2020高中数学 第二章 平面向量 第三讲 向量的坐标表示2 平面向量的坐标运算学案 苏教版必修1 5页

平面向量的坐标运算 一、考点突破 知识点 课标要求 题型 说明 平面向量的坐标运算 ‎1. 理解平面向量的坐标的概念，会写给定向量的坐标；‎ ‎2. 会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；‎ ‎3. 理解用坐标表示的平面向量共线的条件；‎ ‎4. 会根据平面向量的坐标判断向量是否共线 填空 向量的坐标运算是向量重要的内容，它实现了从向量向代数的转化，尤其是两向量平行的坐标化判定应用广泛 二、重难点提示 重点：平面向量的加、减、数乘的坐标运算；‎ 难点：平面向量平行条件的理解。‎ 考点一：平面向量的坐标表示及坐标运算 ‎（1）平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面上的向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对有序实数x，y，使得a＝xi＋yj，则把有序实数对（x，y）称为向量a的（直角）坐标，记作a＝（x，y）。‎ ‎（2）平面向量的坐标运算 ‎①已知向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）和实数λ，那么a＋b＝（x1＋x2，y1＋y2），‎ a－b＝（x1－x2，y1－y2），λa＝（λx1，λy1）；‎ ‎②已知A（x1，y1），B（x2，y2），O为坐标原点，则＝（x2，y2）－（x1，y1）＝（x2－x1，y2－y1），即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标。‎ ‎【要点诠释】向量的坐标运算 ‎（1）向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标。‎ ‎（2）解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则。‎ ‎【核心突破】点的坐标与向量的坐标的区别和联系 ‎① 在直角坐标平面内，以原点为起点的向量也叫位置向量。位置向量，点A的位置被向量唯一确定，此时A的坐标与向量的坐标统一为；‎ ‎② 相等向量的坐标是相同的，但起点、终点坐标可以不同，如A（3，5），B（6，8），＝（3，3）；若C（－5，3），D（－2，6），＝（3，3），显然四点坐标各不相同。‎ ‎【重要提示】向量的坐标的作用 5‎ 利用向量的坐标表示，可把向量问题中的几何属性代数化，使问题的解决达到程序化，从而降低了思维难度，有利于问题的解决。‎ 考点二：平面平行的坐标表示 设向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）（a≠0），如果a∥b，那么x1y2－x2y1＝0；反过来，如果x1y2－x2y1＝0，那么a∥b。‎ ‎【核心归纳】两个向量共线条件的表示方法 已知a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），‎ ‎（1）当b≠0时，a＝λb；‎ ‎（2）x1y2－x2y1＝0；‎ ‎（3）当x2y2≠0时，，即两向量的相应坐标成比例。‎ ‎【重要提示】‎ 利用向量平行的坐标表示，可以解决三点共线问题。‎ ‎【随堂练习】已知向量＝（k，12），＝（4，5），＝（10，k），若A，B，C三点共线，则实数k＝________。‎ 思路分析：把三点共线转化为向量平行，然后利用共线定理的坐标形式转化为关于k的方程。‎ 答案：由题意得＝＝（4－k，－7），‎ ‎＝（6，k－5），∵与共线，‎ ‎∴（4－k）×（k－5）－6×（－7）＝0，‎ 解得k＝－2或11。‎ 技巧点拨：两向量共线定理的坐标形式实现了三点共线向方程的转化，即“形”向“数”的转化。‎ 例题1 （向量的坐标表示）在直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向如图所示，且|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，分别计算出它们的坐标。‎ 思路分析：利用三角函数求出各向量在x轴、y轴上的分量的模的大小，以此确定向量的横、纵坐标。‎ 答案：设a＝（a1，a2），b＝（b1，b2），c＝（c1，c2），则a1＝|a|cos 45°＝2×＝，‎ a2＝|a|sin 45°＝2×＝，‎ 5‎ b1＝|b|cos 120°＝3×（－）＝－，‎ b2＝|b|sin 120°＝3×＝，‎ c1＝|c|cos（－30°）＝4×＝，‎ c2＝|c|sin（－30°）＝4×（－）＝－2，‎ 因此a＝（，），b＝（－，），c＝（，－2）。