高考数学模拟试卷 (6) 18页

市 5 月质检数学（理科）试题 第 1 页（共 18 页） 泉州市 2018 届普通中学高中毕业班质量检查 理科数学试题(6) 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的． （1）已知集合   , | 1A x y y x   ，   , | 1B x y y x    ，则 A B I （A） （B） 1 （C） 0,1 （D）   1,0 （2）设向量 a ， b 满足 2a ， 1b ，   3 ga a b ，则 a 与 b 的夹角为 （A） 6  （B） 3  （C） 3  （D） 6  （3）设等差数列 na 的前 n 项和为 nS .若 1 3 6a a  ， 4 16S  ，则 4a  （A） 6 （B） 7 （C）8 （D）9 （4）若双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b     的右焦点  4 0F ， 到其渐近线的距离为 2 ，则 C 的渐近 线方程为 （A） 3 3y x  （B） 3y x  （C） 5 5y x  （D） 5y x  （5）执行如图所示的程序框图，若输出的 2S ，则判断框内可以填入 （A） 5i （B） 6i （C） 7i （D） 8i （6）若函数       sin 0, 0, 0,f x A x A         的部分图象如图所示，则  f x 的一条 对称轴为 （A） 1 12 1x    （B） 5 6x    （C） 11 12x   （D） 7 6x   市 5 月质检数学（理科）试题 第 2 页（共 18 页） （第（5）题图） （第（6）题图） （7）李雷和韩梅梅两人都计划在国庆节的 7 天假期中，到“东亚文化之都--泉州”“二日游”，若他 们不同一天出现在泉州，则他们出游的不同方案共有 （A）16 种 （B）18 种 （C）20 种 （D）24 种 （8）已知偶函数  f x 在 0, 上单调递增，则 （A）    e e2 3f f  （B）    2 3e ef f  （C）    0.5 3log 3 log 0.5f f （D）    0.5 3( 3) 0.5f f （9）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体 的三视图，则该几何体的体积为 （A） 3 2  （B） 5 3  （C） 11 6  （D）13 6  （10）已知正三棱柱 1 1 1ABC A BC 的所有棱长都相等， ,M N 分别 为 1 1 1,BC BB 的中点.现有下列四个结论： 1p ： 1 //AC MN ； 2p ： 1 1AC C N ； 3p ： 1BC  平面 AMN ； 4p ：异面直线 AB 与 MN 所成角的余弦值为 2 4 . 其中正确的结论是 （A） 1 2,p p （B） 2 3,p p （C） 2 4,p p （D） 3 4,p p 市 5 月质检数学（理科）试题 第 3 页（共 18 页） （ 11 ） 已 知 椭 圆   2 2 2 2: 1 0   x yC a ba b 的 左 、 右 焦 点 分 别 为 1F ， 2F ． 2F 也 是 抛 物 线 2: 2 ( 0)E y px p  的焦点，点 A 为C 与 E 的一个交点，且直线 1AF 的倾斜角为 45，则C 的离心率为 （A） 5 1 2  （B） 2 1 （C） 3 5 （D） 2 1 （12）函数   2 e , 1,1 4 3, 1, x xf a x x a x x x x             则关于 x 的方程   0f f x    的实数解最多有 （A）4 个 （B）7 个 （C）10 个 （D）12 个 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． （13）在复平面内复数 i 1 i az   对应的点位于第三象限，则实数 a 的取值范围是 . （14）若 ,x y 满足约束条件 2, 0, 2 0, x x y x y          则 2z x y  的最大值为 . （15）甲和乙玩一个猜数游戏，规则如下：已知五张纸牌上分别写有 11 2 n    （ *, 5n n  N 1 ） 五个数字，现甲、乙两人分别从中各自随机抽取一张，然后根据自己手中的数推测谁手上的 数更大． 甲看了看自己手中的数，想了想说：我不知道谁手中的数更大；乙听了甲的判断后，思索了 一下说：我也不知道谁手中的数更大． 假设甲、乙所作出的推理都是正确的，那么乙手中的数是 . （16）已知数列 na ， nb ， nc 满足 1 1 1 2 , 2 , 2 , n n n n n n n n n n n n a a b c b a b c c a b c               且 1 8a  ， 1 4b  ， 1 0c  ，则数列 nna 的前 n 项和为 . 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分 12 分） △ABC 的内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ，且 2cos 2b A c a  ． （Ⅰ）求 B ； 市 5 月质检数学（理科）试题 第 4 页（共 18 页） （Ⅱ）若 4 2c  ， 7 2cos 10A  ，求△ABC 的面积． （18）（本小题满分 12 分） 如 图 ， 在 四 棱 锥 P ABCD 中 ， //AD BC ， 2AB BC  ， 4AD PD  ， 60BAD  o ， 120ADP  o ，点 E 为 PA 的中点． （Ⅰ）求证： //BE 平面 PCD ； （Ⅱ）若平面 PAD  平面 ABCD ，求直线 BE 与 平面 PAC 所成角的正弦值． （19）（本小题满分 12 分） 某工厂有两台不同机器 A 和 B 生产同一种产品各 10 万件，现从各自生产的产品中分别随机抽 取 20 件，进行品质鉴定，鉴定成绩的茎叶图如下所示： A 机器生产的产品 B 机器生产的产品 1 2 3 4 5 5 0 2 2 4 5 6 6 7 8 9 6 6 8 9 9 8 7 6 3 2 1 9 8 6 4 2 2 1 1 0 8 8 8 7 6 5 5 4 该产品的质量评价标准规定：鉴定成绩达到[90,100) 的产品，质量等级为优秀；鉴定成绩达 到[80,90) 的产品，质量等级为良好；鉴定成绩达到[60,80) 的产品，质量等级为合格．