高考理科数学复习练习作业59 9页

题组层级快练(五十九)‎ ‎1．如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆面积最大时，圆心坐标为(　　)‎ A．(－1，1)　　　　　　　 B．(1，－1)‎ C．(－1，0) D．(0，－1)‎ 答案　D 解析　r＝＝，‎ 当k＝0时，r最大．‎ ‎2．(2015·北京，文)圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是(　　)‎ A．(x－1)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1‎ C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2‎ 答案　D 解析　因为圆心(1，1)且过原点，所以该圆的半径r＝＝，则该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，故选D.‎ ‎3．(2017·人大附中模拟)过坐标原点O作单位圆x2＋y2＝1的两条互相垂直的半径OA、OB，若在该圆上存在一点C，使得＝a＋b(a，b∈R)，则以下说法正确的是(　　)‎ A．点P(a，b)一定在单位圆内 B．点P(a，b)一定在单位圆上 C．点P(a，b)一定在单位圆外 D．当且仅当ab＝0时，点P(a，b)在单位圆上 答案　B 解析　由题意得|OC|＝＝1，所以点P(a，b)在单位圆上，故选B.‎ ‎4．(2017·河北徐水中学月考)已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则“E＝F＝0且D<0”是“圆C与y轴相切于原点”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　圆C与y轴相切于原点⇔圆C的圆心在x轴上(设坐标为(a，0))，且半径r＝|a|.∴当E＝F＝0且D<0时，圆心为(－，0)，半径为||，圆C与y轴相切于原点；圆(x＋1)2＋y2＝1与y轴相切于原点，但D＝2>0，故选A.‎ ‎5．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴相切，则该圆的标准方程是(　　)‎ A．(x－3)2＋(y－)2＝1 B．(x－2)2＋(y－1)2＝1‎ C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．(x－)2＋(y－1)2＝1‎ 答案　B 解析　设圆心为(a，1)，由已知得d＝＝1，∴a＝2(舍－)．‎ ‎6．圆心在抛物线x2＝2y(x>0)上，并且与抛物线的准线及y轴均相切的圆的方程是(　　)‎ A．x2＋y2－x－2y－＝0 B．x2＋y2＋x－2y＋1＝0‎ C．x2＋y2－x－2y＋1＝0 D．x2＋y2－2x－y＋＝0‎ 答案　D 解析　∵圆心在抛物线上，∴设圆心(a，)．‎ ‎∴圆的方程为(x－a)2＋(y－)2＝r2.‎ ‎∴x2＋y2－2ax－a2y＋a2＋－r2＝0.‎ 对比A，B，C，D项，仅D项x，y前系数符合条件．‎ ‎7．(2015·山东)一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为(　　)‎ A．－或－ B．－或－ C．－或－ D．－或－ 答案　D 解析　由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点(2，－3)，设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)即kx－y－2k－3＝0，又因为反射光线与圆相切，‎ 所以＝1⇒12k2＋25k＋12＝0⇒k＝－，或k＝－，故选D项．‎ ‎8．已知圆C关于x轴对称，经过点(0，1)，且被y轴分成两段弧，弧长之比为2∶1，则圆的方程为(　　)‎ A．x2＋(y±)2＝ B．x2＋(y±)2＝ C．(x±)2＋y2＝ D．(x±)2＋y2＝ 答案　C 解析　方法一：(排除法)由圆心在x轴上，则排除A，B，再由圆过(0，1)点，故圆的半径大于1，排除D，选C.‎ 方法二：(待定系数法)设圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2，圆C与y轴交于A(0，1)，B(0，－1)，由弧长之比为2∶1，易知∠OCA＝∠ACB＝×120°＝60°，则tan60°＝＝，所以a＝|OC|＝，即圆心坐标为(±，0)，r2＝|AC|2＝12＋()2＝.所以圆的方程为(x±)2＋y2＝，选C.‎ ‎9．(2017·保定模拟)过点P(－1，0)作圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝1的两条切线，设两切点分别为A，B，则过点A，B，C的圆的方程是(　　)‎ A．x2＋(y－1)2＝2 B．x2＋(y－1)2＝1‎ C．(x－1)2＋y2＝4 D．(x－1)2＋y2＝1‎ 答案　A 解析　P，A，B，C四点共圆，圆心为PC的中点(0，1)，半径为|PC|＝＝，则过点A，B，C的圆的方程是x2＋(y－1)2＝2.‎ ‎10．(2017·湖北宜昌一中模拟)设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则P点的轨迹方程为(　　)‎ A．y2＝2x B．(x－1)2＋y2＝4‎ C．y2＝－2x D．