‎ 技巧点拨：‎ ‎1. 向量的坐标等于终点的坐标减去起点的相应坐标，只有当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标才等于终点的坐标。‎ ‎2. 求向量的坐标一般要转化为求点的坐标，解题时常常结合几何图形，利用三角函数的定义和性质进行计算。‎ 例题2 （平面向量的坐标运算）‎ ‎（1）若a＝（1，－3），b＝（－2，4），c＝（0，5），则‎3a－b＋c＝________。‎ ‎（2）已知三点A（2，－1），B（3，4），C（－2，0），试求向量3＋，－2。‎ 思路分析：（1）中分别给出了两向量的坐标，可根据向量的直角坐标运算法则进行运算。‎ ‎（2）中给出了点的坐标，可运用终点坐标减去起点坐标得到相应向量的坐标，然后再进行运算。‎ 答案：（1）∵a＝（1，－3），b＝（－2，4），c＝（0，5），‎ ‎∴‎3a－b＋c＝3（1，－3）－（－2，4）＋（0，5）‎ ‎＝（3，－9）－（－2，4）＋（0，5）＝（3＋2＋0，－9－4＋5）‎ ‎＝（5，－8）。‎ ‎（2）∵A（2，－1），B（3，4），C（－2，0），‎ ‎∴＝（3，4）－（2，－1）＝（1，5），‎ ‎＝（2，－1）－（－2，0）＝（4，－1），‎ ‎＝（－2，0）－（3，4）＝（－5，－4），‎ ‎∴3＋＝3（1，5）＋（4，－1）＝（5，），‎ ‎－2＝（－5，－4）－2（1，5）＝（－7，－14）。‎ 技巧点拨：‎ 平面向量坐标的线性运算的方法：‎ ‎（1）若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行运算。‎ ‎（2）若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算。‎ ‎（3）向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行。‎ 5‎ 例题3 （向量平行的坐标表示）‎ ‎（1）已知四点坐标A（－1，1），B（1，5），C（－2，－1），D（4，11），请判断直线AB与CD是否平行？‎ ‎（2）已知向量＝（k，12），＝（4，5），＝（10，k），当k为何值时，A，B，C三点共线？‎ 思路分析：（1）判断∥→判断点A是否在直线CD上→结论。‎ ‎（2）求A，B，C三点共线时k的值，则一定有＝λ成立，先求，，再列方程组求解k。‎ 答案：（1）因为＝（2，4），＝（4，11）－（－1，1）＝（5，10），＝（－2，－1）－（－1，1）＝（－1，－2），‎ 所以＝－2，＝－5，‎ 所以∥∥，‎ 由于与，有共同的起点A，‎ 所以A，B，C，D四点共线，‎ 因此直线AB与CD重合。‎ ‎（2）＝＝（4－k，－7），＝（10－k，k－12），‎ 若A，B，C三点共线，则∥，‎ ‎∴（4－k）（k－12）＝－7×（10－k），‎ 解得k＝－2或11，‎ ‎∴当k＝－2或11时，A，B，C三点共线。‎ 技巧点拨：‎ ‎1. 对于根据向量共线的条件求值的问题，一般有两种处理思路，一是利用共线向量定理a＝λb（b≠0）列方程组求解，二是利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0直接求解。‎ ‎2. 利用x1y2－x2y1＝0求解，解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少未知数个数，而且使问题的解决具有代数化的特点及程序化的特征。‎ 充分利用向量共线解决求值问题 ‎【例证】已知△AOB中，O（0，0），A（0，5），B（4，3），＝，＝，AD与BC交于点M，求点M的坐标。‎ 思路分析：由已知条件易求得点C，D的坐标，再由点M是AD与BC的交点，即A，M，D三点共线与B，M，C三点共线可得到以点M的坐标为解的方程组，解方程组即可。‎ 答案：∵点O（0，0），A（0，5），B（4，3），‎ ‎∴＝（0，5），＝（4，3），‎ ‎＝＝（0，），‎ 5‎ ‎∴点C的坐标为（0，），同理可得D（2，），‎ 设点M（x，y），则＝（x，y－5），‎ ‎∵A，M，D共线，∴与共线，‎ 又＝（2－0，－5）＝（2，－），‎ ‎∴－x－2（y－5）＝0，‎ 即7x＋4y＝20，①‎ ‎∵＝（x，y－），＝（4－0，3－）＝（4，），‎ 与共线，‎ ‎∴x－4（y－）＝0，‎ 即7x－16y＝－20，②‎ 由①②得x＝，y＝2，‎ ‎∴M的坐标为（，2）。‎ 技巧点拨：在求点或向量坐标的问题中充分利用两个向量共线，要注意方程思想的应用，在题目中充分利用向量共线、向量相等等条件作为列方程的依据。‎ 5‎