将这 组数据的频率视为整批产品的概率． （Ⅰ）从等级为优秀的样本中随机抽取两件，记 X 为来自 B 机器生产的产品数量，写出 X 的 分布列，并求 X 的数学期望； （Ⅱ）完成下列 2 2 列联表，以产品等级是否达到良好以上（含良好）为判断依据，判断能 不能在误差不超过 0.05 的情况下，认为 B 机器生产的产品比 A 机器生产的产品好； A 生产的产品 B 生产的产品 合计 良好以上（含良好） 合格 合计 （III）已知优秀等级产品的利润为 12 元/件，良好等级产品的利润为 10 元/件，合格等级产品 的利润为 5 元/件，A 机器每生产 10 万件的成本为 20 万元，B 机器每生产 10 万件的成 本为 30 万元；该工厂决定：按样本数据测算，两种机器分别生产 10 万件产品，若收益 之差达到 5 万元以上，则淘汰收益低的机器，若收益之差不超过 5 万元，则仍然保留原 来的两台机器.你认为该工厂会仍然保留原来的两台机器吗？ 市 5 月质检数学（理科）试题 第 5 页（共 18 页） 附：1. 独立性检验计算公式： 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d      ． 2. 临界值表： 2( )P K k 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 k 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 （20）（本小题满分 12 分） 直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yE a ba b     经过点 2 2， ，离心率为 2 2 ． （Ⅰ）求 E 的方程； （Ⅱ）过 E 的左焦点 F 且斜率不为 0 的直线l 与 E 相交于 A ，B 两点，线段 AB 的中点为C ， 直线OC 与直线 4x   相交于点 D ，若△ADF 为等腰直角三角形，求l 的方程． （21）（本小题满分 12 分） 函数    ln 1f x x ax   的图像与直线 2y x 相切． （Ⅰ）求 a 的值； （Ⅱ）证明：对于任意正整数 n ，   1 1 22 !e e! n n n nn nn nn      . （22）（本小题满分 10 分）选修 4 4 ：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为 1 cos , sin x y       （ 为参数），直线l 的参数方程 为 1 , 3 x t y t      （ t 为参数），在以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，射线 : ( 0)m     . （Ⅰ）求C 和l 的极坐标方程； （Ⅱ）设点 A 是 m 与C 的一个交点（异于原点），点 B 是 m 与l 的交点，求 OA OB 的最大值. （23）（本小题满分 10 分）选修 4 5 ：不等式选讲 已知函数 ( ) 2 1 2f x x a x     ， ( ) 3 1 g x x . （Ⅰ）当 1a  时，求不等式 ( ) ( )f x g x 的解集； （Ⅱ）  2, x a ， ( ) ( )f x g x ，求 a 的取值范围． 市 5 月质检数学（理科）试题 第 6 页（共 18 页） 泉州市 2018 届普通高中毕业班质量检查 理科数学试题参考答案及评分细则(6) 一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题 5 分，满分 60 分． （1）D （2）B （3）B （4）A （5）C （6）C （7）A （8）D （9）C （10）C （11）B （12）D （11）解析：易得抛物线的准线l 过点 1F ，过点 A 向l 引垂线交l 于点 1A ， 因为直线 1AF 的倾斜角为 45，所以 1 1AA F 为等腰直角三角形， 所以 2 1 1 1 2 2 AF AA AF AF   ，由正弦定理得 2 1 1 2 2 1sin sin AF AF AF F AF F   ， 所以 1 2 1 1 2 2 sin sin 1AFAF F AF FAF      ，所以 2 1 90AF F   ，即 2AF x 轴， 所以 2 1AF F 为等腰直角三角形，所以 1 2 2 2 F F AF c ， 1 2 2AF c ， 2 2 2 2c+ c a ， 所以 1 2 1 2 1    e . （12）解析：因为 e e 1 1    x xa x x x a a ，所以当 1 x 时 ， ( )f x 的图象可由函数 e 1   x y x 的图象上下平移得到， 因此， ( )f x 的图象如图一所示，要使得 ( ) 0f x 有更多的解， 即函数 ( )f x 的图象与 x 轴有更多的交点，则应将  ( ) 1 f x x 的图象尽可能向下平移，即 a 要取负数，如图二所示， 此时 ( ) 0f x 有四个解，分别是 1 3 x ， 2 1 x ， 3 3( 1 0)  x x 和 4 4( 0)x x ， 把 ( )f x 视为整体，则由图三可得，方程 [ ( )] 0f f x 的解分别为： ( ) 3 f x 有 2 个解； ( ) 1 f x 有 3 个解； 3 3( ) ( 1 0)   f x x x 有 4 个解； 4 4( ) ( 0) f x x x 有 3 个解； 综上，方程   0f f x    的实数解最多有 12 个，故选 D. 图一 图三 图二 市 5 月质检数学（理科）试题 第 7 页（共 18 页） 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题 5 分，满分 20 分． （13） ,0 （14） 3 （15） 7 8 （16）   1 23 1 4 18 18 4 9 nn n n     （16）解析：记       1 1 1 2 1 , 2 2 , 2 3 , n n n n n n n n n n n n a a b c b a b c c a b c               L L L 由     1 2 3  得  1 1 1 4n n n n n na b c a b c       ， 所以数列 n n na b c  为首项 1 1 1 12a b c   ，公比为 4 的等比数列， 所以 3 4n n n na b c    . 由   1 2 得 1 1n n n na b a b    ， 所以数列 n na b 为常数数列， 所以  1 1 4 4n na b a b     , 同理   2 3 得  4 5n nb c   ， 由   4 5， 可得 2 n n nb a c  ， 所以 4n nb  ， 4 4n na   , 记数列 4nn 的前 n 项和为 nT ，由错位相减法求得   13 1 4 4 9 nn   , 数列 4n 的前 n 项和为  2 1n n  ， 所以数列 nna 的前 n 项和     13 1 4 4 2 19 nn + n n    . 