(x－1)2＋y2＝2‎ 答案　D 解析　设P(x，y)，则由题意知，圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为C(1，0)、半径为1，∵PA是圆的切线，且|PA|＝1，∴|PC|＝，即(x－1)2＋y2＝2，∴P点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝2.‎ ‎11．在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0，1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为(　　)‎ A．5 B．10 C．15 D．20 答案　B 解析　圆的标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝10，则圆心(1，3)，半径r＝，由题意知AC⊥BD，且|AC|＝2，|BD|＝2＝2，‎ 所以四边形ABCD的面积为S＝|AC|·|BD|＝×2×2＝10.‎ ‎12．以直线3x－4y＋12＝0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为________．‎ 答案　(x＋2)2＋(y－)2＝ 解析　对于直线3x－4y＋12＝0，当x＝0时，y＝3；当y＝0时，x＝－4.即以两点(0，3)，(－4，0)为端点的线段为直径，则r＝＝，圆心为(－，)，即(－2，)．‎ ‎∴圆的方程为(x＋2)2＋(y－)2＝.‎ ‎13．从原点O向圆C：x2＋y2－6x＋＝0作两条切线，切点分别为P，Q，则圆C上两切点P，Q间的劣弧长为________．‎ 答案　π 解析　如图，圆C：(x－3)2＋y2＝，‎ 所以圆心C(3，0)，半径r＝.在Rt△POC中，∠POC＝.‎ 则劣弧PQ所对圆心角为.弧长为π×＝π.‎ ‎14．若直线l：4x－3y－12＝0与x，y轴的交点分别为A，B，O为坐标原点，则△AOB内切圆的方程为________．‎ 答案　(x－1)2＋(y＋1)2＝1‎ 解析　由题意知，A(3，0)，B(0，－4)，则|AB|＝5.‎ ‎∴△AOB的内切圆半径r＝＝1，内切圆的圆心坐标为(1，－1)．‎ ‎∴内切圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝1.‎ ‎15．(2016·浙江，文)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．‎ 答案　(－2，－4)　5‎ 解析　∵a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，∴ 解得a＝－1，‎ ‎∴圆的方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，即(x＋2)2＋(y＋4)2＝25.故圆心的坐标为(－2，－4)，‎ 半径为5.‎ ‎16．(2017·合肥一检)在不等式组表示的平面区域内作圆M，则最大圆M的标准方程为________．‎ 答案　(x－1)2＋y2＝4‎ 解析　不等式组构成的区域是三角形及其内部，要作最大圆其实就是三角形的内切圆，‎ 由得交点(－3，0)，‎ 由得交点(3，2)，‎ 由得交点(3，－2)，可知三角形是等边三角形，所以圆心坐标为(1，0)，半径为(1，0)到直线x＝3的距离，即半径为2，所以圆的方程为(x－1)2＋y2＝4.‎ ‎17．一个圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且在直线y＝x上截得的弦长为2，求此圆的方程．‎ 答案　x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0‎ 解析　方法一：∵所求圆的圆心在直线x－3y＝0上，且与y轴相切，‎ ‎∴设所求圆的圆心为C(3a，a)，半径为r＝3|a|.‎ 又圆在直线y＝x上截得的弦长为2，‎ 圆心C(3a，a)到直线y＝x的距离为d＝.‎ ‎∴有d2＋()2＝r2.即2a2＋7＝9a2，∴a＝±1.‎ 故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.‎ 方法二：设所求的圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，‎ 则圆心(a，b)到直线x－y＝0的距离为.‎ ‎∴r2＝()2＋()2.‎ 即2r2＝(a－b)2＋14. ①‎ 由于所求的圆与y轴相切，∴r2＝a2. ②‎ 又因为所求圆心在直线x－3y＝0上，‎ ‎∴a－3b＝0. ③‎ 联立①②③，解得a＝3，b＝1，r2＝9或a＝－3，b＝－1，r2＝9.‎ 故所求的圆的方程是(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.‎ 方法三：设所求的圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，‎ 圆心为(－，－)，半径为.‎ 令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0.‎ 由圆与y轴相切，得Δ＝0，即E2＝4F. ④‎ 又圆心(－，－)到直线x－y＝0的距离为，‎ 由已知，得＋()2＝r2，‎ 即(D－E)2＋56＝2(D2＋E2－4F)． ⑤‎ 又圆心(－，－)在直线x－3y＝0上，‎ ‎∴D－3E＝0. ⑥‎ 联立④⑤⑥，解得D＝－6，E＝－2，F＝1或D＝6，E＝2，F＝1.