高考数学专题复习练习第七章 第五节 直线、平面垂直的判定及其性质 8页

第七章 第五节直线、平面垂直的判定及其性质 课下练兵场 命 题 报 告 ‎ ‎ ‎ 难度及题号 知识点 容易题 ‎(题号)‎ 中等题 ‎(题号)‎ 稍难题 ‎(题号)‎ 线面垂直的判定与性质 ‎1、2‎ ‎4、6[文]‎ 面面垂直的判定与性质 ‎5、11、12[理]‎ ‎ 6[理]、9[理]‎ 平行、垂直关系 的综合运用 ‎3‎ ‎8、10‎ ‎9[文]‎ 一、选择题 ‎1．若a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题正确的是 (　　)‎ A．若a∥α，b∥α，则a∥b B．若a∥α，a∥b，则b∥α C．若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b D．若α⊥β，α∩β＝b，a⊥b，则a⊥β 解析：平行于同一平面的两条直线的位置关系不确定，故A错；选项B忽略了b⊂α的情况，故B错；选项D中a与β的位置关系不确定，故D错；选项C显然正确．‎ 答案：C ‎2．若m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题不正确的是 (　　)‎ A．若α∥β，m⊥α，则m⊥β B．若m∥n，m⊥α，则n⊥α C．若m∥α，m⊥β，则α⊥β D．若α∩β＝m，n与α、β所成的角相等，则m⊥n 解析：选项A、B、C容易判定，对于选项D，当直线m与n平行时，直线m与两平面α、β所成的角也相等均为0°，故D不正确．‎ 答案：D ‎3．已知a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题 ‎①a∥b，a∥α⇒b∥α； ②a⊥b，a⊥α⇒b∥α；‎ ‎③a∥α，β∥α⇒a∥β； ④a⊥α，β⊥α⇒a∥β，‎ 其中不正确的有 (　　)‎ A．1个　　　　　　　B．2个 C．3个 D．4个 解析：对于①、②结论中还可能b⊂α，所以①、②不正确．对于③、④结论中还可能a⊂β，所以③、④不正确．‎ 答案：D ‎4．已知m是平面α的一条斜线，点A∉α，l为过点A的一条动直线，那么下列情形可能出现的是 (　　)‎ A．l∥m，l⊥α B．l⊥m，l⊥α C．l⊥m，l∥α D．l∥m，l∥α 解析：设m在平面α内的射影为n，当l⊥n且与α无公共点时，l⊥m，l∥α.‎ 答案：C ‎5．如图，在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论不成立的是 (　　)‎ A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAE C．平面PDF⊥平面PAE D．平面PDE⊥平面ABC 解析：因BC∥DF，所以BC∥平面PDF，A成立；‎ 易证BC⊥平面PAE，BC∥DF，所以结论B、C均成立；‎ 点P在底面ABC内的射影为△ABC的中心，不在中位线DE上，故结论D不成立．‎ 答案：D ‎6．[理](2009·江西高考)如图，正四面体ABCD的顶点A，B，C分别在两两垂直的三条射线Ox，Oy，Oz上，则在下列命题中，错误的为 (　　)‎ A．O－ABC是正三棱锥 B．直线OB∥平面ACD C．直线AD与OB所成的角是45°‎ D．二面角D－OB－A为45°‎ 解析：①如图ABCD为正四面体，‎ ‎∴△ABC为等边三角形，‎ 又∵OA、OB、OC两两垂直，‎ ‎∴OA⊥面OBC，∴OA⊥BC，‎ 过O作底面ABC的垂线，垂足为N，‎ 连结AN交BC于M，‎ 由三垂线定理可知BC⊥AM，‎ ‎∴M为BC中点，‎ 同理可证，连结CN交AB于P，则P为AB中点，‎ ‎∴N为底面△ABC中心，‎ ‎∴O－ABC是正三棱锥，故A正确．‎ ‎②将正四面体ABCD放入正方体中，如图所示，显然OB与平面ACD不平行．‎ 答案：B ‎[文](2009·浙江高考)设α、β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是(　　)‎ A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂β B．