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分 12 分） △ABC 的内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ，且 2cos 2b A c a  ． （Ⅰ）求 B ； （Ⅱ）若 4 2c  ， 7 2cos 10A  ，求△ABC 的面积． 市 5 月质检数学（理科）试题 第 8 页（共 18 页） 【命题意图】本小题主要考查正弦定理，余弦定理，三角恒等变换，三角形面积等基础知识；考查 运算求解能力等；考查化归与转化思想、函数与方程思想等；考查数学抽象，数学运算等． 【试题简析】 解法一：（Ⅰ）由已知得 2sin cos sin sin2B A C A  .............................................................................. 1 分 2sin cos sin cos sin2A B B A A   ，.................................... 3 分 因为  0,πA ，所以sin 0A  ，所以 2cos 2B  ，.................................................... 4 分 由  0,πB ，...........................................................................................................................5 分 得 π= 4B . ................................................................................................................................ 6 分 （Ⅱ）由 7 2cos 10A  ，  0,πA 得， 2 2sin 1 cos 10A A   ，.......................................7 分 在 ABC△ 中，sin sin( ) sin cos cos sinC B A B A B A    ......................................... 8 分 2 2 2 7 2 4 2 10 2 10 5     ，.....................................................9 分 由正弦定理 sin sin c a C A 得， 5 2sin 4 2 1sin 4 10 ca AC      ，.................... 10 分 所以 1 sin2ABCS ac B△ ......................................................................................................... 11 分 1 24 2 22 2    ．.....................................................................................12 分 解法二：（Ⅰ）由已知得 2 2 2 2 2 2 b c ab c abc     ，............................................................................2 分 化简得 2 2 2 =a c b ac  ，................................................................................................ 3 分 即 2 2 2 2 cos2 2 a c b Bac     ，....................................................................................4 分 由  0,πB ，...................................................................................................................5 分 得 π= 4B . ........................................................................................................................ 6 分 （Ⅱ）同解法一. 市 5 月质检数学（理科）试题 第 9 页（共 18 页） （18）（本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 P ABCD 中， //AD BC ， 2AB BC  ， 4AD PD  ， 60BAD  o ， 120ADP  o ，点 E 为 PA 的中点． （Ⅰ）求证： //BE 平面 PCD ； （Ⅱ）若平面 PAD  平面 ABCD ，求直线 BE 与平面 PAC 所成角的正弦值． 【命题意图】本小题主要考查线面平行的判定，面面垂直的性质，线面角正弦值的求解等基础知识； 考查空间想像能力、推理论证能力、运算求解能力等；考查数形结合思想、化归与转化思想等；考 查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等． 【试题简析】 解法一：（Ⅰ）取 PD 中点 F ，连结 ,CF EF ． 因为点 E 为 PA 的中点，所以 //EF AD 且 1= 2EF AD ，....................................................1 分 又因为 //BC AD 且 1= 2BC AD ，所以 //EF BC 且 =EF BC ，..........................................2 分 所以四边形 BCFE 为平行四边形，........................................................................................3 分 所以 //BE CF ，......................................................................................................................... 