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- 2021-06-22 发布
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- 1 -
第
3
2
套
- 2 -
- 3 -
- 4 -
- 5 -
z
y
x 第 18 题图
P
A
B
D
O
理科数学答案(32)
B CCDA BADBC BA
10. C 【解析】相当于将砝码分成了十一个小组,第i 组有i 个i 克砝码。若从i 组中不取砝码相当
于 1,若从i 组中取一个砝码有 i 种取法,相当于 iix 。所以选 C
11.B 12. A
【解析】由题意可知 32)]()([ xexfxf x ,即 32])([ xexf x ,所以
Cxxexf x 3)( 2 , xexxxff )13()(,1)0( 2 ,由 )(xf 的图像可以知道
13. 1 14. 3
311201620171
1
2
2016
2017
2017
2018
2018 abbbaa
a
a
a
a
aa
15. 24
16.
7
34 ;因为 )(xf 是奇函数,所以四边形的对角线交于坐标原点, ABCD 的面积为三角形
OAB 的四倍,
17.(【解析】(1)当 1 11, 13; 2 , 2 15n n nn S n n Z a S S n 且 …………4 分
所以 =2 15na n ……………………….6 分
(2)
7 8 17 , 7, ,n nn a a n a a 当 时, 异号; 同号
20
1 2 6 7 7 8 20 21
1 2 20 21 7 8 1 21
1 1 1 1=
1 1 2 1 1 1( ) 22
682
351
T a a a a a a a a
a a a a a a a a
18. 【解析】(Ⅰ)证明: BCAD// ,
BCAB ,
2BC AB ,
3AD . 5 10 5OC OD CD , ,
- 6 -
2 2 2OD OC DC
OC CD CD POC 平面
CD PO ABPBPA , O 为 AB 中点 ABPO PO 底面 ABCD
平面 PAB 面 ABCD……………6 分
( Ⅱ ) 如 图 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 xyzO , 则 )3,0,0(P , )0,3,1(D ,
)0,2,1(C
(0,0, 3), ( 1,3,0),
( 1, 2, 3), ( 2,1,0)
OP OD
CP CD
设平面OPD 的一个法向量为 ),,( 111 zyxm ,
平面 PCD 的法向量为 ),,( 222 zyxn 则
由
0
0
mOD
mOP 可得
03
03
11
1
yx
z ,取 11 y ,得 31 x , 01 z ,即 )0,1,3(m ,
由
0
0
nCD
nCP 可得
02
032
22
222
yx
zyx ,取 32 x ,得 322 y , 52 z ,
即 )5,32,3(n
4
3
4010
35,cos
nm
nmnm
故二面角 CPDO 的余弦值为
4
3 .……………12 分
19. 【解析】:(Ⅰ)在区间[30,60)的频率为
7
3
364
156 ---------1 分
3 1= =7 30 70
频率
组距 , ----2 分
设在区间[0,30)上, a频率
组距 ,则 130)210
1
105
1
70
1( a ,解得
210
1a ,-----3
分
补充频率分布直方图如右图;
----------------------------6 分
(Ⅱ)记水电站日利润为 Y 元.由(Ⅰ)知:不能运行发电机的概率为
7
1 ,恰好运行一台发
- 7 -
电机的概率为
7
3 ,恰好运行二台发电机的概率为
7
2 ,恰好运行三台发电机的概率为
7
1 ,
①若安装 1 台发电机,则 Y 的值为-500,4000,其分布列为
E(Y)=
7
23500
7
640007
1500 ;----------8 分
②若安装 2 台发电机,则 Y 的值为-1000,3500,8000,其分布列为
Y -1000 3500 8000
P
7
1
7
3
7
3
E(Y)= 1 3 3 335001000 3500 80007 7 7 7
;---------10 分
③若安装 3 台发电机,则 Y 的值为-1500,3000,7500,12000,其分布列为
Y -1500 3000 7500 12000
P
7
1
7
3
7
2
7
1
E(Y)=
7
34500
7
1120007
275007
330007
11500 ;
∵ 34500 33500 23500
7 7 7
∴要使水电站日利润的期望值最大,该水电站应安装 3 台发电机.--------------12 分
20. 【解析】:(1)由 1 2BF F 为等腰直角三角形可得 b c ,直线 1 :BF y x b 被圆
2 2 2x y b 所 截 得 的 弦 长 为 2 , 所 以 2, 2a b c , 所 以 椭 圆 的 方 程 为
2 2
14 2
x y ……………4 分
(2)若直线 l 的斜率不存在,则 1 3 66 32 2S
若直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y kx m ,设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ,
则
2
1 2 1 22 2
4 2( 2),1 2 1 2
km mx x x xk k
, 1 2 1 2 2
2( ) 2 1 2
my y k x x m k
由题意点 O 为
PAC 重 心 , 设 0 0( , )P x y , 则 1 2 0 1 2 00, 03 3
x x x y y y , 所 以
Y -500 4000
P
7
1
7
6
- 8 -
0 1 2 0 1 22 2
4 2( ) , ( )1 2 1 2
km mx x x y y yk k
,代入椭圆
2 2
14 2
x y 得
2 2 2 2
2
2 2 2 2
4 2 1 21(1 2 ) (1 2 ) 2
k m m kmk k
, …………………………………8 分
设坐标原点 O 到直线 l 的距离为 d,则 PAC 的面积
2
1 2 1 22
2
2
2 2
2 2
2
2
2
2
2
1 1 33 1 32 2 21
3 4 2( 2)( ) 42 1 2 1 2
2 2 2(1 2 )3
2 1 2
1 22(1 2 ) 1 2 3 623 2 1 2 22
mS AC d k x x x x m
k
km m mk k
k m mk
kk k
k
综上可得 PAC 面积 S 为定值 3 6
2
……………………………………………12 分
21. 【解析】(Ⅰ)解:易知 ln(ln ) | e | | ln ln | 0af a a a a a ,
即 ln a 为函数 ( )f x 的一个零点; ………………………(2 分)
当 lnx a≥ 时,有 e 0x a ≥ ,则 ( ) e ( ln )xf x a a x a ,从而 ( ) e 0xf x a ≥ ,在[ln )a ,
上恒成立,
当 lnx a 时,有 e 0x a ,则 ( ) e ( ln )xf x a a x a ,从而 ( ) e 0xf x a 在 ( ln )a, 上
恒成立.
