高考数学专题复习教案： 双曲线的几何性质备考策略 3页

双曲线的几何性质备考策略 主标题：双曲线的几何性质备考策略 副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道.‎ 关键词：双曲线的几何性质，知识总结备考策略 难度：4‎ 重要程度：5‎ 内容：‎ 双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0)‎ －＝1(a>0，b>0)‎ 图形 性 质 范围 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点 顶点坐标：‎ A1(－a,0)，A2(a,0)‎ 顶点坐标：‎ A1(0，－a)，A2(0，a)‎ 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ a、b、c间的关系 c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)‎ 知识延伸：‎ 巧设双曲线方程 ‎(1)与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0)．‎ ‎(2)过已知两个点的双曲线方程可设为＋＝1(mn＜0)．‎ 思维规律解题：考点一.已知离心率求渐近线方程 例1．(2014·山东高考)已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为(　　)‎ A．x±y＝0　　　　　　 B.x±y＝0‎ C．x±2y＝0 D．2x±y＝0‎ 答案：A 解析：选A　椭圆C1的离心率为，双曲线C2的离心率为，所以·＝，所以a4－b4＝a4，即a4＝4b4，所以a＝b，所以双曲线C2的渐近线方程是y＝± x，即x±y＝0.‎ 考点二：已知渐近线求离心率 例2．(2014·浙江高考)设直线x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A，B.若点P(m,0)满足|PA|＝|PB|，则该双曲线的离心率是________．‎ 答案 解析：联立直线方程x－3y＋m＝0与双曲线渐近线方程y＝±x可得交点坐标为，，而kAB＝，由|PA|＝|PB|，可得AB的中点与点P连线的斜率为－3，即＝－3，化简得4b2＝a2，所以e＝＝.‎ 考点三：由离心率或渐近线确定双曲线方程 例3．(2015·郑州二模)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点分别为F1，F2，以线段F1F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点是(4,3)．则此双曲线的方程为(　　)‎ A.－＝1 B.－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ 答案 A 解析：　由题意，c＝＝5，‎ ‎∴a2＋b2＝c2＝25. ①‎ 又双曲线的渐近线为y＝±x，∴＝. ②‎ 则由①②解得a＝3，b＝4，‎ ‎∴双曲线方程为－＝1.故选A.‎ 考点四：利用渐近线与已知直线位置关系求离心率范围 ‎4．已知双曲线－＝1与直线y＝2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为(　　)‎ A．(1，) B．(1，]‎ C．(，＋∞) D．[，＋∞)‎ 答案 C 解析：∵双曲线的一条渐近线方程为y＝x，‎ 则由题意得＞2，‎ ‎∴e＝＝ ＞＝.‎ 备考策略：解决有关渐近线与离心率关系问题的方法 ‎1.已知渐近线方程y＝mx，若焦点位置不明确要分|m|＝或|m|＝讨论．‎ ‎2.注意数形结合思想在处理渐近线夹角、离心率范围求法中的应用．‎ ‎ 3.求双曲线的离心率(取值范围)的策略,求双曲线离心率是一个热点问题.若求离心率的值，需根据条件转化为关于a，b，c的方程求解，若求离心率的取值范围，需转化为关于a，b，c的不等式求解，正确把握c2＝a2＋b2的应用及e＞1是求解的关键.‎