高考文科数学复习备课课件：第一节　直线的倾斜角与斜率、直线的方程 30页

文数 课标版 第一节　直线的倾斜角与斜率、直线的方程 1.直线的倾斜角 (1)定义:当直线 l 与 x 轴相交时,取 x 轴作为基准, x 轴正向与直线 l ① 向上方向     之间所成的角叫做直线 l 的倾斜角,当直线 l 与 x 轴② 　平行或重合     时,规定它 的倾斜角为0 ° . (2)范围:直线 l 倾斜角的范围是③ 　[0,π)     . 教材研读 2.斜率公式 (1)若直线 l 的倾斜角 α ≠ 90 ° ,则斜率 k =④     tan α      . (2)若 P 1 ( x 1 , y 1 ), P 2 ( x 2 , y 2 )在直线 l 上,且 x 1 ≠ x 2 ,则 l 的斜率 k =⑤             . 3.两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行 对于两条不重合的直线 l 1 、 l 2 ,若其斜率分别为 k 1 、 k 2 ,则有 l 1 ∥ l 2 ⇔ ⑥      k 1 = k 2      .特别地,当直线 l 1 、 l 2 不重合且斜率都不存在时, l 1 与 l 2 ⑦ 　平行     . (2)两条直线垂直 如果两条直线 l 1 、 l 2 的斜率都存在,设为 k 1 、 k 2 ,则有 l 1 ⊥ l 2 ⇔ ⑧      k 1 · k 2 =-1     . 当一条直线的斜率为零,另一条直线的斜率不存在时,两条直线互相 ⑨ 　垂直     . 4.直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式        y - y 0 = k ( x - x 0 )     不含直线 x = x 0 斜截式        y = kx + b      不含垂直于 x 轴的直线 两点式          =        ( x 1 ≠ x 2 , y 1 ≠ y 2 ) 不含直线 x = x 1 和直线 y = y 1 截距式   ( a ≠ 0, b ≠ 0) 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式        Ax + By + C =0     ( A 2 + B 2 ≠ 0) 平面直角坐标系内的直线都适用 判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“ × ”) (1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率.   ( × ) (2)直线的斜率越大,其倾斜角就越大.   ( × ) (3)直线的斜率为tan α ,则其倾斜角为 α .   ( × ) (4)斜率相等的两直线的倾斜角一定相等.   (√) (5)经过定点 A (0, b )的直线都可以用方程 y = kx + b 表示.   ( × ) (6)   +   =1表示所有不经过原点的直线.   ( × ) (7)经过任意两个不同的点 P 1 ( x 1 , y 1 ), P 2 ( x 2 , y 2 )的直线都可以用方程( y - y 1 )( x 2 - x 1 )=( x - x 1 )( y 2 - y 1 )表示.   (√) (8)若直线 l 1 ∥ l 2 ,则其斜率 k 1 = k 2 .   ( × ) (9)如果两条直线 l 1 与 l 2 垂直,则它们的斜率之积一定等于-1.   ( × ) (10)已知直线 l 1 : A 1 x + B 1 y + C 1 =0, l 2 : A 2 x + B 2 y + C 2 =0( A 1 、 B 1 、 C 1 、 A 2 、 B 2 、 C 2 为常数),若直线 l 1 ⊥ l 2 ,则 A 1 A 2 + B 1 B 2 =0.   (√) 1.若直线 x =2的倾斜角为 α ,则 α   (　　) A.等于0　    B.等于   　    C.等于   　    D.不存在 答案     C　因为直线 x =2垂直于 x 轴,所以倾斜角 α 为   . 2.