高考数学专题复习练习第四章 第一节 平面向量的概念及其线性运算 课下练兵场 5页

第四章 第一节 平面向量的概念及其线性运算 课下练兵场 命 题 报 告 ‎ 难度及题号 知识点 容易题 ‎(题号)‎ 中等题 ‎(题号)‎ 稍难题 ‎(题号)‎ 平面向量的有关概念 ‎1‎ ‎11‎ 向量的线性运算 ‎2、3‎ ‎5、7‎ ‎6、12‎ 共线向量 ‎8、9‎ ‎10‎ 一、选择题 ‎1.已知λ∈R，则下列命题正确的是 (　　)‎ A.|λa|＝λ|a|　　　　B.|λa|＝|λ|a C.|λa|＝|λ||a| D.|λa|＞0‎ 解析：当λ＜0时，|λa|＝λ|a|不成立，A错误；|λa|应该是一个非负实数，而非向量，所以B不正确；当λ＝0或a＝0时，|λa|＝0，D错误.‎ 答案：C ‎2.如图所示，D是△ABC的边AB的中点，则向量＝‎ A. B.‎ C. D 解析：‎ ‎ 答案：A ‎3.(2009·湖南高考)如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA 的中点，则 (　　)‎ A. ‎ B. ‎ C.‎ D.‎ 解析：‎ 答案：A ‎4.(2010·永州模拟)若a＋b＋c＝0，则a、b、c (　　)‎ A.都是非零向量时也可能无法构成一个三角形 B.一定不可能构成三角形 C.都是非零向量时能构成三角形 D.一定可构成三角形 解析：若a、b、c均为共线向量时也可以使a＋b＋c＝0，但是无法构成三角形或者若a、b、c为两两夹角都为120°，且模相等时a＋b＋c＝0，但也无法构成三角形.‎ 答案：A ‎5.已知O为△ABC内一点，且则△AOC与△ABC的面积之比是(　　) ‎ A.1∶2　　　　　　　B.1∶‎3 ‎‎ C.2∶3 D.1∶1‎ 解析：设AC的中心点为D 则 ‎∴‎ ‎∴‎ 即点O为AC边上的中线BD的中点，‎ ‎∴＝.‎ 答案：A ‎6.已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足 则点P与△ABC的关系为 (　　)‎ A.P在△ABC内部 B.P在△ABC外部 C.P在AB边所在直线上 D.P是AC边的一个三等分点 解析：∵‎ ‎∴∴‎ ‎∴P是AC边的一个三等分点.‎ 答案：D 二、填空题 ‎7.在△ABC中，＝，＝m＋n，则＝　　　　.‎ 解：法一：‎ ‎∴m＝，n＝，＝.‎ 法二：∵，∴＝2().‎ ‎∴＝＋，得m＝，n＝.∴＝.‎ ‎8.在▱ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝　　　　(用a，b表示).‎ 解析：由＝3(a＋b)，‎ 即＝(a＋b)，又∵＝a＋b，‎ ‎∴＝(a＋b)－(a＋b)＝－a＋b.‎ 答案：－a＋b ‎9.如图，在△ABC中，点O是BC的中点.过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若＝m，＝n，则m＋n的值为　　　　.‎ 解析：＝()‎ ‎＝＋，‎ ‎∵M、O、N三点共线，∴＋＝1，‎ ‎∴m＋n＝2.‎ 答案：2‎ 三、解答题 ‎10.设i、j分别是平面直角坐示系Ox，Oy正方向上的单位向量，且＝－2i＋mj，＝ni＋j，＝5i－j，若点A、B、C在同一条直线上，且m＝2n，求实数m、n的值.‎ 解：＝(n＋2)i＋(1－m)j，‎ ‎＝(5－n)i＋(－2)j.‎ ‎∵点A、B、C在同一条直线上，∴∥，‎ 即＝λ，‎ ‎∴(n＋2)i＋(1－m)j＝λ[(5－n)i＋(－2)j]，‎ ‎11.已知P为△ABC内一点，且延长AP交BC于点D，若＝a，＝b，用a、b表示向量、. ‎ 解：∵‎ 又＝0，‎ ‎∴＝0，‎ 化简，得＝a＋b.‎ 设＝t (t∈R)，‎ 则＝ta＋tb. ①‎ 又设＝k(k∈R)，由＝－＝b－a，得 ‎＝k(b－a).而＝＋＝a＋，‎ ‎∴＝a＋k(b－a)＝(1－k)a＋kb. ②‎ 由①②，得 代入①，有＝a＋b.‎ ‎12.设a、b是不共线的两个非零向量，‎ ‎(1)若＝‎2a－b，＝‎3a＋b，＝a－3b，‎ 求证：A、B、C三点共线；‎ ‎(2)若‎8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值；‎ ‎(3)设＝ma，＝nb，＝α a＋β b，其中m、n、α、β均为实数，m≠0，n≠0，若M、P、N三点共线，‎ 求证：＋＝1.‎ 解：(1)证明：∵＝(‎3a＋b)－(‎2a－b)＝a＋2b，‎ 而＝(a－3b)－(‎3a＋b)＝－‎2a－4b＝－2，‎ ‎∴与共线，且有公共端点B，‎ ‎∴A、B、C三点共线.‎ ‎ (2)∵‎8a＋kb与ka＋2b共线，∴存在实数λ，使得(‎8a＋kb)＝λ(ka＋2b)⇒(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0，‎ ‎∵a与b不共线，‎ ‎∴‎ ‎ (3)证明：∵M、P、N三点共线，∴存在实数λ，使得，‎ ‎∴＝a＋b.‎ ‎∵a、b不共线，∴‎ ‎∴＋＝＋＝1.‎