4 分 又 BE  平面 PCD ，CF  平面 PCD ，所以 //BE 平面 PCD ．...................................5 分 （Ⅱ）在平面 ABCD 中，过 D作 DG AD ，在平面 PAD 中，过 D作 DH AD ． 因为平面 PAD  平面 ABCD ，平面 PAD I 平面 ABCD AD ，所以 DG  平面 PAD ， 所以 DG DH ，所以 , ,DA DG DH 两两互相垂直..........................................................6 分 以 D为原点，向量 , ,DA DG DH uuur uuur uuur 的方向分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正方向建立空间 直 角 坐 标 系 D xyz （ 如 图 ）， 则  4,0,0A ， (3, 3,0)B ， (1, 3,0)C ， 市 5 月质检数学（理科）试题 第 10 页（共 18 页）  2,0,2 3P  ，  1,0, 3E ，..............................................................................................7 分 所以 ( 3, 3,0)AC   uuur ，  6,0,2 3AP   uuur ，  2, 3, 3EB   uur ，..............................8 分 设  , ,x y zn 是平面 ACP 的一个法向量， 则 0, 0, AC AP      uuur uuurn n 即 3 3 0, 6 2 3 0, x y x z       ......................................................................................9 分 取 1x  ，得 (1, 3, 3)n ．.............................................................................................. 10 分 设直线 BE 与平面 PAC 所成角为 ． 则 2 3 3 70sin cos , 3510 7 EB      uur n ，................................................................... 11 分 所以直线 BE 与平面 PAC 所成角的正弦值为 70 35 ．....................................................... 12 分 解法二：（Ⅰ）取 AD 中点 F ，连结 ,BF EF ． 又因为点 E 为 PA 的中点，所以 //EF PD ，.....................................................................1 分 又 EF  平面 PCD ， PD  平面 PCD ，所以 //EF 平面 PCD ，..............................2 分 又 //BC DF 且 =BC DF ，所以四边形 BCDF 为平行四边形，所以 //BF CD ，........3 分 同理 //BF 平面 PCD ，又 BF EF FI ，所以平面 //BEF 平面 PCD ，.................4 分 又 BE  平面 BEF ，所以 //BE 平面 PCD ．..................................................................5 分 （Ⅱ）同解法一． 市 5 月质检数学（理科）试题 第 11 页（共 18 页） （19）（本小题满分 12 分） 某工厂有两台不同机器 A 和 B 生产同一种产品各 10 万件，现从各自生产的产品中分别随机抽 取 20 件，进行品质鉴定，鉴定成绩的茎叶图如下所示： A 机器生产的产品 B 机器生产的产品 1 2 4 4 5 5 0 2 2 4 5 6 6 7 8 9 6 6 8 9 9 8 7 6 3 2 1 9 8 6 4 2 2 1 1 0 8 8 8 7 6 5 5 4 该产品的质量评价标准规定：鉴定成绩达到[90,100) 的产品，质量等级为优秀；鉴定成绩达 到[80,90) 的产品，质量等级为良好；鉴定成绩达到[60,80) 的产品，质量等级为合格．将这 组数据的频率视为整批产品的概率． （Ⅰ）从等级为优秀的样本中随机抽取两件，记 X 为来自 B 机器生产的产品数量，写出 X 的 分布列，并求 X 的数学期望； （Ⅱ）完成下列 2 2 列联表，以产品等级是否达到良好以上（含良好）为判断依据，判断能 不能在误差不超过 0.05 的情况下，认为产品等级是否达到良好以上与生产产品的机器 有关； A 生产的产品 B 生产的产品 合计 优秀 普通 合计 （III）已知优秀等级产品的利润为 12 元/件，良好等级产品的利润为 10 元/件，合格等级产品 的利润为 5 元/件，A 机器每生产 10 万件的成本为 20 万元，B 机器每生产 10 万件的成 本为 30 万元；该工厂决定：按样本数据测算，两种机器分别生产 10 万件产品，若收益 之差达到 5 万元以上，则淘汰收益低的机器，若收益之差不超过 5 万元，则仍然保留原 来的两台机器.你认为该工厂会仍然保留原来的两台机器吗？ 附：1. 独立性检验计算公式： 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d      ． 2. 临界值表： 2( )P K k 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 k 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 市 5 月质检数学（理科）试题 第 12 页（共 18 页） 【命题意图】本小题主要考查茎叶图，独立性检验；考查学生利用概率与统计知识解决实际问题的 能力；考查学生的阅读理解能力及转化与化归能力． 【试题简析】解： （Ⅰ）从茎叶图可以知道，样本中优秀的产品有 2 个来自 A 机器，3 个来自 B 机器； 所以 X 的可能取值为 0,1,2 ．............................................................................................. 