高考理科数学复习练习作业31 8页

题组层级快练(三十一)‎ ‎1．已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量a在向量b方向上的投影是(　　)‎ A．－4　　　　　　　　　　 B．4‎ C．－2 D．2‎ 答案　A 解析　∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝18cos〈a，b〉＝－12，∴cos〈a，b〉＝－.∴a在b方向上的投影是|a|cos〈a，b〉＝－4.‎ ‎2．已知a＝(1，2)，2a－b＝(3，1)，则a·b＝(　　)‎ A．2　　　　　　　　　 B．3‎ C．4 D．5‎ 答案　D 解析　∵a＝(1，2)，2a－b＝(3，1)，∴b＝2a－(3，1)＝2(1，2)－(3，1)＝(－1，3)．‎ ‎∴a·b＝(1，2)·(－1，3)＝－1＋2×3＝5.‎ ‎3．(2015·北京，文)设a，b是非零向量．“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的(　　)‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　若a·b＝|a||b|，则a与b的方向相同，所以a∥b.若a∥b，则a·b＝|a||b|，或a·b＝－|a||b|，所以“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的充分而不必要条件，选A.‎ ‎4．(2016·课标全国Ⅱ)已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝(　　)‎ A．－8 B．－6‎ C．6 D．8‎ 答案　D 解析　由向量的坐标运算得a＋b＝(4，m－2)，由(a＋b)⊥b，得(a＋b)·b＝12－2(m－2)＝0，解得m＝8，故选D.‎ ‎5．设a，b，c是单位向量，且a＋b＝c，则a·c的值为(　　)‎ A．2 B. C．3 D. 答案　B 解析　由|a|＝|b|＝|c|＝1，b＝c－a，两边平方得b2＝(c－a)2，∴1＝1＋1－2a·c，∴a·c＝.‎ ‎6．已知平面向量a，b，|a|＝1，|b|＝，且|2a＋b|＝，则向量a与向量a＋b的夹角为(　　)‎ A. B. C. D．π 答案　B 解析　由题意，得|2a＋b|2＝4＋4a·b＋3＝7，所以a·b＝0，所以a·(a＋b)＝1，且|a＋b|＝＝2，故cos〈a，a＋b〉＝＝，所以〈a，a＋b〉＝，故选B.‎ ‎7．已知|a|＝1，|b|＝，a＋b＝(，1)，则a＋b与a－b的夹角为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　由a＋b＝(，1)得|a＋b|2＝(a＋b)2＝4，又|a|＝1，|b|＝，所以|a|2＋2a·b＋|b|2＝1＋2a·b＋3＝4，解得2a·b＝0，所以|a－b|＝＝＝2，设a＋b与a－b的夹角为θ，则由夹角公式可得cosθ＝＝＝－，且θ∈[0，π]，所以θ＝π，即a＋b与a－b的夹角为π.‎ ‎8．(2017·人大附中模拟)已知a，b是非零向量，且向量a，b的夹角为，若向量p＝＋，则|p|＝(　　)‎ A．2＋ B. C．3 D. 答案　D 解析　∵|p|2＝1＋1＋2cos，∴|p|＝.‎ ‎9．如图所示，已知正六边形P1P2P3P4P5P6，则下列向量的数量积中最大的是(　　)‎ A.·　　 B.· C.· D.· 答案　A 解析　由于⊥，故其数量积是0，可排除C；与的夹角为π，故其数量积小于0，可排除D；设正六边形的边长是a，则·＝||||cos30°＝a2，·＝||||cos60°＝a2.故选A.‎ ‎10．设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则〈a，b〉＝(　　)‎ A．150° B．120°‎ C．60° D．30°‎ 答案　B 解析　设|a|＝m(m>0)，则由a＋b＝c得(a＋b)2＝c2，2m2＋2m2cos〈a，b〉＝m2，cos〈a，b〉＝－.又0°≤〈a，b〉≤180°，因此〈a，b〉＝120°，选B.‎ ‎11．(2017·沧州七校联考)已知P是边长为2的正三角形ABC的边BC上的动点，则·(＋)(　　)‎ A．有最大值为8 B．是定值6‎ C．有最小值为2 D．与点的位置有关 答案　B 解析　因为点P在边BC上，所以存在实数λ，使＝λ＋(1－λ)，所以·(＋)＝[λ＋(1－λ)]·(＋)＝4＋·＝6.故选B.‎ ‎12．(2016·北京，文)已知向量a＝(1，)，b＝(，1)，则a与b夹角的大小为________．‎ 答案　 解析　a·b＝2，∴cos〈a，b〉＝＝＝，又〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝.‎ ‎13．设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，则|a＋2b|＝________．‎ 答案　 解析　|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2＝3，则|a＋2b|＝，故填.‎ ‎14．(2013·江西，理)设e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为，若a＝e1＋3e2，b＝2e1，则向量a在b方向上的投影为________．‎ 答案　 解析　向量a在b方向上的投影为|a|·cos〈a，b〉＝，又a·b＝(e1＋3e2)·2e1＝2e12＋6e1·e2＝2＋6×＝5，|b|＝|2e1|＝2，∴|a|·cos〈a，b〉＝.‎ ‎15．(2017·衡水调研)若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为________．‎ 答案　120°‎ 解析　∵(2a＋b)·b＝0，∴2|a||b|cosθ＋b2＝0.由|a|＝|b|，可得cosθ＝－.故填120°.‎ ‎16．已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________；·的最大值为________．‎ 答案　1，1‎ 解析　以D为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示．‎ 则D(0，0)，A(1，0)，B(1，1)，C(0，1)．设E(1，a)(0≤a≤1)，‎ 所以·＝(1，a)·(1，0)＝1，·＝(1，a)·(0，1)＝a≤1.故·的最大值为1.‎ ‎17．设两个向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1与e2的夹角为，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．‎ 答案　(－7，－)∪(－，－)‎ 解析　由向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，得<0，‎ 即(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，化简即得2t2＋15t＋7<0，解得－7