高考数学复习练习第2部分 专题一 第一讲 数学思想专练(一) 5页

‎[数学思想专练(一)]‎ 一、选择题 ‎1．(2013·青岛模拟)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则数列{an}的公比为(　　)‎ A.　　　　 B.　　　　‎ C.　　　　 D. 解析：选B　设等比数列的首项为a1，公比为q，则S1＝a1，S2＝a1＋a2＝a1＋a1q，S3＝a1＋a2＋a3＝a1＋a1q＋a1q2.由S1,2S2,3S3成等差数列，得2×2S2＝S1＋3S3，即4(a1＋a1q)＝a1＋3(a1＋a1q＋a1q2)，可得3q2－q＝0，得q＝0或q＝，因为q≠0，所以q＝.‎ ‎2．若a>1，则双曲线－＝1的离心率e的取值范围是(　　)‎ A．(1，) B．(，)‎ C．[，] D．(，)‎ 解析：选B　e2＝2＝＝1＋2，因为是减函数，所以当a>1时，0<<1，所以20恒成立，则x的取值范围为(　　)‎ A．(－∞，2)∪(3，＋∞) B．(－∞，1)∪(2，＋∞)‎ C．(－∞，1)∪(3，＋∞) D．(1,3)‎ 解析：选C　把不等式的左端看成关于a的一次函数，记f(a)＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)，则f(a)>0对于任意的a∈[－1,1]恒成立，易知只需f(－1)＝x2－5x＋6>0且f(1)＝x2－3x＋2>0即可，联立方程并解得x<1或x>3.‎ ‎4．若2x＋5y≤2－y＋5－x，则有(　　)‎ A．x＋y≥0 B．x＋y≤0‎ C．x－y≤0 D．x－y≥0‎ 解析：选B　原不等式可化为2x－5－x≤2－y－5y，构造函数y＝2x－5－x，其为R上的增函数，所以有x≤－y，即x＋y≤0.‎ ‎5.如图，A是单位圆与x轴的交点，点P在单位圆上，∠AOP＝θ(0<θ<π)，＝＋，四边形OAQP的面积为S，当·＋S取得最大值时θ的值为(　　)‎ A. B. ‎ C. D. 解析：选B　·＋S＝||·||cos θ＋||·||sin θ＝cos θ＋sin θ＝sin，当θ＝时，·＋S取得最大值．‎ ‎6．(2013·西安模拟)已知函数f(x)＝cos x(x∈(0,2π))有两个不同的零点x1，x2，且方程f(x)＝m有两个不同的实根x3，x4.若把这四个数按从小到大的排列构成等差数列，则实数m的值为(　　)‎ A. B．－ C. D．－ 解析：选D　假设方程f(x)＝m的两个实根x3－(2n＋1)．而－(2n＋1)≤－3，所以λ>－3.‎ 答案：(－3，＋∞)‎ ‎9．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是________．‎ 解析：设F(x)＝f(x)g(x)，由于f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，得F(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)g(x)＝－F(x)，即F(x)为奇函数．‎ 又当x<0时，F′(x)＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，所以x<0时，F(x)为增函数．‎ 因为奇函数在对称区间上的单调性相同，‎ 所以x>0时，F(x)也是增函数．‎ 因为F(－3)＝f(－3)g(－3)＝0＝－F(3)．‎ 所以F(x)<0的解集是(－∞，－3)∪(0,3)(如图)．‎ 答案：(－∞，－3)∪(0,3)‎ 三、解答题 ‎10．(2013·贵阳模拟)已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，S7＝70，且a1，a2，a6成等比数列．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝，数列{bn}的最小项是第几项，并求出该项的值．‎ 解：(1)设公差为d，则有 即 解得或(舍去)，‎ 所以an＝3n－2.‎ ‎(2)Sn＝[1＋(3n－2)]＝，‎ 所以bn＝＝3n＋－1≥2－1＝23，‎ 当且仅当3n＝，即n＝4时取等号，‎ 故数列{bn}的最小项是第4项，该项的值为23.‎ ‎11．(2013·海淀模拟)如图，曲线M：y2＝x与曲线N：(x－4)2＋2y2＝m2(m>0)相交于A，B，C，D四个点．‎ ‎(1)求m的取值范围；‎ ‎(2)求四边形ABCD的面积的最大值及此时对角线AC与BD的交点坐标．‎ 解：(1)联立曲线M，N的方程，消去y可得(x－4)2＋2x－m2＝0，‎ 即x2－6x＋16－m2＝0，‎ 根据条件可得 解得x1，y1>0，y2>0.‎ 则SABCD＝(y1＋y2)(x2－x1)＝(＋)(x2－x1)‎ ‎＝ · ‎＝ ·.‎ 令t＝，则t∈(0,3)，‎ SABCD＝·＝2×，‎ 设f(t)＝－t3－3t2＋9t＋27，‎ 则令f′(t)＝－3t2－6t＋9＝－3(t2＋2t－3)＝‎ ‎－3(t－1)(t＋3)＝0，‎ 可得当t∈(0,3)时，f(x)的最大值为f(1)＝32，从而SABCD的最大值为16.‎ 此时t＝1，即＝1，则m2＝15.‎ 联立曲线M，N的方程消去y并整理得x2－6x＋1＝0，‎ 解得x1＝3－2，x2＝3＋2，所以A点的坐标为(3－2，－1)，C点坐标为(3＋2，－－1)，‎ kAC＝＝－，‎ 则直线AC的方程为y－(－1)＝－[x－(3－2)]，‎ 当y＝0时，x＝1，由对称性可知AC与BD的交点在x轴上，即对角线AC与BD交点坐标为(1,0)．‎ ‎12．已知函数f(x)＝ax3＋(2－a)x2－x－1(a>0)．‎ ‎(1)若a＝4，求f(x)的单调区间；‎ ‎(2)设x1，x2,1为关于x的方程f(x)＝0的实根，若∈，求a的取值范围．‎ 解：(1)∵当a＝4时，f(x)＝4x3－2x2－x－1，‎ ‎∴f′(x)＝12x2－4x－1＝(6x＋1)(2x－1)，‎ 由f′(x)>0得x<－或x>，‎ 由f′(x)<0得－0，x1，x2为ax2＋2x＋1＝0的根，‎ ‎∴＝＋＋2＝＝.‎ 令t＝，u(t)＝t＋＋2，t∈，‎ 则u′(t)＝1－，∴u(t)在上递减，在[1,2]上递增，‎ ‎∴u(t)∈，即∈，故a∈.‎