若l∥α，α∥β，则l⊂β C．若l⊥α，α∥β，则l⊥β D．若l∥α，α⊥β，则l⊥β 解析：对于A、B、D均可能出现l∥β.‎ 答案：C 二、填空题 ‎7．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，‎ 且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，‎ 平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)‎ 解析：由定理可知，BD⊥PC.‎ ‎∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，‎ 而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.‎ 答案：DM⊥PC(或BM⊥PC等)‎ ‎8．(2009·江苏高考)设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：‎ ‎(1)若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；‎ ‎(2)若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；‎ ‎(3)设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；‎ ‎(4)直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．‎ 上面命题中，真命题的序号是________．‎ 解析：(1)α内两条相交直线分别平行于平面β，则两条相交直线确定的平面α平行于平面β，正确．‎ ‎(2)平面α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l平行于α，正确．‎ ‎(3)如图，α∩β=l，a⊂α，a⊥l，但不一定有α⊥β，错误．‎ ‎(4)直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条相交直线垂直，而该命题缺少“交”两字，故为假命题．‎ 综上所述，真命题的序号为(1)(2)．‎ 答案：(1)(2)‎ ‎9．[理](2009·浙江高考)如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为DC的中点，F为线段EC(端点除外)上一动点．现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足．设AK＝t，则t的取值范围是________．‎ 解析：如图，过D作DG⊥AF，垂足为G，连接GK，∵平面ABD⊥平面ABC，又DK⊥AB，‎ ‎∴DK⊥平面ABC，‎ ‎∴DK⊥AF.‎ ‎∴AF⊥平面DKG，∴AF⊥GK.‎ 容易得到，当F接近E点时，K接近AB的中点，当F接近C点时，K接近AB的四等分点． ‎ ‎∴t的取值范围是(,1)．‎ 答案：(,1)‎ ‎[文](2010·长沙模拟)已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列命题：‎ ‎①若m∥β，n∥β，m、n⊂α，则α∥β；‎ ‎②若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=m，n⊂γ，则m⊥n；‎ ‎③若m⊥α，α⊥β，m∥n，则n∥β；‎ ‎④若n∥α，n∥β，α∩β=m，那么m∥n.‎ 其中所有正确命题的序号是　　　　.‎ 解析：命题①需加上条件：m与n为相交直线才能成立．命题③中还有n⊂β的情况，通过证明命题②、④正确．‎ 答案：②④‎ 三、解答题 ‎10．(2009·天津模拟)如图，在直三棱柱ABC－A1B‎1C1中，AC＝3，AB＝5，‎ cos∠BAC＝.‎ ‎(1)求证：BC⊥AC1；‎ ‎(2)若D是AB的中点，求证：AC1∥平面CDB1.