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- 2021-06-22 发布
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专题层级快练(二十八)
1.如图所示,为了测量某湖泊两侧A,B间的距离,李宁同学首先选定了与A,B不共线的一点C(△ABC的角A,B,C所对的边分别记为a,b,c),然后给出了三种测量方案:
①测量A,C,b;②测量a,b,C;③测量A,B,a,则一定能确定A,B间的距离的所有方案的序号为( )
A.①② B.②③
C.①③ D.①②③
答案 D
解析 由题意可知,在①②③三个条件下三角形均可唯一确定,通过解三角形的知识可求出AB.故选D.
2. (2017·广东中山上学期期末)如图所示,设A,B两点在河的两岸,一测量者在A的同侧,在所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离为50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,就可以计算出A,B两点的距离为( )
A.50 m B.50 m
C.25 m D. m
答案 A
解析 由题意,得B=30°.由正弦定理,得=,∴AB===50 (m).故选A.
3.某人在C点测得某塔在南偏西80°,塔顶仰角为45°,此人沿南偏东40°方向前进10米到D,测得塔顶A的仰角为30°,则塔高为( )
A.15米 B.5米
C.10米 D.1米
答案 C
解析 如图所示,设塔高为h,在Rt△AOC中,∠ACO=45°,则OC=OA=h.
在Rt△AOD中,∠ADO=30°,则OD=h,在△OCD中,∠OCD=120°,CD=10,由余弦定理得OD2=OC2+CD2-2OC·CDcos∠OCD,即(h)2=h2+102-2h×10×cos120°,∴h2-5h-50=0,解得h=10或h=-5(舍去).
4.有一长为1千米的斜坡,它的倾斜角为20°,现要将倾斜角改为10°,则斜坡长为
( )
A.1千米 B.2sin10° 千米
C.2cos10° 千米 D.cos20° 千米
答案 C
解析 由题意知DC=BC=1,∠BCD=160°,
∴BD2=DC2+CB2-2DC·CB·cos160°=1+1-2×1×1cos(180°-20°)
=2+2cos20°=4cos210°,∴BD=2cos10°.
5. (2017·湖南师大附中月考)如图所示,测量河对岸的塔高AB时可以测量与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D,测得∠BCD=15°,∠BDC=30°,CD=30,并在点C测得塔顶A的仰角为60°,则塔高AB=( )
A.5 B.15
C.5 D.15
答案 D
解析 在△BCD中,∠CBD=180°-45°=135°.
由正弦定理得=,所以BC=15.
在Rt△ABC中,AB=BCtan∠ACB=15×=15.故选D.
6.在200 m高的山顶上,测得山下塔顶和塔底的俯角分别为30°,60°,则塔高为( )
A. m B. m
C. m D. m
答案 A
解析 如图,在Rt△BAC中,∠ABC=30°,AB=200,
∴BC==.
∵∠EBD=30°,∠EBC=60°,∴∠DBC=30°,∠BDC=120°.
在△BDC中,=.∴DC===(m).
7.要测底部不能到达的电视塔AB的高度,在C点测得塔顶A的仰角是45°,在D点测得塔顶A的仰角是30°,并测得水平面上的∠BCD=120°,CD=40 m,求电视塔的高度.
答案 40米
解析 如图设电视塔AB高为x,则在Rt△ABC中,
由∠ACB=45°,得BC=x.在Rt△ADB中,∠ADB=30°,∴BD=x.
在△BDC中,由余弦定理,得BD2=BC2+CD2-2BC·CD·cos120°.
即(x)2=x2+402-2·x·40·cos120°,解得x=40,∴电视塔高为40米.
8.为了测量两山顶M,N之间的距离,飞机沿水平方向在A,B两点进行测量.A,B,M,N在同一个铅垂平面内(如图所示).飞机能够测量的数据有俯角和A,B间的距离.请设计一个方案,包括:①指出需要测量的数据(用字母表示,并在图中标出);②用文字和公式写出计算M,N间的距离的步骤.
解析 方案一:①需要测量的数据有:A点到M,N点的俯角α1,β1,B点到M,N的俯角α2,β2;A,B间的距离d(如图所示).
②第一步:计算AM.由正弦定理,得AM=;
第二步:计算AN.由正弦定理,得AN=;
第三步:计算MN.由余弦定理,得
MN=.
方案二:①需要测量的数据有:A到M,N点的俯角α1,β1;B点到M,N点的俯角α2,β2;A,B间的距离d(如图所示).
②第一步:计算BM.由正弦定理,得BM=;
第二步:计算BN.由正弦定理,得BN=;
第三步:计算MN.由余弦定理,得
MN=.
9.衡水市某广场有一块不规则的绿地如图所示,城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志,小李、小王设计的底座形状分别为△ABC,△ABD,经测量AD=BD=7米,BC=5米,AC=8米,∠C=∠D.
(1)求AB的长度;
(2)若环境标志的底座每平方米造价为5 000元,不考虑其他因素,小李、小王谁的设计使建造费用较低(请说明理由)?较低造价为多少?(=1.732,=1.414)
答案 (1)7米 (2)小李的设计建造费用低,86 600元
解析 (1)在△ABC中,由余弦定理,得
cosC==. ①
在△ABD中,由余弦定理,得cosD=. ②
由∠C=∠D,得cosC=cosD.∴AB=7,∴AB长为7米.
(2)小李的设计建造费用较低,理由如下:
S△ABD=AD·BD·sinD,S△ABC=AC·BC·sinC.
∵AD·BD>AC·BC,∴S△ABD>S△ABC.
故选择△ABC建造环境标志费用较低.
∵AD=BD=AB=7,∴△ABD是等边三角形,∠D=60°.∴S△ABC=10=10×1.732=17.32.
∴总造价为5 000×17.32=86 600(元).
10.(2017·盐城一模)如图所示,经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB,AC,根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P,分别在两条公路边上建两个仓库M,N(异于村庄A),要求PM=PN=MN=2(单位:千米).如何设计,使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)?
答案 当设计∠AMN=60°时,工厂产生的噪声对居民影响最小
解析 设∠AMN=θ,在△AMN中,=.
因为MN=2,所以AM=sin(120°-θ).
在△APM中,cos∠AMP=cos(60°+θ).
AP2=AM2+MP2-2AM·MP·cos∠AMP=sin2(120°-θ)+4-2×2×sin(120°-θ)cos(60°+θ)=sin2(θ+60°)-sin(θ+60°)cos(θ+60°)+4
=[1-cos(2θ+120°)]-sin(2θ+120°)+4
=-[sin(2θ+120°)+cos(2θ+120°)]+
=-sin(2θ+150°),θ∈(0°,120°).
当且仅当2θ+150°=270°,即θ=60°时,AP2取得最大值12,即AP取得最大值2.
所以设计∠AMN=60°时,工厂产生的噪声对居民影响最小.