直线   x - y + a =0的倾斜角为   (　　) A.30 ° 　    B.60 ° 　    C.150 ° 　    D.120 ° 答案     B　设直线的倾斜角为 α ,则tan α =   , ∵ α ∈[0,π),∴ α =   . 3.过点 M (-2, m ), N ( m ,4)的直线的斜率等于1,则 m 的值为   (　　) A.1　    B.4　    C.1或3　    D.1或4 答案     A　由题意知   =1( m ≠ -2),解得 m =1. 4.如果 A · C <0,且 B · C <0,那么直线 Ax + By + C =0不经过   (　　) A.第一象限　    B.第二象限 C.第三象限　    D.第四象限 答案     C　由 Ax + By + C =0( B ≠ 0),得 y =-   x -   . ∵ A · C <0, B · C <0,∴ A · B >0,-   >0, ∴-   <0, ∴直线 Ax + By + C =0经过第一、二、四象限,故选C. 5.过两点 A (0,1), B (-2,3)的直线方程为 　　　　     . 答案      x + y -1=0 解析　 由两点式可得直线方程为   =   ,整理得 x + y -1=0. 考点一　直线的倾斜角与斜率 典例1 　(1)直线 x sin α + y +2=0的倾斜角的范围是   (　　) A.[0,π)　    B.   ∪   C.   　    D.   ∪   (2)直线 l 过点 P (1,0),且与以 A (2,1), B (0,   )为端点的线段有公共点,则直 线 l 的斜率的取值范围为 　　　　　　     . 答案 　(1)B　(2)(- ∞ ,-   ] ∪ [1,+ ∞ ) 解析 　(1)设直线的倾斜角为 θ ,则有tan θ =-sin α ,又sin α ∈[-1,1], θ ∈[0,π), 所以0 ≤ θ ≤   或   ≤ θ <π. (2)如图,∵ k AP =   =1, 考点突破 k BP =   =-   , ∴直线 l 的斜率 k ∈(- ∞ ,-   ] ∪ [1,+ ∞ ).   易错警示 由直线倾斜角的取值范围求斜率的取值范围或由直线斜率的取值范围 求倾斜角的取值范围时,常借助正切函数 y =tan x 在   和   上的 单调性求解.应注意任何直线都有倾斜角,但不是所有直线都有斜率.当 倾斜角为   时,直线斜率不存在. 变式1-1 　若将本例(2)中的条件“ P (1,0)”改为“ P (-1,0)”,则直线 l 斜 率的取值范围是什么? 解析　 ∵ P (-1,0), A (2,1), B (0,   ), ∴ k AP =   =   , k BP =   =   . 如图,可知直线 l 斜率的取值范围为   .   变式1-2 　若将本例(2)中的条件“ P (1,0)”改为“ P (0,1)”,则直线 l 斜率 的取值范围是什么?倾斜角的取值范围是什么? 解析 　∵ P (0,1), A (2,1), B (0,   ), ∴ k AP =0,直线 BP 的斜率不存在. 如图,可知直线 l 斜率的取值范围为[0,+ ∞ ),倾斜角的取值范围为   .   变式1-3 　在本例(2)的条件下,若互换 A , P 两点的坐标,即 P (2,1), A (1,0),试 求直线 l 斜率的取值范围. 解析 　∵ P (2,1), A (1,0), B (0,   ), ∴ k PA =   =1, k PB =   =   . 如图所示,直线 l 的斜率的取值范围为   .   考点二　两条直线的平行与垂直 典例2 　已知直线 l 1 : ax +2 y +6=0和直线 l 2 : x +( a -1) y + a 2 -1=0. (1)当 l 1 ∥ l 2 时,求 a 的值; (2)当 l 1 ⊥ l 2 时,求 a 的值. 解析　 (1)解法一:当 a =1时, l 1 : x +2 y +6=0, l 2 : x =0, l 1 不平行于 l 2 ; 当 a =0时, l 1 : y =-3, l 2 : x - y -1=0, l 1 不平行于 l 2 ; 当 a ≠ 1且 a ≠ 0时,两直线方程可化为 l 1 : y =-   x -3, l 2 : y =   x -( a +1), 由 l 1 ∥ l 2 可得   解得 a =-1. 