1 分 2 2 2 5 ( 0) 0.1  CP X C ， 1 1 2 3 2 5 ( 1) 0.6  C CP X C ， 2 3 2 5 ( 2) 0.3CP X C    ．.............3 分 X 的分布列为： X 0 1 2 P 0.1 0.6 0.3 所以 ( ) 0 0.1 1 0.6 2 0.3 1.2      E X ．..................................................................4 分 （Ⅱ）由已知可得， 2 2 列联表为 A 生产的产品 B 生产的产品 合计 良好以上 6 12 18 合格 14 8 22 合计 20 20 40 ..............................................................................................................................................5 分 2 2 2 ( ) 40 (12 14 6 8) 40 3.636 3.841( )( )( )( ) 20 20 18 22 11                n ad bcK a b c d a c b d ，....... 7 分 所以不能在误差不超过 0.05 的情况下，认为产品等级是否达到良好以上与生产产品的 机器有关．......................................................................................................................................8 分 （III）A 机器每生产 10 万件的利润为10(12 0.1 10 0.2 5 0.7) 40 47       万元，.............. 9 分 B 机器每生产 10 万件的利润为10(12 0.15 10 0.45 5 0.4) 30 53       万元，........ 10 分 所以53 47 6 5   ，................................................................................................................11 分 所以该工厂不会仍然保留原来的两台机器，应该会卖掉 A 机器，同时购买一台 B 机 器．........................................................................................................................................................................ 12 分 （20）（本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yE a ba b     经过点  2 2， ，离心率为 市 5 月质检数学（理科）试题 第 13 页（共 18 页） 2 2 ． （Ⅰ）求 E 的方程； （Ⅱ）过 E 的左焦点 F 且斜率不为 0 的直线l 与 E 相交于 A ，B 两点，线段 AB 的中点为C ， 直线OC 与直线 4x   相交于点 D ，若△ADF 为等腰直角三角形，求l 的方程． 【命题意图】本小题主要考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识；考查推理论证 能力、运算求解能力等；考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想等；考查数学抽象、 逻辑推理、直观想象、数学运算等． 【试题简析】解：（Ⅰ）依题意，得 2 2 2 2 2 4 2 1, 2 ,2 , a b c a a b c            ......................................................................................... 2 分 解得 2 2, b 2, 2, a c       ..........................................................................................................3 分 所以 E 的方程为 2 2 18 4 x y  ．...............................................................................4 分 （Ⅱ）易得  2,0F  ，可设直线 l 的方程为 2x ky  ，  1 1,A x y ，  2 2,B x y ， .................................................................................................................................................................................. 5 分 联立方程组 2 2 2 18 4 x ky x y     ， ， 消去 x ，整理得  2 22 4 4 0k y ky    ，...........6 分 由韦达定理，得 1 2 2 4 2 ky y k    ， 1 2 2 4 2y y k   ，..........................................7 分 所以 1 2 2 2 2 2 y y k k    ，  1 21 2 2 422 2 2 k y yx x k      ， 即 2 2 4 2,2 2 kC k k       ，...........................................................................................8 分 所以直线OC 的方程为 2 ky x  ，令 4x   ，得 2y k ，即  4,2D k ， .................................................................................................................................................................................. 9 分 所以直线 DF 的斜率为 2 0 4 2 k k    ，所以直线 DF 与l 恒保持垂直关系， 市 5 月质检数学（理科）试题 第 14 页（共 18 页） ................................................................................................................................................................................ 