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- 2021-06-22 发布
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回顾1 集合、常用逻辑用语、复数
[必记知识]
1.集合
(1)集合的运算性质
①A∪B=A⇔B⊆A;②A∩B=B⇔B⊆A;③A⊆B⇔∁UA⊇∁UB.
(2)子集、真子集个数计算公式
对于含有n个元素的有限集合M,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n,2n-1,2n-1,2n-2.
(3)集合运算中的常用方法
若已知的集合是不等式的解集,用数轴求解;若已知的集合是点集,用数形结合法求解;若已知的集合是抽象集合,用Venn图求解.
2.含有一个量词的命题的否定
全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题,如下所述:
命题
命题的否定
∀x∈M,p(x)
∃x0∈M,綈p(x0)
∃x0∈M,p(x0)
∀x∈M,綈p(x)
[提醒] 由于全称命题经常省略量词,因此,在写这类命题的否定时,应先确定其中的全称量词,再改写量词和否定结论.
3.全称命题与特称命题真假的判断方法
命题名称
真假
判断方法一
判断方法二
全称命题
真
所有对象使命题真
否定命题为假
假
存在一个对象使命题假
否定命题为真
特称命题
真
存在一个对象使命题真
否定命题为假
假
所有对象使命题假
否定命题为真
4.复数的相关概念及运算法则
(1)复数z=a+bi(a,b∈R)的分类
①z是实数⇔b=0;
②z是虚数⇔b≠0;
③z是纯虚数⇔a=0且b≠0.
(2)共轭复数
复数z=a+bi的共轭复数=a-bi.
(3)复数的模
复数z=a+bi的模|z|=.
(4)复数相等的充要条件
a+bi=c+di⇔a=c且b=d(a,b,c,d∈R).
特别地,a+bi=0⇔a=0且b=0(a,b∈R).
(5)复数的运算法则
加减法:(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i;
乘法:(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i;
除法:(a+bi)÷(c+di)=+i.
(其中a,b,c,d∈R.)
[必会结论]
1.集合运算的重要结论
(1)A∩B⊆A,A∩B⊆B;A⊆A∪B,B⊆A∪B,A∪A=A,A∪∅=A,A∪B=B∪A;A∩A=A,A∩∅=∅,A∩B=B∩A.
(2)若A⊆B,则A∩B=A;反之,若A∩B=A,则A⊆B.若A⊆B,则A∪B=B;反之,若A∪B=B,则A⊆B.
(3)A∩∁UA=∅,A∪∁UA=U,∁U(∁UA)=A.
(4)∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB),∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB).
2.一些常见词语的否定
正面词语
否定
正面词语
否定
正面词语
否定
等于(=)
不等于(≠)
不是
是
任意的
存在一个
大于(>)
不大于(小于或等于,即“≤”)
都是
不都是(至少有一个不是)
所有的
存在一个
小于(<)
不小于(大于或等于,即“≥”)
至多有一个
至少有两个
且
或
全为
不全为
一个也没有
或
且
至少有一个
3.充分条件与必要条件的三种判定方法
(1)定义法:正、反方向推理,若p⇒q,则p是q的充分条件(或q是p的必要条件);若p⇒q,且q ⇒/ p,则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件).
(2)集合法:利用集合间的包含关系.例如,若A⊆B,则A是B的充分条件(B是A的必要条件);若A=B,则A是B的充要条件.
(3)等价法:将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题.
4.复数的几个常见结论
(1)(1±i)2=±2i.
(2)=i,=-i.
(3)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(n∈N).
(4)ω=-±i,且ω0=1,ω2=,ω3=1,1+ω+ω2=0.
[必练习题]
1.设集合M={x∈Z|-3<x<2},N={x∈Z|-1≤x≤3},则M∩N等于( )
A.{0,1} B.{-1,0,1,2}
C.{0,1,2} D.{-1,0,1}
答案:D
2.已知集合A={x|x2-4x+3<0},B={y|y=2x-1,x≥0},则A∩B等于( )
A.∅ B.[0,1)∩(3,+∞)
C.A D.B
答案:C
3.设i是虚数单位,则复数在复平面内所对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案:B
4.若a为实数,且(2+ai)(a-2i)=-4i,则a等于( )
A.-1 B.0
C.1 D.2
答案:B
5.已知集合A={1,2,3,4,5},B={5,6,7},C={(x,y)|x∈A,y∈A,x+y∈B},则C中所含元素的个数为( )
A.5 B.6
C.12 D.13
答案:D
6.设命题甲:ax2+2ax+1>0的解集是实数集R;命题乙:0<a<1,则命题甲是命题乙成立的( )
A.充分不必要条件
B.充要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
答案:C
7.i是虚数单位,若=a+bi(a,b∈R),则lg(a+b)的值为________.
答案:0
8.已知命题p:∃x0∈R,x+ax0+a<0,若綈p是真命题,则实数a的取值范围是________.
答案:[0,4]
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