综上可知, a =-1. 解法二:由 l 1 ∥ l 2 知   即   ⇒   ⇒ a =-1. (2)解法一:当 a =1时, l 1 : x +2 y +6=0, l 2 : x =0, l 1 与 l 2 不垂直,故 a =1不符合; 当 a ≠ 1时, l 1 : y =-   x -3, l 2 : y =   x -( a +1), 由 l 1 ⊥ l 2 得   ·   =-1 ⇒ a =   . 解法二:∵ l 1 ⊥ l 2 , ∴ A 1 A 2 + B 1 B 2 =0, 即 a +2( a -1)=0,得 a =   . 方法技巧 两直线平行或垂直的判定方法 (1)已知两直线的斜率存在 ①两直线平行 ⇔ 两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不相等; ②两直线垂直 ⇔ 两直线的斜率之积为-1. (2)已知两直线的斜率不存在 若两直线的斜率不存在,当两直线在 x 轴上的截距不相等时,两直线平行; 否则两直线重合. (3)已知两直线的一般方程 设直线 l 1 : A 1 x + B 1 y + C 1 =0, l 2 : A 2 x + B 2 y + C 2 =0,则 l 1 ∥ l 2 ⇔ A 1 B 2 - A 2 B 1 =0且 B 1 C 2 - B 2 C 1 ≠ 0; l 1 ⊥ l 2 ⇔ A 1 A 2 + B 1 B 2 =0.该方法可避免对斜率是否存在进行讨论. 2-1 　若直线 l 1 : mx - y -2=0与直线 l 2 :(2- m ) x - y +1=0互相平行,则实数 m 的值为   (　　) A.-1　    B.0　    C.1　    D.2 答案     C　∵直线 l 1 : mx - y -2=0与直线 l 2 :(2- m ) x - y +1=0互相平行, ∴   解得 m =1.故选C. 2-2　 已知直线 l 1 :2 ax +( a +1) y +1=0, l 2 :( a +1) x +( a -1) y =0,若 l 1 ⊥ l 2 ,则 a =   (    　) A.2或   　    B.   或-1 C.   　     D.-1 答案     B　因为直线 l 1 :2 ax +( a +1) y +1=0, l 2 :( a +1) x +( a -1) y =0, l 1 ⊥ l 2 , 所以2 a ( a +1)+( a +1)( a -1)=0, 解得 a =   或 a =-1.故选B. 考点三　求直线方程 典例3 　(1)求过点 A (1,3),斜率是直线 y =-4 x 的斜率的   的直线方程; (2)求经过点 A (-5,2),且在 x 轴上的截距等于在 y 轴上截距的2倍的直线方 程; (3)求过 A (2,1), B ( m ,3)两点的直线 l 的方程. 解析　 (1)设所求直线的斜率为 k ,依题意 k =-4 ×   =-   .又直线经过点 A (1, 3),因此所求直线方程为 y -3=-   ( x -1),即4 x +3 y -13=0. (2)当直线不过原点时,设所求直线方程为   +   =1( a ≠ 0),将(-5,2)代入所 设方程, 解得 a =-   , 所以直线方程为 x +2 y +1=0; 当直线过原点时,设所求直线方程为 y = kx , 则-5 k =2,解得 k =-   ,所以直线方程为 y =-   x ,即2 x +5 y =0. 故所求直线方程为2 x +5 y =0或 x +2 y +1=0. (3)①当 m =2时,直线 l 的方程为 x =2; ②当 m ≠ 2时,直线 l 的方程为   =   , 即2 x -( m -2) y + m -6=0. 将 m =2代入方程2 x -( m -2) y + m -6=0,得 x =2, 所以直线 l 的方程为2 x -( m -2) y + m -6=0. 