综上,函数 ( )f x 在 R 上单调递增,有唯一零点 ln a . ………………………(5 分)
( Ⅱ ) 证 明 : 记 1 2( ) ( ) ( )h x f x f x , 则 1 2( ) ( ) ( )h x f x f x , 当 2 1ln lnx a a≥ 时 ,
1 2 2 1( ) (e ) (e ) 0x xh x a a a a 恒成立;当 1 2ln lna x a 时, 1 2( ) (e ) (e )x xh x a a ,
令 ( ) 0h x ≥ 得 1 2ln 2
a ax ≥ ;当 1 2ln lnx a a≤ 时, 1 2 1 2( ) ( e ) ( e ) 0x xh x a a a a 恒成
立;可知函数 ( )h x 在区间 1 2ln 2
a a
, 上单调递减,在区间 1 2ln 2
a a
, 上单调递增,
则函数 ( )h x 的最小值为
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 1 1 1 2 2 2 2ln ln ln ln ln2 2 2 2 2
a a a a a a a a a ah a a a a a a a a
- 9 -
1 2
1 1 2 2 1 2ln ln ( )ln 2
a aa a a a a a ,………(8 分)
从而只需证:
1 2
1 1 2 2 1 2 2 1ln ln ( )ln ( )ln 22
a aa a a a a a a a
1 1 2 2 1 2 1 2 1ln ln ( )ln( ) 2 ln 2 0a a a a a a a a a ,
记 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1( ) ln ln ( )ln( ) 2 ln 2g a a a a a a a a a a ,
则 2 1a a 2 2 1 2 2 1 2( ) 1 ln (1 ln( )) ln ln( ) 0g a a a a a a a 恒成立,从而函数 2( )g a 在
区 间 1( )a , 上 单 调 递 减 , 则
2 1( ) ( )g a g a 1 1 1 1 1 1 1 1 1ln ln ( )ln( ) 2 ln 2a a a a a a a a a
1 1 1 1 12 ln 2 ln 2 2 ln 2 0a a a a a .
综上:存在 x R ,使得 1 2 2 1( ) ( ) ( )ln 2f x f x a a . ………………………(12 分)
22.解:(1) 1C 的普通方程为 4)2( 22 yx , 1C 的极坐标方程为 cos4 , 2C 的极坐
标方程为 2sin …………………………………………………………………………4 分
(2)联立 ( 0) 与 1C 的极坐标方程得 22 cos16|| OA
联立 ( 0) 与 2C 的极坐标方程得 2 24 OB sin
222 cos124|||| OBOA , 0 2a
∴ )16,4(|||| 22 OBOA …………………………………………………………………………
……….10 分
23.解析:(1)不等式 1f x x 可化为 2 1 1 0x x x ≤
设函数 2 1 1y x x x ,则
2 3 , 1
,1 2
4, 2.
x x
y x x
x x
≤ ≤ .
令 0y ≤ ,解得 2 43 x≤ ≤ ……………………….5 分
(2) 1 2 1 ( 2) 1f x x x x x ≥
当且仅当 ( 1)( 2) 0x x ≤ 即1 2x≤ ≤ 时取等,故 1k .
假设存在符合条件的整数 ,a b ,则 2 1a b
1 2 (2 )(2 )a b a ba b
44 b a
a b
44 8b a
a b
≥
- 10 -
当且仅当 4b a
a b
即 1 1,4 2a b 时取等号,所以 1 2
a b
的最小值为 8.
所以,不存在正数 ,a b ,同时满足: 1 22 , 4a b k a b
……………10 分
- 11 -
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