cos α－sin α＝，平方得1－sin 2α＝.‎ ‎∴sin 2α＝.‎ 答案 A ‎2．若＝，则tan 2α等于 (　　)．‎ A. B．－ C. D．－ 解析　＝＝＝，‎ ‎∴tan α＝2，∴tan 2α＝＝＝－，故选D.‎ 答案　D ‎3．已知α，β都是锐角，若sin α＝，sin β＝，则α＋β＝ (　　)．‎ A. B. C.和 D．－和－ 解析　由α，β都为锐角，所以cos α＝＝，cos β＝＝.所以cos(α＋β)＝cos α·cos β－sin α·sin β＝，所以α＋β＝.‎ 答案　A ‎4．已知sin θ＋cos θ＝，则sin θ－cos θ的值为 (　　)．‎ A. B．－ C. D．－ 解析　∵sin θ＋cos θ＝，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝，∴sin 2θ＝，又0<θ<，∴sin θ2)的两根为tan A，tan B，且A，B∈，则A＋B＝________.‎ 解析　由题意知tan A＋tan B＝－‎3a<－6，tan A·tan B＝‎3a＋1>7，∴tan A<0，tan B<0，‎ tan(A＋B)＝＝＝1.‎ ‎∵A，B∈，∴A，B∈，‎ ‎∴A＋B∈(－π，0)，∴A＋B＝－.‎ 答案　－ 三、解答题 ‎11．已知函数f(x)＝sin＋sin＋2cos2x－1，x∈R.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值．‎ 解　(1)f(x)＝sin 2x·cos＋cos 2x·sin＋sin 2x·cos－cos 2x·sin＋cos 2x＝sin 2x＋‎ cos 2x＝sin.‎ 所以，f(x)的最小正周期T＝＝π.‎ ‎(2)因为f(x)在区间上是增函数，在区间上是减函数．又f＝－1，f＝，f＝1，故函数f(x)在区间上的最大值为，最小值为－1.‎ ‎12．已知sin α＋cos α＝，α∈，sin＝，β∈.‎ ‎(1)求sin 2α和tan 2α的值；‎ ‎(2)求cos(α＋2β)的值．‎ 解　(1)由题意得(sin α＋cos α)2＝，‎ 即1＋sin 2α＝，∴sin 2α＝.‎ 又2α∈，∴cos 2α＝＝，‎ ‎∴tan 2α＝＝.‎ ‎(2)∵β∈，β－∈，sin＝，‎ ‎∴cos＝，‎ 于是sin 2＝2sincos＝.‎ 又sin 2＝－cos 2β，∴cos 2β＝－，‎ 又2β∈，∴sin 2β＝，‎ 又cos2α＝＝，α∈，‎ ‎∴cos α＝，sin α＝.‎ ‎∴cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β ‎＝×－×＝－.‎ ‎13．函数f(x)＝6cos2＋ sin ωx－3(ω＞0)在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．‎ ‎(1)求ω的值及函数f(x)的值域；‎ ‎(2)若f(x0)＝，且x0∈，求f(x0＋1)的值．‎ 解　(1)由已知可得，f(x)＝3cos ωx＋ sin ωx ‎＝2sin，‎ 又正三角形ABC的高为2，从而BC＝4，‎ 所以函数f(x)的周期T＝4×2＝8，即＝8，ω＝.‎ 函数f(x)的值域为[－2，2]．‎ ‎(2)因为f(x0)＝，‎ 由(1)有f(x0)＝2sin＝，‎ 即sin＝.‎ 由x0∈，知＋∈，‎ 所以cos＝ ＝.‎ 故f(x0＋1)＝2sin ‎＝2sin ‎＝2 ‎＝2×＝.‎ ‎14．(1)①证明两角和的余弦公式 C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；‎ ‎②由C(α＋β)推导两角和的正弦公式 S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.‎ ‎(2)已知cos α＝－，α∈，tan β＝－，β∈，‎ 求cos(α＋β)．‎ 解 (1)证明　①如图，在直角坐标系xOy内作单位圆O，并作出角α，β与－β，使角α的始边为Ox轴非负半轴，交⊙O于点P1，终边交⊙O于点P2；角β的始边为OP2，终边交⊙O于点P3，角－β的始边为OP1，终边交⊙O于点P4.‎ 则P1(1,0)，P2(cos α，sin α)，P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，P4(cos(－β)，sin(－β))．‎ 由P1P3＝P2P4及两点间的距离公式，得 ‎[cos(α＋β)－1]2＋sin2(α＋β)＝[cos(－β)－cos α]2＋[sin(－β)－sin α]2，展开并整理，得2－2cos(α＋β)＝2－2(cos αcos β－sin αsin β)．‎ ‎∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.‎ ‎②由①易得，cos＝sin α，‎ sin＝cos α.‎ sin(α＋β)＝cos ‎＝cos ‎＝coscos(－β)－sinsin(－β)‎ ‎＝sin αcos β＋cos αsin β.‎ ‎∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.‎ ‎(2)∵α∈，cos α＝－，∴sin α＝－.‎ ‎∵β∈，tan β＝－，‎ ‎∴cos β＝－，sin β＝.‎ cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ‎＝×－×＝.‎