易错警示 (1)在求直线方程时,应选择适当的形式,并注意各种形式的适用条件. (2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采 用点斜式,应先考虑斜率不存在的情况;若采用截距式,应判断截距是否 为零). 3-1　 根据所给条件求直线的方程: (1)直线过点(-4,0),倾斜角的正弦值为   ; (2)直线过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为12; (3)直线过点(5,10),且原点到该直线的距离为5. 解析 　(1)由题设知,该直线的斜率存在,故可采用点斜式. 设倾斜角为 α ,则sin α =   (0< α <π). 从而cos α = ±   ,则斜率 k =tan α = ±   . 故所求直线方程为 y = ±   ( x +4), 即 x +3 y +4=0或 x -3 y +4=0. (2)由题设知截距不为0,设直线方程为   +   =1, 又直线过点(-3,4),所以   +   =1,解得 a =-4或 a =9. 故所求直线方程为4 x - y +16=0或 x +3 y -9=0. (3)当斜率不存在时,所求直线方程为 x -5=0. 当斜率存在时,设斜率为 k ,则所求直线方程为 y -10= k ( x -5),即 kx - y +10-5 k = 0. ∴   =5,解得 k =   . ∴所求直线方程为3 x -4 y +25=0. 综上,所求直线方程为 x -5=0或3 x -4 y +25=0. 考点四　直线方程的综合问题 典例4 　过点 P (4,1)作直线 l 分别交 x , y 轴正半轴于 A , B 两点. (1)当△ AOB 面积最小时,求直线 l 的方程; (2)当| OA |+| OB |取最小值时,求直线 l 的方程. 解析　 设直线 l :   +   =1( a >0, b >0), 因为直线 l 经过点 P (4,1), 所以   +   =1. (1)   +   =1 ≥ 2   =   , 所以 ab ≥ 16,当且仅当 a =8, b =2时等号成立, 所以当 a =8, b =2时,△ AOB 的面积最小,此时直线 l 的方程为   +   =1, 即 x +4 y -8=0. (2)因为   +   =1, a >0, b >0, 所以| OA |+| OB |= a + b =( a + b )·   =5+   +   ≥ 9, 当且仅当 a =6, b =3时等号成立, 所以当| OA |+| OB |取最小值时,直线 l 的方程为 x +2 y -6=0. 1.给定条件求直线方程的思路 (1)考虑问题的特殊情况,如斜率不存在的情况,截距等于零的情况. (2)在一般情况下准确选定直线方程的形式,用待定系数法求出直线方 程. (3)重视直线方程一般形式的应用,因为它具有广泛的适用性. 方法技巧 2.与直线有关的最值问题的解题思路 (1)借助直线方程,用 y 表示 x (或用 x 表示 y ). (2)将问题转化成关于 x (或 y )的函数. (3)利用函数的单调性或基本不等式求最值. 4-1 　已知直线 l : kx - y +1+2 k =0( k ∈R). (1)证明:直线 l 过定点; (2)若直线不经过第四象限,求 k 的取值范围; (3)若直线 l 交 x 轴负半轴于 A ,交 y 轴正半轴于 B ,△ AOB 的面积为 S ( O 为坐 标原点),求 S 的最小值,并求此时直线 l 的方程. 解析 　(1)证明:直线 l 的方程可化为 k ( x +2)+(1- y )=0, 令   解得   ∴无论 k 取何值,直线 l 必经过定点(-2,1). (2)直线方程可化为 y = kx +1+2 k ,当 k ≠ 0时,要使直线不经过第四象限,则 必须有   解得 k >0; 当 k =0时,直线为 y =1,符合题意. 综上, k 的取值范围是 k ≥ 0. (3)依题意得 A   , B (0,1+2 k ), 且   解得 k >0. ∴ S =   ·| OA |·| OB |=   ·   ·|1+2 k | =   ·   =     ≥   × (2 × 2+4)=4, “=”成立的条件是4 k =   , 此时 k =   , ∴ S min =4, 此时 l 的方程为 x -2 y +4=0.