10 分 故 若 △ADF 为 等 腰 直 角 三 角 形 ， 只 需 AF DF ， 即    22 2 2 2 1 1 14 4 2 1k x y k y      ， 解得 1 2y   ，又 2 2 1 1 18 4 x y  ，所以 1 0x  ，...................................................11 分 所以 1k   ，从而直线l 的方程为： 2 0x y   或 2 0x y   ．........... 12 分 （21）（本小题满分 12 分） 函数    ln 1f x x ax   的图像与直线 2y x 相切． （Ⅰ）求 a 的值； （Ⅱ）证明：对于任意正整数 n ，   1 1 22 !e e! n n n nn nn nn      . 【命题意图】本题考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性、极值、不等式等问题；考查推理 论证能力、运算求解能力；考查化归与转化思想、分类与整合思想． 【试题简析】解：（Ⅰ）  f x 1 1 ax   ．................................................................................................... 1 分 设直线 2y x 与曲线  y f x 相切于点  0 0,P x y ． 依题意得：   0 0 0 0 0 0 2 , ln 1 , 1 2,1 y x y x ax ax           ............................................................................ 2 分 整理得，   0 0 0 ln 1 01 xx x    ……（*）．..............................................................3 分 令    ln 1 1 xg x x x     ，      2 2 1 1 1 1 1 xg x x x x       ． 所以，当 0x  时，   0g x  ，  g x 单调递增； 当 1 0x   时，   0g x  ，  g x 单调递减． 当 0x  时，  g x 取得最小值  0 0g  ，即   0g x  ． 故方程（*）的解为 0 0x  ，此时 1a  ．.................................................................6 分 市 5 月质检数学（理科）试题 第 15 页（共 18 页） （Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知，   0g x  ，即  ln 1 1 xx x    ，..............................................7 分 因 此 1 1ln 1 1      n n ， 2 2 1ln 1 2 1        n n n ， … ， 1ln 1 1         n n n n n n ． 上式累加得： 1 2ln 1 1 1 1                           L n n n n n n ，............................................ 8 分 11 21 1 1 > e                      L n nn n n n ，       11 2 > e      L n n n n n n n n ，       11 2 e        L n n nn n n n n ，即   12 ! e! n n nn nn   .......................................9 分 （ii）令    ln 1  x xh x ，则   1 11 1    h xx x x ． 所以当 0x  时，   0h x  ，  h x 单调递减； 当 1 0x   时，   0h x  ，  h x 单调递增. 当 0x  时，  h x 取得最大值  0 0h  ，即   0h x  ，  ln 1 x x ．................ 10 分 由  ln 1 x x 得： 1 1ln 1    n n ， 2 2ln 1    n n ，…， ln 1     n n n n ． 上式累加得： 1 2 1 2 1ln 1 1 1 2                               LL n n n n n n n ，...............11 分 1 21 21 1 1 e                       L nn n n n ，       1 21 2 e       L n n n n n n n ，       1 21 2 e         L n nn n n n n ，即   1 22 ! e! n nn nn    . 综上，   1 1 22 !e e! n n n nn nn nn      ................................................................................... 12 分 请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按 所做第一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． （22）（本小题满分 10 分）选修 4 4 ：坐标系与参数方程 市 5 月质检数学（理科）试题 第 16 页（共 18 页） 在直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为 1 cos , sin x y       （ 为参数），直线 l 的参数方程为 1 , 3 x t y t      （ t 为参数），在以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，射线 : ( 0)m     . （Ⅰ）求C 和l 的极坐标方程； （Ⅱ）设 m 与C 和l 分别交于异于原点的 ,A B 两点，求 OA OB 的最大值. 