‎ 故所求圆的方程是x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0.‎ ‎18．已知直线l与直线x＋y－2＝0垂直，且过点P(2，1)．‎ ‎(1)求直线l的方程；‎ ‎(2)若圆C过点(1，0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l被该圆所截得的弦长为2，求圆C的标准方程．‎ 答案　(1)y＝x－1　(2)(x－3)2＋y2＝4‎ 解析　(1)∵直线l与直线x＋y－2＝0垂直，∴kl＝1.‎ ‎∵直线l过点P(2，1)，∴直线l的方程为y－1＝x－2，即y＝x－1.‎ ‎(2)设圆C的标准方程为(x－a)2＋y2＝r2(a>0)，‎ 则解得a＝3，r＝2，‎ ‎∴圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝4.‎ ‎1．(2017·山东潍坊一模)若圆C经过(1，0)，(3，0)两点，且与y轴相切，则圆C的方程为(　　)‎ A．(x－2)2＋(y±2)2＝3 B．(x－2)2＋(y±)2＝3‎ C．(x－2)2＋(y±2)2＝4 D．(x－2)2＋(y±)2＝4‎ 答案　D 解析　设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，因为圆C经过(1，0)，(3，0)两点，所以圆心在直线x＝2上，∴a＝2.又圆C与y轴相切，所以半径r＝2，则(1－2)2＋b2＝4，b2＝3，b＝±，应选D.‎ ‎2．(2017·山东青岛一模)若过点P(1，)作圆O：x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A和B，则弦长|AB|＝(　　)‎ A. B．2‎ C. D．4‎ 答案　A 解析　如图所示，∵PA，PB分别为圆O：x2＋y2＝1的切线，‎ ‎∴OA⊥AP.‎ ‎∵P(1，)，O(0，0)，∴|OP|＝＝2.‎ 又∵|OA|＝1，∴在Rt△APO中，cos∠AOP＝.‎ ‎∴∠AOP＝60°，∴|AB|＝2|AO|sin∠AOP＝.‎ ‎3．已知点P在圆x2＋y2＝5上，点Q(0，－1)，则线段PQ的中点的轨迹方程是(　　)‎ A．x2＋y2－x＝0 B．x2＋y2＋y－1＝0‎ C．x2＋y2－y－2＝0 D．x2＋y2－x＋y＝0‎ 答案　B 解析　设P(x0，y0)，PQ中点的坐标为(x，y)，则x0＝2x，y0＝2y＋1，代入圆的方程即得所求的方程是4x2＋(2y＋1)2＝5，化简，得x2＋y2＋y－1＝0.‎ ‎4．已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为(　　)‎ A．x2＋y2－2x－3＝0 B．x2＋y2＋4x＝0‎ C．x2＋y2＋2x－3＝0 D．x2＋y2－4x＝0‎ 答案　D 解析　设圆心C(a，0)(a>0)，由＝2，得a＝2.故圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0.‎ ‎5．设圆C同时满足三个条件：①过原点；②圆心在直线y＝x上；③截y轴所得的弦长为4，则圆C的方程是________．‎ 答案　(x＋2)2＋(y＋2)2＝8或(x－2)2＋(y－2)2＝8‎ 解析　由题意可设圆心A(a，a)，如图，则22＋22＝2a2，解得a＝±2，r2＝2a2＝8.所以圆C的方程是(x＋2)2＋(y＋2)2＝8或(x－2)2＋(y－2)2＝8.‎ ‎6．在平面直角坐标系内，若圆C：x2＋y2－2ax＋4ay＋5a2－4＝0上所有的点均在第四象限内，则实数a的取值范围为(　　)‎ A．(1，＋∞) B．(2，＋∞)‎ C．(0，1) D．(0，2)‎ 答案　B 解析　圆C可化为(x－a)2＋(y＋2a)2＝4，要使得圆C上所有的点均在第四象限，则圆心C(a，－2a)在第四象限，圆心C到坐标轴的距离大于半径．所以解得a>2.‎ ‎7．已知圆C的圆心在曲线y＝上，圆C过坐标原点O，且分别与x轴、y轴交于A，B两点，则△OAB的面积是(　　)‎ A．2 B．3‎ C．4 D．8‎ 答案　C 解析　设圆心的坐标是C(t，)．因为圆C过坐标原点，所以|OC|2＝t2＋，所以圆C的方程是(x－t)2＋(y－)2＝t2＋.令x＝0，得y1＝0，y2＝，所以B点的坐标为(0，)；令y＝0，得x1＝0，x2＝2t，所以A点的坐标为(2t，0)，所以S△OAB＝|OA|·|OB|＝×||×|2t|＝4，即△OAB的面积为4.‎ ‎8．已知点A(－1，1)和圆C：x2＋y2－10x－14y＋70＝0，一束光线从点A出发，经过x轴反射到圆周C上的最短路程为________．‎ 答案　8‎ 解析　如图，A(－1，1)关于x轴的对称点A′(－1，－1)，设圆C 的半径为r，由题意可知，最短路程为|A′C|－r，又圆的方程可化为(x－5)2＋(y－7)2＝4，则圆心C(5，7)，r＝2，则|A′C|－r＝－2＝10－2＝8，即最短路程为8.‎ ‎9．已知点A(3，0)，点P是圆x2＋y2＝1上的一点，∠AOP的角平分线交AP于Q，求点Q的轨迹方程．‎ 答案　(x－)2＋y2＝ 解析　设Q点坐标为(x，y)，P点坐标为(x′，y′)．‎ ‎∵OQ是∠AOP的平分线，∴＝.又|AO|＝3，|OP|＝1，‎ ‎∴＝3，即＝3，(x－3，y)＝3(x′－x，y′－y)．‎ ‎∴代入圆的方程，得＋＝1，‎ 即(x－)2＋y2＝为所求方程．‎