‎ 证明：(1)∵在△ABC中，AC＝3，AB＝5，‎ cos∠BAC＝，‎ ‎∴BC2=AB2+AC2-2AB·AC·‎ cos∠BAC＝25＋9－2×5×3×＝16.‎ ‎∴BC＝4，∠ACB＝90°，‎ ‎∴BC⊥AC，‎ ‎∵BC⊥CC1，AC∩CC1＝C，‎ ‎∴BC⊥平面ACC‎1A1，‎ ‎∵AC1⊂平面ACC‎1A1，‎ ‎∴BC⊥AC1.‎ ‎(2)连结BC1交B‎1C于M，则M为BC1的中点，‎ 连结DM，则DM∥AC1，‎ ‎∵DM⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，‎ ‎∴AC1∥平面CDB1.‎ ‎11．(2010·湘潭质检)下面一组图形为三棱锥P－ABC的底面与三个侧面．已知AB⊥BC，PA⊥AB，PA⊥AC.‎ ‎(1)写出三棱锥P－ABC中的所有的线面垂直关系(不要求证明)；‎ ‎(2)在三棱锥P－ABC中，求证：平面ABC⊥平面PAB；‎ ‎(3)在三棱锥P－ABC中，M是PA的中点，且PA＝BC＝3，AB＝4，求三棱锥P－MBC的体积．‎ 解：(1)如图，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，‎ BC⊥平面PAB.‎ ‎(2)证明：∵PA⊥AB，PA⊥AC，‎ AB∩AC=A，‎ ‎∴PA⊥平面ABC，‎ 又∵PA⊂平面ABP ‎∴平面ABC⊥平面PAB ‎(3)法一：∵PA=3，M是PA的中点，∴MA=.‎ 又∵AB=4，BC=3.‎ ‎∴VM-ABC=S△ABC·MA=××4×3×=3‎ 又VP-ABC=S△ABC·PA=××4×3×3=6，‎ ‎∴VP-MBC=VP-ABC-VM-ABC=6-3=3.‎ 法二：∵PA=3，AB=4，M是PA的中点，‎ ‎∴S△PBM=S△PAB=××3×4=3.‎ 又∵BC⊥平面PAB，且BC=3，‎ ‎∴VP-MBC=VC-PBM=S△PBM·BC=×3×3=3. ‎ ‎12．[理]四棱锥S－ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝SB＝SC＝2CD＝2，侧面SBC⊥底面ABCD.‎ ‎(1)由SA的中点E作底面的垂线EH，试确定垂足H的位置；‎ ‎(2)求二面角E－BC－A的正切值．‎ 解：(1)作SO⊥BC于O，则SO⊂平面SBC，‎ 又平面SBC⊥底面ABCD，‎ 平面SBC∩平面ABCD=BC，‎ ‎∴SO⊥底面ABCD.①‎ 又SO⊂平面SAO，‎ ‎∴平面SAO⊥底面ABCD.‎ 作EH⊥AO，‎ ‎∴EH⊥平面ABCD，②‎ 即H为垂足，由①②知，EH∥SO.‎ 又E为SA的中点，∴H是AO的中点．‎ ‎(2)过H作HF⊥BC于F，连EF，‎ 由(1)知EH⊥平面ABCD，∴EH⊥BC.‎ ‎∴BC⊥平面EFH.∴BC⊥EF.‎ ‎∴∠HFE为面EBC和底面ABCD所成二面角的平面角．‎ 在等边△SBC中，∵SO⊥BC，∴O为BC中点．‎ 又BC＝2，∴SO＝＝，‎ EH＝SO＝，又HF＝AB＝1，‎ ‎∴在Rt△EHF中，tan∠HFE＝＝＝.‎ ‎∴二面角E－BC－A的正切值为.‎ ‎[文](2010·江苏苏北三市模拟)如图，在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，M、N、G分别是A‎1A，D‎1C，AD的中点．求证：‎ ‎(1)MN∥平面ABCD；‎ ‎(2)MN⊥平面B1BG.‎ 证明：(1)取CD的中点记为E，连结NE，AE.‎ 由N，E分别为CD1与CD的中点可得 NE∥D1D且NE=D1D，‎ 又AM∥D1D且AM=D1D， ‎ 所以AM∥EN且AM=EN，即四边形AMNE为平行四边形，‎ 所以MN∥AE，‎ 又AE⊂平面ABCD，所以MN∥平面ABCD.‎ ‎(2)由AG=DE，∠BAG=∠ADE=90°，DA=AB 可得△EDA≌△GAB.‎ 所以∠AGB=∠AED，‎ 又∠DAE+∠AED=90°，‎ 所以∠DAE+∠AGB=90°，‎ 所以AE⊥BG，‎ 又BB1⊥AE，所以AE⊥平面B1BG，‎ 又MN∥AE，所以MN⊥平面B1BG.‎