【命题意图】本题主要考查了参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互相转化以及直线与圆的位 置关系等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力等；考查化归与转化思想、数形结合思想、 函数与方程思想等；考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等． 【试题简析】解：（Ⅰ）曲线C 的一般方程为 2 21 + 1x y  ， 1 分 由 cos , sin , x y        得 2 2 2cos 1 + sin 1     ，...............................................2 分 化简得C 的极坐标方程为 2cos  ；................................................................3 分 l 的一般方程为 4 0x y   ，...............................................................................4 分 极坐标方程为 cos sin 4 0      ，即 πsin( + ) 2 24    ......................5 分 （Ⅱ）设 1 2( , ), ( , )A B    ，则 1 2 OA OB    sin cos2cos 4    ， ............. 6 分 21 (sin cos cos )2     ，..................... 7 分 2 π 1sin(2 )4 4 4    ，.............................. 8 分 由射线 m 与 E 相交，则不妨设 π π,4 4       ， 则 π π 3π2 ,4 4 4        ，所以当 π π2 ,4 2    即 π 8   时， OA OB 取最大 值，.......................................................................................................................................................................... 9 分 市 5 月质检数学（理科）试题 第 17 页（共 18 页） 此时 2 1 4 OA OB  . ........................................................................................ 10 分 （23）（本小题满分 10 分）选修 4 5 ：不等式选讲 已知函数 ( ) 2 1 2f x x a x     ， ( ) 3 1 g x x . （Ⅰ）当 1a  时，求不等式 ( ) ( )f x g x 的解集； （Ⅱ）当  2, x a 时， ( ) ( )f x g x ，求 a 的取值范围． 【命题意图】本题主要考查了解绝对值不等式，利用绝对值不等式的几何意义解决问题；考查推理 论证能力、运算求解能力等；考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想等；考查数学 抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等． 【试题简析】解：（Ⅰ）当 1a  时， ( ) 1 2 3 1f x x x x      ， ①当 2x   时， ( ) 2 1f x x   ， 令 ( ) 3 1f x x  ， 即 2 1 3 1x x    ，此时无解；............................................1 分 ②当 2 1x   时， ( ) 3f x  ， 令 ( ) 3 1f x x  ，即 3 3 1x  ，所以 2 13 x  ；...............................................2 分 ③当 1x  时， ( ) 2 1f x x  ， 令 ( ) 3 1f x x  ， 即 2 1 3 1x x   ，解得 1x  ，.............................................3 分 综上所述，不等式的解集为 2| 3x x    ．....................................................................5 分 （Ⅱ）当  2, x a 时， ( ) 2 1 2 3 1f x x a x x       ，即 2 1 2 1x a x    ； ..........................................................................................................................................................................................6 分 ①当 12 2a   时， 2 1 0x   ， 2 1 2 1x a x    恒成立；............................ 7 分 ②当 1 2a  ， 12, 2x      时， 2 1 0x   ， 2 1 2 1x a x    恒成立； 1 ,2x a    时，  2 22 1 2 1x a x    恒成立， 市 5 月质检数学（理科）试题 第 18 页（共 18 页） 即 23 2(2 3) 4 ( 1) 0x a x a a     恒成立，........................................................ 8 分 令 2( ) 3 2(2 3) 4 ( 1)g x x a x a a     ， ( )g x 的最大值只可能是 1( )2g 或 ( )g a ， 1( ) 02g  ， 2( ) 3 2 0g a a a   ，得 20 3a  ，又 1 2a  ，所以 1 2 2 3a  ； .................................................................................................................................................................................. 9 分 综上所述： a 的取值范围是 2| 2 3x a      ． ............................................... 10 分