2020高中数学阶段复习课 第2课 函数及其基本性质学案 新人教A版必修1 5页

第二课　函数及其基本性质 ‎[核心速填]‎ ‎1．函数的三要素 定义域、对应关系、值域．‎ ‎2．函数的表示方法 解析法、列表法、图象法．‎ ‎3．函数的单调性 ‎①奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反．‎ ‎②在公共区域上：增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数，增函数－减函数＝增函数，减函数－增函数＝减函数．‎ ‎4．函数的奇偶性 ‎(1)奇偶函数的定义域关于原点对称．‎ ‎(2)奇函数的图象关于原点中心对称，偶函数的图象关于y轴成轴对称．‎ ‎(3)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么它们在公共定义域上，满足：‎ 奇函数＋奇函数＝奇函数，奇函数×奇函数＝偶函数，偶函数＋偶函数＝偶函数，奇函数×偶函数＝奇函数．‎ ‎[体系构建]‎ ‎[题型探究]‎ 求函数的定义域 ‎　(1)求函数y＝＋－的定义域．‎ ‎(2)将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的解析式，并写出此函数的定义域．‎ ‎[解]　(1)解不等式组得 故函数的定义域是{x|1≤x≤5且x≠3}．‎ ‎(2)设矩形的一边长为x，则另一边长为(a－2x)，‎ - 5 -‎ 所以y＝x·(a－2x)＝－x2＋ax，定义域为.‎ ‎[规律方法]　(1)已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合.‎ (2)实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎1．函数f(x)＝＋(3x－1)0的定义域是(　　)‎ ‎【导学号：37102180】‎ A.　　　　　　 B. C. D.∪ ‎ D　[由得x<1且x≠，故选D.]‎ 求函数的解析式 ‎　(1)函数f(x)在R上为奇函数，当x>0时，f(x)＝＋1，则f(x)的解析式为________．‎ ‎(2)已知f＝＋，则f(x)的解析式为________．‎ ‎(1)f(x)＝ ‎(2)f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)　[(1)设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝＋1.∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，‎ 即－f(x)＝＋1，∴f(x)＝－－1.‎ ‎∵f(x)是奇函数，∴f(0)＝0，‎ ‎∴f(x)＝ ‎(2)令t＝＝＋1，则t≠1.把x＝代入f＝＋，得f(t)＝＋ ‎＝(t－1)2＋1＋(t－1)＝t2－t＋1.‎ 所以所求函数的解析式为 f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)．]‎ ‎[规律方法]　‎ 求函数解析式的题型与相应的解法 - 5 -‎ (1)已知形如f(g(x))的解析式求f(x)的解析式，使用换元法或配凑法.‎ (2)已知函数的类型(往往是一次函数或二次函数)，使用待定系数法.‎ (3)含f(x)与f(－x)或f(x)与，使用解方程组法.‎ (4)已知一个区间的解析式，求另一个区间的解析式，可用奇偶性转移法.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎2．(1)已知f(x)－‎3f(－x)＝2x－1，则f(x)＝________.‎ ‎(2)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b∈R，a≠0)满足条件：①当x∈R时，f(x)的图象关于直线x＝－1对称；②f(1)＝1；③f(x)在R上的最小值为0.求函数f(x)的解析式. ‎ ‎ (1)x＋　[因为f(x)－‎3f(－x)＝2x－1，以－x代替x得f(－x)－‎3f(x)＝－2x－1，两式联立得f(x)＝x＋.]‎ ‎(2)[解]　因为f(x)的对称轴为x＝－1，‎ 所以－＝－1即b＝‎2a，‎ 又f(1)＝1，即a＋b＋c＝1，‎ 由条件③知：a>0，且＝0，‎ 即b2＝‎4ac，由上可求得a＝，b＝，c＝，‎ 所以f(x)＝x2＋x＋.‎ 函数的性质及应用 ‎　已知函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且f＝.‎ ‎(1)确定函数f(x)的解析式；‎ ‎(2)用定义证明f(x)在(－1,1)上是增函数．‎ 思路探究：(1)用f(0)＝0及f＝求a，b的值；‎ ‎(2)用单调性的定义求解．‎ ‎[解]　(1)由题意，得∴ 故f(x)＝.‎ ‎(2)任取－10,1＋x>0.‎ - 5 -‎ 又－10，‎ ‎∴f(x1)－f(x2)<0，∴f(x)在(－1,1)上是增函数．‎ 母题探究：1.在本例条件不变的情况下解不等式：f(t－1)＋f(t)<0.‎ ‎[解]　由f(t－1)＋f(t)<0得 f(t－1)<－f(t)＝f(－t)．‎ ‎∵f(x)在(－1,1)上是增函数，∴－1f(x2)的形式.‎ (2)根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，脱掉不等式中的“f”转化为简单不等式求解.‎ 函数的图象及应用 ‎　对于函数f(x)＝x2－2|x|.‎ ‎(1)判断其奇偶性，并指出图象的对称性；‎ ‎(2)画此函数的图象，并指出单调区间和最小值. ‎ ‎【导学号：37102182】‎ ‎[解]　(1)函数的定义域为R，关于原点对称，‎ f(－x)＝(－x)2－2|－x|＝x2－2|x|.‎ 则f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数，‎ 图象关于y轴对称．‎ ‎(2)f(x)＝x2－2|x|＝ 画出图象如图所示，‎ - 5 -‎ 根据图象知，函数f(x)的最小值是－1.单调增区间是[－1，0]，[1，＋∞)；单调减区间是(－∞，－1]，[0,1]．‎ ‎[规律方法]　因为函数的图象从图形上很好地反映了函数的性质，所以在研究函数的性质时要注意结合图象，在解方程和不等式时有时需画出图象，利用数形结合能达到快速解题的目的.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎3．定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数f(x)，在(0，＋∞)上为增函数，当x>0时，f(x)的图象如图11所示，则不等式x[f(x)－f(－x)]<0的解集是______．‎ 图11‎ ‎(0,3)∪(－3,0)　[因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，故x[f(x)－f(－x)]＝x[f(x)－(－f(x))]＝2xf(x)<0，由题图知，当x>0时，若03，则f(x)>0.‎ 又因为f(x)为奇函数，所以当x<－3时，f(x)<0，当－30.而不等式2xf(x)<0可化为或故不等式的解集为(0,3)∪(－3,0)．]‎ - 5 -‎