高一数学教案：第10讲 正余弦函数图像与性质 6页

辅导教案 学员姓名： 学科教师：‎ 年 级： 辅导科目： ‎ 授课日期 ‎××年××月××日 ‎ 时 间 A / B / C / D / E / F段 主 题 正余弦函数图像与性质 教学内容 ‎1. 会根据图像观察得出正弦函数、余弦函数的性质；‎ ‎2. 会应用正、余弦的值域来求函数和函数的值域 ‎1. _____________________________________________________________________叫做周期函数，___________________________________________叫这个函数的周期.‎ ‎2. _____________________________________叫做函数的最小正周期.‎ ‎3.正弦函数，余弦函数都是周期函数，周期是____________，最小正周期是________.（此处可以给出公式）‎ ‎4.由诱导公式_________________________可知正弦函数是奇函数.由诱导公式_________________________可知，余弦函数是偶函数.‎ ‎5.正弦函数图像关于____________________对称，正弦函数是_____________.余弦函数图象关于________________对称，余弦函数是_____________________.‎ ‎6.正弦函数在每一个闭区间_________________上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间_________________上都是减函数，其值从1减少到－1.‎ ‎7.余弦函数在每一个闭区间_________________上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间______________上都是减函数，其值从1减少到－1.‎ ‎8.正弦函数当且仅当x＝___________时取得最大值1；当且仅当x=__________时取得最小值－1.‎ ‎9.余弦函数当且仅当x＝___________时取得最大值1；当且仅当x=__________时取得最小值－1.‎ 可以让学生轮流回答，出现问题让学生讨论，大家相互补充。‎ ‎（采用教师引导，学生轮流回答的形式）‎ 例1. 求函数的单调增区间．‎ 解析：求函数的单调增区间时，应把三角函数符号后面的角看成一个整体，采用换元的方法，化归到正、余弦函数的单调性．‎ 解：令，函数的单调增区间为[，]．‎ 由 ≤2x+≤得 ≤x≤‎ 故函数的单调增区间为 [， ]（）‎ 试一试：求函数的单调增区间 解：令，函数的单调减区间为[，]‎ 故函数的单调增区间为[ ， ]（）．‎ 例2. 判断函数的奇偶性 解析：判断函数的奇偶性，首先要看定义域是否关于原点对称，然后再看与的关系，对(1)用诱导公式化简后，更便于判断．‎ 解：∵=，‎ ‎ ∴ ‎ ‎ 所以函数为偶函数．‎ 点评：判断函数的奇偶性时， 判断“定义域是否关于原点对称”是必须的步骤．‎ 试一试：判断函数)的奇偶性.‎ 解：函数的定义域为R，‎ ‎=‎ ‎ ===‎ 所以函数）为奇函数．‎ 例3. 求f(x)＝sin4x＋2sin3xcosx＋sin2xcos2x＋2sinxcos3x＋cos4x的最大值和最小值 解：f(x)＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2xcos2x＋2sinxcosx(sin2x＋cos2x)＋sin2xcos2x ‎=1＋2sinxcosx－sin2xcos2x 令t＝sin2x ∴－≤t≤ ①‎ f(ｔ)＝1＋2t－t2＝－(t－1)2＋2 ②‎ 在①的范围内求②的最值 当t＝，即x＝kπ＋(k∈Z)时，f(x)max＝‎ 当t＝－，即x＝kπ＋(k∈Z)时，f(x)min＝－‎ 试一试：求函数y＝cos2x－3sinx的最大值 解：y＝cos2x－3sinx＝－sin2x－3sinx＋1＝－(sinx＋)2＋‎ ‎∵－1≤sinx≤1， ∴当sinx＝－1时，ymax＝3‎ 说明：解此题易忽视sinx∈［－1，1］这一范围，认为sinx＝－时，y有最大值，造成误解 例4. 已知y＝2sinθcosθ＋sinθ－cosθ(0≤θ≤π)，求y的最大值、最小值 解：设t＝sinθ－cosθ＝sin(θ－)‎ ‎∴2sinθcosθ＝1－ｔ2 ∴y＝－ｔ2＋ｔ＋1＝－(ｔ－)2＋‎ 又∵t＝sin(θ－)，0≤θ≤π ∴－≤θ－≤‎ ‎∴－1≤t≤ 当t＝时，ymax＝ 当t＝-1时，ymin＝－1‎ 说明：此题在代换中，据θ范围，确定了参数t∈［－1，］，从而正确求解，若忽视这一点，会发生ｔ＝时有最大值而无最小值的结论 ‎（学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）‎ ‎1. 满足函数和都是增函数的区间是（ ） D A． , B．, ‎ C．, D． ‎ ‎2. 函数y=cos2x –3cosx+2的最小值是（ ） B A．2 B．‎0 ‎ C． D．6‎ ‎3. 是 （ ） A A、奇函数 B、偶函数 C非奇函数非偶函数 D、奇且偶函数 ‎4. 已知｜x｜≤，求函数y＝cos2x＋sinx的最小值 解：y＝－sin2x＋sinx＋1＝－(sinx－)2＋‎ ‎∵－≤x≤ ∴－≤sinx≤‎ ‎∴当sinx＝－时 ymin＝－(－－)2＋＝‎ ‎5. 求函数y＝sin2x＋acosx＋a－(0≤x≤)的最大值 解：∵y＝1－cos2x＋acosx＋a－＝－(cosx－)2＋＋a－‎ ‎∴当0≤a≤2时，cosx＝，ymax＝＋a－‎ 当a＞2时，cosx＝1，ymax＝a－‎ 当a＜0时，cosx＝0，ymax＝a－‎ ‎ ‎ 本节课主要知识：正余弦函数图像与性质，会应用换元法求解奇偶性，单调区间 ，最值等 ‎【巩固练习】‎ ‎1. 函数y=(x∈R)的最大值是 3‎ ‎2. 为奇函数， ‎ ‎3. 设a为常数且，则函数的最大值（ ） B ‎ A． B． C． D．‎ ‎4. 函数y＝sin(x＋)在什么区间上是增函数?‎ 解：函数y＝sinx在下列区间上是增函数：‎ ‎2kπ－＜x＜2kπ＋ (k∈Z)‎ ‎∴函数y＝sin(x＋)为增函数，当且仅当2kπ－＜x＋＜2kπ＋‎ ‎ 即2kπ－＜x＜2kπ＋(k∈Z)为所求 ‎5. 求函数y＝的值域 解：由已知：cosx＝｜｜＝｜cosx｜≤1‎ ‎()2≤13y2＋2y－8≤0 ∴－2≤y≤ ∴ymax＝，ymin＝－2‎ ‎【预习思考】‎ ‎1. 在不同的坐标系中，分别画出正切函数图像和余切函数图像 ‎ ‎ ‎2. 归纳填表格：‎ 三角函数 正切函数 余弦函数 定义域 值域 最值 奇偶性 周期性 单调性 轴对称 渐进性 ‎ ‎ ‎ ‎ 中心对称性